AstroNuklFyzika ® Jaderná fyzika - Astrofyzika - Kosmologie - Filosofie Gravitace, černé díry a fyzika

Kapitola 2
OBECNÁ TEORIE RELATIVTITY
- FYZIKA GRAVITACE
2.1. Zrychlení a gravitace z hlediska speciální teorie relativity
2.2. Univerzálnost - základní vlastnost a klíč k pochopení podstaty gravitace
2.3. Lokální princip ekvivalence a jeho důsledky
2.4. Fyzikální zákony v zakřiveném prostoročase
2.5. Einsteinovy rovnice gravitačního pole
2.6. Deviace a fokusace geodetik
2.7. Gravitační vlny
2.8. Specifické vlastnosti gravitační energie
2.9.Geometrodynamická soustava jednotek
2.10. Experimentální ověřování teorie relativity a gravitace

2.5. Einsteinovy rovnice gravitačního pole

Budujeme-li teorii nějakého pole, zajímají nás v podstatě dva okruhy otázek:

V tomto odstavci se pokusíme ukázat, jak je gravitační pole generováno svými zdroji, tedy "odvodit" Einsteinovy rovnice gravitačního pole *). Budeme postupovat nejprve induktivním způsobem podobným postupu, jakým Einstein došel ke svým rovnicím; tento způsob je heuristicky nejobsažnější. Některé další postupy vedoucí k Einsteinovým rovnicím [111],[166],[181], které vznikly až mnohem později (a zřejmě pouze díky znalosti Einsteinových rovnic a jeho obecné teorie relativity) si zmíníme v dalším.
*) Přesně vzato, nový fundamentální fyzikální zákon, jakým je gravitační zákon v OTR, se nedá odvodit v matematickém smyslu slova, tj. jako přímý důsledek nějakých jiných již dříve známých vztahů a zákonů (nelze např. použít teorém 2.3 vycházející z principu ekvivalence, protože ve speciální teorii relativity žádný gravitační zákon nemáme). Gravitační zákon se spíše hledá ("buduje") na základě určitých fyzikalních požadavků a postulátů.

Univerzálnost buzení gravitace
Nejprve si
rozšíříme univerzálnost gravitační interakce. Dosud jsme pod univerzálností gravitace rozuměli univerzální účinek "již hotového" gravitačního pole na veškerou hmotu~energii. To umožnilo geometrický popis gravitačního pole jakožto zakřiveného prostoročasu. Univerzálnost gravitace má však širší rámec a vztahuje se i na buzení gravitačního pole:

Teorém 2.4 (univerzální buzení gravitace)
Gravitační pole (křivost prostoročasu) je buzeno univerzálně veškerou hmotou~energií, neboli
aktivní gravitační hmotnost = pasívní gravitační hmotnost = setrvačná hmotnost.

Nejjednodušším argumentem ve prospěch tohoto tvrzení je zákon akce a reakce. Máme-li totiž dvě tělesa A a B umístěná tak dalako od sebe, že pro jejieh vzájemné gravitační přitahování platí Newtowův gravitační zákon, musí být

      

protože toto musí platit pro tělesa libovolné struktury, je aktivní a pasivní gravitační hmotnost pro každé těleso stejná (resp. oba druhy hmotnosti si jsou vzájemně úměrné s univerzální gravitační konstantou G).
   Tedy intenzita gravitačního pole, které kolem sebe budí nějaké těleso, vůbec nezávisí na jeho složení a povaze, je dána pouze jeho celkovou setrvačnou hmotností (tj. odporem, který by kladlo vůči zrychlování negravitačními silami). Nezáleží na tom, zda se jedná o pevná tělesa, plyn, shluk elementárních částic nebo třebas jen elektromagnetické pole. Své gravitační pole vytvářeji např. i elektromagnetické vlny (světlo, radiovlny, rentgenové záření), globálně dokonce i gravitační vlny (§2.7 "Gravitační vlny", viz též dodatek B, §B.3 "Wheelerova geometrodynamika. Gravitace a topologie.").

Máme-li za úkol stanovit hmotnost nějakého velkého tělesa - např. planety nebo hvězdy, můžeme postupovat dvojím způsobem. První způsob je založen na negravitační fyzice, kde hmotnost tělesa je dána objemovým integrálem M = ňT°°dV. Pro přesné stanovení tenzoru energie-hybnosti je však třeba znát podrobně vnitřní strukturu hvězdy - z jakých částic se skládá, charakter interakcí mezi nimi, mechanismy přeměny a přenosu energie a pod. Obrazně řečeno, museli bychom buďto "spočítat" všechny částice jež hvězda obsahuje, stanovit jejich hmotnosti, provést korekce hmotové diference způsobené jejich pohyby a vazbami v příslušných polích a přibrat též hmotnost záření, nebo tenzor energie-hybnosti vypočítat na základě určitých předpokladů plynoucích z teorie vnitřní stavby hvězdy. Tímto složitým způsobem bychom snad teoreticky (nikdy však prakticky!) mohli stanovit hmotnost dané hvězdy.
   Avšak v praxi tuto hmotnost zcela přesně a přitom nesrovnatelně jednodušeji stanovujeme prostřednictvím gravitace: analyzujeme vlastnosti pohybu jiných těles ve vnějším gravitačním poli sledované hvězdy, např. ve vzdálenosti r uvedeme na oběžnou dráhu kolem ní malé testovací těleso a hmotnost hvězdy určíme z Keplerova zákona M = w2.r3/G. Tento způsob je naprosto spolehlivý, není zde nebezpečí (jako v první metodě) že bychom "přehlédli" nějaký příspěvek k celkové hmotnosti. Pro stanovení celkové hmotnosti hvězdy nebo jiného fyzikálního systému není třeba vědět co se děje uvnitř, stačí jednoduchá newtonovská měření v dostatečně vzdálené oblasti.
   Budit gravitační pole (gravitačně přitahovat jiná tělesa) je společnou univerzální vlastností všech hmotných útvarů, každé formy hmoty. Proto nejobjektivnější způsob stanovení hmotnosti nějakého tělesa je změřit, jak silné gravitační pole kolem sebe toto těleso budí. Pod hmotností nějakého systému budeme v dalším rozumět právě tuto gravitačně změřenou hmotnost.

Rovnice buzení gravitačního pole
V §1.4, kde jsme sledovali analogii mezi Newtonovým a Coulombovým zákonem, jsme si řekli, že jak pro Coulombovskou elektrostatiku, tak i pro Newtonovskou gravitaci platí princip superpozice, takže příslušné rovnice jsou lineární. Nyní ale vidíme, že u gravitace toto platí jen přibližně, pro slabá pole v rámci Newtonova gravitačního zákon
a. I bez znalosti přesného tvaru rovnic gravitačního pole můžeme totiž jako přímý důsledek teorému 2.4 (univerzálnosti buzení) vyslovit následující tvrzení: rovnice gravitačního pole musejí být principiálně nelineární.
   Pro objasnění tohoto důležitého aspektu gravitace srovnejme ještě jednou situaci s elektrodynamikou. Elektromagnetické pole je buzeno pomocí Maxwellových rovnic

F ik;k    =    - (4p/c) j i    .
ápoleá            ázdrojá        
(2.42)

Zdrojem pole jsou zde elektrické náboje a jejich proudy ji, přicemž samotné elektromagnetické pole nepřenáší elektrický náboj (je nenabité) a není tedy zdrojem dalšího elektromagnetického pole - Maxwellovy rovnice jsou lineární a platí princip superpozice.
   Naproti tomu zdrojem gravitačního pole je veškerá hmota (~energie), a protože gravitační pole samotné je též nositelem energie (a hybnosti), vzbuzuje určité "doplňkové" gravitační pole. Tato "samogravitace" vede k principiální nelinearitě gravitace, protože buzené gravitační pole přispívá zpětně ke svému vlastnímu zdroji (srovnej též §2.1).

Rovnice (generace) každého fyzikálního pole mají charakter *) :

objekt popisující pole   =   objekt popisující zdroj
(2.43)

Např. pro elektromagnetické pole objektem popisujícím pole je tenzor intenzity elektromagnetického pole Fik, resp. jeho čtyřdivergence Fik;k. Zdrojem pole jsou elekrické náboje a objektem popisujícím zdroj je čtyřproud ji udávající rozložení a pohyb elektrických nábojů. Generace pole je pak dána rovnicí (2.42), což je elektromagnetická varianta obecné rovnice (2.43). Hledejme variantu gravitační!
*) Stojíme zde na klasickém stanovisku, podle něhož je pole buzeno určitým vnějším zdrojem (který je odlišného charakteru než buzené pole) a my se ptáme: "Jak je pole svým zdrojem buzeno?". Stanovisko unitární teorie pole (jehož rovnice nemají vnější zdroj) je opačné - existuje jen pole s dostatečně bohatými vnitřními vlastnostmi a řeší se otázka: "Jak je to, co jsme považovali za zdroj, ze svého pole složeno?" - viz dodatek B "Unitární teorie pole a kvantová gravitace".
   O gravitačním poli víme, že je vyjádřeno geometrií prostoročasu a že je buzeno univerzálně veškerou hmotou (~energií). Pro gravitační pole by tedy obecná rovnice (2.43) měla znít :

objekt popisující geometrii prostoročasu   =   objekt popisující distribuci hmoty a energie
(2.44)

přičemž pro slabá gravitační pole musí dávat správnou Newtonovskou limitu, tj. Poissonovu rovnici Dj = 4prG s potenciálem j souvisejícím s metrickým tenzorem vztahem (2.27).
   
Objektem, který vyčerpávajícím způsobem a nezávisle na konkrétní struktuře popisuje rozložení a pohyb hmoty a energie ve fyzikální soustavě, je tenzor energie-hybnosti Tik (zavedený v §1.6 "Čtyřrozměrný prostoročas a speciální teorie relativity"). Označíme-li levou stranu popisující geometrii prostoročasu jako Gik, rovnice gravitačního pole by měly mít tvar

Gik   =   K . Tik   , (2.45)

kde K je konstanta. Abychom mohli přesněji specifikovat veličinu Gik, budeme na ni klást několik víceméně rozumných fyzikálních požadavků :

  1. Gik musí být symetrický tenzor 2.řádu (aby byl konzistentní s Tik).
  2. Gik je objekt popisující gravitační pole a tedy geometrii prostoročasu, měl by být proto sestaven z metrického tenzoru gik a tenzoru křivosti Riklm.
  3. Z důvodu lokálního zachování energie a hybnosti zdroje (rovnice (2.6')) musí být kovariantní čtyřdivergence Gik;k = 0.
  4. V rovinném prostoročase (kde není gravitace) je Gik = 0.
  5. Gik je lineární funkcí tenzoru křivosti, takže obsahuje derivace metrického tenzoru gik jen do druhého řádu, přičemž tyto 2.derivace jsou obsaženy lineárně.

Požadavky 1., 2. a 3. jsou celkem jasné a nevzbuzují vážnější pochybnosti. Nejméně odůvodněná se zdá být podmínka č.5, která je do určité míry podmínkou jednoduchosti ve smyslu Einsteinova kreda. Její oprávnění je dáno jednak tím, že ve fyzice převládají rovnice 2.řádu (Cauchyova úloha), jednak přechodem k Newtonovské limitě. Pro slabé statické gravitační pole, kde podle (2.27) metrický tenzor souvisí s potenciálem j vztahem goo = -(1 + 2j/c2), musejí hledané gravitační rovnice přejít v Newtonův gravitační zákon

Dj   =   4pGr   , (2.46)

kde r je hustota rozložení hmotnosti ve zdroji. Protože levá strana této rovnice obsahuje druhé derivace j, je přirozené požadovat, aby i Gik obsahoval derivace gik maximálně do druhého řádu. Vzhledem ke slabosti gravitačního pole lze v každém bodě zvolit souřadnicovou soustavu, která je přibližně galileovská. Aby v takové soustavě hledané rovnice (2.45) přešly v Newtonovskou limitu (2.46), je třeba aby Gik byl lineární v 2g/xixk s koeficienty které jsou funkcemi pouze gik, nikoliv jejich prvních derivací.
   
Podmínka č.4 vypadá fyzikálně velmi rozumně. Přesto však právě této podmínky se Einstein dočasně vzdal v souvislosti s kosmologickými problémy - viz kap.5, §5.1 "Základní východiska a principy kosmologie", §5.2 "Einsteinův a deSitterův vesmír. Kosmologická konstanta.". I když v poslední době jsou opět určité důvody pro uvažování kosmologického členu v globálních kosmologických problémech, v našem textu (kromě kapitoly 5) zatím kosmologický člen používat nebudeme, na většinu rozebírané problematiky to nemá vliv.
   Podmínky 1. až 5. umožňují jednoznačné nalezení veličiny Gik. V diferenciální geometrii se ukazuje [214],[155], že veličina vyhovující podmínkám 1., 2. a 5. musí mít tvar Gik = A.Rik + B.giikR + C.gik, kde A,B,C jsou konstanty. Podle požadavku 4. musí být C=0 (kdybychom podmínku 4. vypustili, bylo by C rovno kosmologické konstantě).
   Z požadavku 3. vzhledem k Bianchiho identitám (2.25) plyne B = -A/2. Tedy A.(Rik - (1/2)gikR) = K.Tik. Konstantu A můžeme zahrnout do konstanty K (položit k ş K/A), takže dostáváme

Gik   ş   Rik - (1/2) gik R   =   k . Tik   . (2.47)

Tenzor Gik se nazývá Einsteinův tenzor (byl zmíněn již v předchozím odstavci, rovnice (2.25b)). Konstanta k se určí z podmínky, aby pro slabá pole obecné rovnice přešly v Newtonův gravitační zákon. Provedeme proto v rovnicích (2.47) limitní přechod k nerelativistické mechanice: budeme předpokládat, že gravitační pole je slabé a rychlosti všech těles jsou malé (oba tyto požadavky spolu fakticky souvisí, protože aby rychlosti zůstaly malé, musí být pole slabé). Jako zdroj gravitačního pole použijeme nekoherentní hmotný prach (jež je nejjednodušším klasickým modelem nestrukturované hmoty) s tenzorem energie a hybnosti Tik = r.c2ViVk. Za předpokladu malých rychlostí můžeme položit Vi =(1,0,0,0), takže nenulová komponenta Tik bude pouze T°° = r.c2. Einsteinovy rovnice pole ve tvaru Rik = k.(Tik - (1/2)gik T) (vzniklém z rovnic (2.47) jednoduchou algebraickou úpravou) se pak redukují na jednu rovnici

Roo   =   (1/2) k .r.c2   ; (2.48)

ostatní rovnice jsou v naší aproximaci rovny nule. R°° vypočítáme ze vztahu (2.18), přičemž vzhledem ke slabosti pole členy druhého řádu vypustíme. Dostaneme tak R°° = ¶Gaoo/xa , což použitím vztahu (2.27) goo » -(1 + 2j/c2), platného pro slabá pole, dává R°°»(1/c2).Dj. Rovnice pole (2.48) potom zní Dj = (1/2)k.r.c4 . To bude Poissonova rovnice (2.46) tehdy, když položíme

k   =   8pG / c4   ; (2.49)

Pak Dj = 4pGr a její řešení bude j = -G.ň(r/R)dV. A to je Newtonův zákon jako speciální případ Einsteinových gravitačních rovnic pro velmi slabé pole.
   Takto se tedy objevila v obecných gravitačních rovnicích OTR Newtonova gravitační konstanta G. Dostáváme veledůležité Einsteinovy rovnice gravitačního pole ve tvaru

Einsteinovy rovnice gravitačního pole :
   . 
(2.50a)

Zúžením s metrickým tenzorem gik dostaneme R - 2R = T.8pG/c4 , takže Einsteinovy rovnice mohou být napsány též v ekvivalentní formě

Rik   =   (8pG/c4) . (Tik - 1/2 gik T)    , (2.50b)

kde T ş T ii .
   
Tyto nelineární parciální diferenciální rovnice druhého řádu pro složky metrického tenzoru gik určují prostoročasovou distribuci metrického tenzoru, tj. prostorové rozložení a časovou evoluci gravitačního pole buzeného soustavou zdrojů popsanou tenzorem energie-hybnosti Tik. Označují se též jako rovnice "geometrodynamické", neboť popisují dynamiku geometrie prostoročasu.
   Sruktura tenzoru energie-hybnosti Tik, který úplně popisuje rozložení a pohyb energie a hybnosti v gravitujícím zdroji, byla popsána v §1.6 "Čtyřrozměrný prostoročas a speciální teorie relativity", část "Tenzor energie-hybnosti". Nejdůležitější a dominantní složkou tenzoru energie-hybnosti je T00, představující hustotu energie~hmotnosti (je diskutováno též v §2.6 "Deviace a fokusace geodetik"). Pro běžnou látku je tato složka dána hustotou hmoty r: T00 = r.c2. Další tři diagonální složky T11, T22, T33 jsou pro běžnou látku (modelovanou jako ideální kapalina) rovny tlaku p. V takovém případě Einsteinovy rovnice zhruba říkají, že zakřivení prostoročasu (součet hodnot zakřivení ve třech směrech, skalární křivost) je úměrné hustotě hmoty r.c2 + trojnásobku tlaku p látky: R ~ r.c2 + 3.p.
Za běžných podmínek (na Zemi, v nitru planet, Slunce a hvězd) je tlak hmoty zanedbatelný vůči její hustotě (veličině
r.c2) a proto tlak téměř nepřispívá ke křivosti prostoročasu (ke gravitaci) - ta je dána téměř výhradně hmotností zdroje. Pouze uvnitř neutronových hvězd a při gravitačním kolapsu (§4.2 "Konečné fáze hvězdné evoluce. Gravitační kolaps. Vznik černé díry."), nebo při kosmologické evoluci vesmíru (§5.1 "Základní východiska a principy kosmologie" a kapitoly následující), je tlak důležitým přispěvatelem ke gravitačnímu zakřivení.
  
Einsteinovy rovnice obecně popisují, jak hmota ve svém okolí zakřivuje prostoročas, což se projevuje jako gravitace. Význačná řešení Einsteinových rovnic, jako je pro sféricky symetrické těleso
(§3.4 "Schwarzschildova geometrie"), ukazují, že přítomnost většího množství hmoty~energie - masívnější objekt - zakřivuje ve svém okolí prostoročas výrazněji a ve větším dosahu, než objekt lehký.

Hmotné gravitující těleso ve svém okolí zakřivuje prostoročas
(příklad sféricky symetrického tělesa)

V našich pozemských gravitačních podmínkách se to názorně dá ilustrovat pomocí vodorovně napnuté pružné plachty (která představuje nezakřivený prostor bez gravitace), na niž položíme hmotnou kouli M. Zatížením vzniklá prohlubeň představuje zakřivení prostoru. Když sem položíme menší kuličku m1(klidovou), skutálí se do prohlubně a dopadne na větší kouli. Pokud však kuličce m2 udělíme vhodnou obvodovou rychlost, bude obíhat kolem těžké koule, která je zdrojem zakřivení, podobně jako planeta obíhá kolem gravitující hvězdy nebo měsíc-satelit kolem planety. Při vyšší rychlosti kuličky m3 se její dráha v prohlubni jen zakřiví a kulička pokračuje v pohybu pod jiným úhlem.

Lokální diferenciální rovnice buzení pole vyjadřují globální integrální chování pole
V teorii pole se zákonitosti jeho buzení svými zdroji, jakož i jeho vnitřní dynamické vlastnosti, vyjadřují pomocí diferenciálních rovnic. Tyto rovnice mají lokální charakter - dávají do souvislosti místní rozložení hmoty či elektrických nábojů s derivacemi intenzity pole či zakřivením prostoročasu v tomtéž místě. To ale neznamená, že zdroje určují hodnoty veličin popisujících pole jen lokálně či v bezprostřední blízkosti zdrojů pole. Integrací lokálních diferenciálních rovnic pole získáváme hodnoty intenzity pole či zakřivení prostoročasu v celém prostoru obklopujícím zdrojovou soustavu. Děje se tak často prostřednictvím okrajových podmínek, jak uvidíme např. v §3.4 "
Schwarzschildova geometrie".

Rovnice pohybu zdrojů jako důsledek rovnic pole
Kovariantní čtyřdivergence levé strany G
ik Einsteinových rovnic (2.50a) je identicky rovna nule. Je to důsledkem Bianchiho identit (2.25) pro tenzor křivosti, projevem geometricko-topologického principu "hranice hranice je rovna nule" - v tomto případě orientovaná dvojrozměrná hranice trojrozměrné hranice čtyřrozměrné oblasti prostoročasu [180],[181] (viz též §3.1 "Geometricko-topologické vlastnosti prostoročasu"). Vezmeme-li tedy Einsteinovy rovnice (2.50a) za základ, plyne z nich automaticky Tik;k = 0 - lokální zákon zachování energie a hybnosti zdroje *). Tento zákon zachování vede k rovnicím pohybu zdrojové soustavy popsané příslušným tenzorem energie-hybnosti Tik, takže v tomto smyslu "rovnice pohybu plynou z Einsteinových rovnic gravitačního pole". Einsteinovy gravitační rovnice tak určují nejen gravitační pole pro dané rozložení hmoty, ale určují i pohyb tohoto zdroje.
*) Je to vyjádřením obecné zákonitosti mezi zdrojem a jím vzbuzovaným polem: "zdroj vytváří kolem sebe pole tak, aby se sám zachovával" - pole takových vlastností, z nichž automaticky plynou zákony zachování tohoto zdroje. Např. pro elektromagnetické pole z Maxwellových rovnic Fik;k = 4pji/c díky antisymetrii tenzoru elektromagnetického pole Fik plyne identicky vztah ji;i = 0, což je rovnice kontinuity proudu neboli zákon zachování elektrického náboje. Maxwellovy rovnice tak omezují "svobodu" zdrojů jen po stránce elektrické (nikoliv např. mechanické), zatímco Einsteinovy gravitační rovnice postihují všechny formy pohybu zdrojů.
   Na rozdíl od všech ostatních teorií pole má obecná teorie relativity tu specifickou vlastnost, že není nutno zvlášť postulovat (zadat "zvenčí") rovnice pohybu zkušebních částic v daném gravitačním poli - tyto rovnice pohybu se dají získat jako důsledek rovnic pole. Skutečně, použití zákona zachování energie a hybnosti (2.6) zkušební částice, plynoucího z Einsteinových rovnic (2.50a), vede k jejímu geodetiekému pohybu [78] popsanému rovnicí (2.5). Gravitace a mechanika jsou zde nerozlučně vzájemně spjaty ("sjednocení gravitace a mechaniky") na rozdíl od Newtonovy teorie, kde jsou zcela nezávislé. Podobně máme-li volné elektromagnetické pole ve vakuu, pak z Einsteinových rovnic (na jejichž pravé straně je tenzor energie-hybnosti elektromagnetického pole) gravitačního pole, buzeného tímto elektromagnetickým polem, plynou Maxwellovy rovnice Fik;k = 0 volného elektromagnetického pole; zajímavá interpretace této skutečnosti pro unitární teorii pole je v geometrodynamice Wheelera a Misnera, viz dodatek B, §B.3 "Wheelerova geometrodynamika. Gravitace a topologie.".

Řešení Einsteinových rovnic
Obraťme se nyní k otázce, jak stanovit strukturu prostoročasu v daných fyzikálních situacích, tj. jak Einsteinovy gravitační rovnice řešit. Přímočaré použití Einsteinových rovnic pro stanovení evoluce fyzikálního systému na základě vhodných počátečních podmínek - tzv.
Cauchyova úloha - bude nastíněno v §3.3 "Cauchyova úloha, příčinnost a horizonty". Einsteinovy gravitační rovnice (2.50) jsou tenzorové nelineární parciální diferenciální rovnice druhého řádu, takže jejich obecné řešení je velmi obtížné a ve většině případů jej nelze analyticky nalézt. Pro zjednodušení řešení se postupuje několika směry :

Slabé gravitační pole - linearizovaná teorie gravitace
Pro slabá gravitační pole lze použít příslušné aproxinace obecné teorie ralativity - tzv.
linearizované teorie gravitace. V linearizované teorii gravitace se Einsteinovy rovnice a rovnice pohybu formulují a řeší tak, jako by prostoročas byl v podstatě rovinný, pouze s velmi malým zakřivením charakterizujícím gravitační jevy. Pro dostatečně slabá pole a ve vhodné (téměř inerciální) vztažné soustavě je možno metrický tenzor vyjádřit ve tvaru

gik   =   hik + hik ; |hik|   <<   1   , (2.51)

kde hik je Minkowskiho tenzor plochého prostoročasu a hik je malá "oprava" vyjadřující slabé gravitační pole. Složky hik jsou úměrné Newtonovu gravitačnímu potenciálu, jak jsme to pro hoo stanovili v §2.4, vztah (2.27), a pro ostatní složky h to zjistíme níže.
   Nelineární Einsteinovy gravitační rovnice pak rozložíme v řadu podle mocnin hik a vzhledem k jejich malosti můžeme bez větší ztráty přesnosti zanedbat jejich součiny a mocniny a ponechat pouze členy prvního řádu; tím dostaneme hledané linearizované rovnice. Linearizované koeficienty konexe pro metriku (2.51) jsou Gikl = (1/2)(hik,l + hil,k - h,ikl) a Ricciho tenzor křivosti s přesností 1.řádu v hik má tvar Rik = (1/2)(hli,kl + hlk,il - hlik,l - h,ik), kde h ş hii = hik hik; přitom indexy u hik se "zvedají" a "spouštějí" pomocí hik, nikoliv celého gik (příspěvky od hik jsou druhého řádu a zanedbávají se). Einsteinovy rovnice v této aproximaci pak jsou

hil,kl + hkl,il - hik,ll - h,ik - hik(hlm,lm - h,ll)   =   (16pG/c4) . Tik   .      

Zavedeme-li si veličiny

yik   =   hik  -  1/2 hik h   , (2.52)

mají tyto rovnice tvar

- yik,ll - hikylm,lm + yil,kl + yik,ll   =   (16pG/c4) . Tik   .      

Dá se ukázat, že bez ztráty obecnosti lze pro veličiny yik zavést kalibrační podmínky [271]

yik,k   =   0 (2.53)

analogické Lorentzovým kalibračním podmínkám Aik,k = 0 v elektrodynamice. Linearizované Einsteinovy rovnice pak nabývají jednoduchý tvar

- yik,ll   ş   o yik   =   (16pG/c4) . Tik   , (2.54)

kde o ş 2/x2 - (1/c2) 2/t2 je d'Alembertův operátor. Obecné řešení těchto linearizovaných gravitačních rovnic při Lorentzově kalibraci (2.53) lze vyjádřit ve tvaru retardovaných potenciálů

(2.55)

podobně jako v elektrodynamice, kde R = Ö[a=1S3(xa - x'a)2] je vzdálenost z jednotlivých míst x'a soustavy zdroje do vyšetřovaného bodu xa (podobně jako na obr.1.4a). Retardované řešení (2.55) ukazuje, že změny v gravitačním poli se šíří rychlostí světla. Význam tohoto řešení pro gravitační vlny bude rozebírán v §2.7 "Gravitační vlny" (kde v pasáži "Jak rychlá je gravitace?" budou krátce diskutovány i obecné otázky rychlosti šíření změn v gravitačním poli).

Zde budeme uvažovat situaci, kdy gravitační pole je buzeno zdrojem pro nějž s dostatečnou přesností platí Newtonovská fyzika, tj. rychlosti jsou zde malé a Too<<|Tia|. Pokud se navíc nacházíme dostatečně blízko u zdroje nebo pokud je zdroj statický (tj. nacházíme se v "induktivní" zóně r << c.T, kde T je charakteristická doba změny rozložení hmoty ve zdroji), je možno retardaci zanedbat a řešení (2.55) má tvar

yoo  =  - 4j/c4   ,   yoa  =  0   ,   yab  =  0   ,

kde j(t,xa) = -G.ň(Too(t,x'a)/R)dx'1dx'2dx'3 je obyčejný Newtonův potenciál. V tomto případě metrika (2.51) je

ds2   »   - c2(1 + 2j/c2)dt2 + (1- 2j/c2)(dx2+dy2+dz2)   , (2.56a)

tj.

gik   » / -(1 + 2j/c2) 0 0 0 \         (2.56b)
˝ 0 1 - 2j/c2 0 0 ˝
˝ 0 0 1 - 2j/c2 0 ˝
\ 0 0 0 1 - 2j/c2 /

Výraz (2.27) pro časovou komponentu metrického tenzoru pro slabá pole je tím doplněn o ostatní složky. Ve vzdálenostech r podstatně větších než rozměry zdroje lze přibližně položit R » r a metriku (2.56a) lze vyjádřit pomocí celkové hmotnosti M = ňT°°d3x zdrojové soustavy :

(2.56c)

Tato metrika je přibližným vyjádřením Schwarzschildovy geometrie (3.13) odvozené v §3.4 "Schwarzschildova geometrie".

Rotující gravitace
V obecnějším případě, kdy rychlosti pohybu ve zdroji gravitačního pole mohou být velké a složky tenzoru napětí T
ab a hustoty hybnosti T°a mohou být srovnatelné s hustotou hmoty~energie T°°, lze slabé gravitační pole v dostatečné vzdálenosti od zdroje přibližně stanovit tak, že retardované potenciály (2.55) rozložíme v Taylorovu řadu podle mocnin x'/R. V klidové vztažné soustavě s počátkem v těžišti (tj. Pa = ňad3x = 0 , ňxaT°°d3x = 0) pak po vhodné kalibraci dostáváme s přesností 1/r :

(2.56d)

kde Ja = ňeabgxbTg°d3x je vlastní (rotační) moment hybnosti zdrojového tělesa.
   Gravitačně-vlnové členy v metrice zde nebudeme uvažovat, jejich význam a vlastnosti budou rozebírány v §2.7 "Gravitační vlny". Zde se zmíníme o některých gravidynamických efektech. V polárních souřadnicích s polární osou orientovanou ve směru vektoru momentu hybnosti J bude vnější gravitační pole rotujícího tělesa popsáno přibližnou metrikou

(2.56e)

která je speciálním případem obecné Kerrovy geometrie (3.37) pro malý moment hybnosti J (§3.6 "Kerrova a Kerrova-Newmanova geometrie").
   
V rámci Newtonovy teorie je gravitační pole dáno pouze rozložením hmoty a vůbec nezávisí na okamžité rychlosti jednotlivých částí zdroje ani na jeho případné rotaci (pokud ovšem tato nevede ke změnám distribuce hmoty). V OTR však rotace zdroje zanechává na vnějším gravitačním poli (tj. na metrice prostoročasu) charakteristické "stopy" ve formě nediagonálních členů *).
*) Tuto metriku přitom nelze diagonalizovat bez vzniku explicitní závislosti složek metrického tenzoru na čase t.
   Tyto nediagonální členy dj.dt vedou k tomu, že na tělesa působí určitá přídavná síla (v rovnici geodetiky se d2j/dt2 ą 0 stává nenulovým) způsobující strhávání lokálních inerciálních soustav (angl. frame dragging) - strhávání volných těles rotujícím gravitačním polem do směru rotace zdroje. Je to podobné, jako když koule rotující ve viskózní kapalině strhává do rotace kapalinu v blízkosti svého povrchu. Tento jev se nazývá Lense-Thirringův efekt podle autorů, kteří ho poprvé zkoumali [248]. U běžných rotujících těles (makroskopických předmětů, planet, obyčejných hvězd a pod.) je efekt strhávání velmi malý, avšak může mít rozhodující význam u rotujících černých děr v tzv. ergosféře, jak bude ukázáno v §4.4 "Rotující a elektricky nabité Kerrovy-Newmanovy černé díry".

Hydrodynamická analogie vlivu rotace zdrojového tělesa na vlastnosti buzeného gravitačního pole. 
Vlevo: V rámci Newtonovy teorie je gravitační pole tělesa dáno pouze rozložením hmoty a vůbec nezávisí na jeho případné rotaci (pokud ovšem tato nevede ke změnám distribuce hmoty).
 Podobně, hladké a symetrické těleso (jako je koule), rotující v ideální kapalině bez viskozity, nezpůsobuje pohyb kapaliny ve svém okolí.
Vpravo: V obecné teorii relativity však rotace zdroje zanechává na vnějším gravitačním poli (na metrice prostoročasu) charakteristické "stopy" - dochází ke strhávání lokálních inerciálních soustav - strhávání volných těles rotujícím gravitačním polem do směru rotace zdroje.
 Podobně, těleso rotující ve viskózní kapalině strhává do rotace kapalinu v blízkosti svého povrchu.

Magnetogravitace - gravitoelektromagnetismus ?
U těchto
gravidynamických efektů lze vystopovat určitou analogii s magnetismem v elektrodynamice. V §1.4 "Analogie mezi gravitací a elektrostatikou" jsme si ukázali, že Newtonovské gravitační pole je z formálního hlediska matematického popisu zcela analogické poli elektrickému. Obecněji se dá ukázat, že existují formální analogie mezi rovnicemi elektromagnetismu (Maxwellovými rovnicemi) a speciálními aproximacemi Einsteinových gravitačních rovnic v OTR. Tato analogie se označuje jako gravitoelektromagnetismus - některé specifické kinematické účinky gravitace jsou analogické magnetickým účinkům pohybujících se nábojů. Jedná se především o výše zmíněný efekt strhávání těles do směru rotace zdroje gravitačního pole (Lense-Thirringův jev), který poněkud připomíná magnetismus. Pomocí speciálních "účelových" transformací lze Einsteinovy gravitační rovnice upravit do tvaru rovnic elektromagnetismu.
  Z objektivního pohledu jsou však tyto analogie pouze formální, s malým fyzikálním významem. Jevy zdánlivě připomínající magnetismus jsou zde druhého a vyššího řádu ve srovnání s primárním gravitačním ("gravistatickým") působením. Skutečný fyzikální magnetismus, způsobený interakcí pohybujících se "nábojů" - zdrojů pole - v gravitaci obsažen není...
Pozn.1: Za magnetismus v gravitaci by mohly být považovány i známé Coriolisovy síly Fc=-2m.[v´w ] , které připomínají magnetickou Lorentzovu sílu Fm= (1/c).q . [ v ´ B ] působící kolmo při pohybu elektrického náboje q rychlostí v v magnetickém poli intenzity (indukce) B. Tyto síly jsou však ve skutečnosti pouze kinematickým efektem v rotující vztažné soustavě (úhlovou rychlostí w), nastávajícím i v rámci klasické Newtonovy mechaniky...
  V oblasti elektřiny se magnetické jevy dobře manifestují v běžných laboratorních podmínkách proto, že elektrické silové účinky kladných a záporných elektrických nábojů se v průměru anulují, takže nepřekrývají dynamické efekty magnetické. Kovový drát (vodič) je celkově elektricky neutrální i tehdy, když ním prochází proud nabitých elektronů; vznikající magnetické pole tak může nerušeně silově působit na druhý (rovněž nenabitý) vodič s elektrickým proudem.
  V oblasti gravitace se však přitažlivé "gravistatické" síly sčítají, takže v tomto silném statickém poli jsou subtilní gravidynamické efekty za normálních okolností zcela překryty statickou gravitací. Běžná makroskopická tělesa, planety a hvězdy se ve vázaných systémech nikdy nemohou pohybovat či rotovat vysokými (relativistickými) rychlostmi, takže mohou sice budit silnou gravitaci, ale jen minimální dynamické efekty. Pouze u kompaktních gravitačně zhroucených objektů, neutronových hvězd a zvláště černých děr, může být rotační pohyb relativistický, v důsledku čehož se gravidynamické efekty mohou téměř vyrovnat silám gravistatickým a mohou se manifestovat výraznými astrofyzikálními efekty - §4.4 "
Rotující a elektricky nabité Kerrovy-Newmanovy černé díry" a §4.8 "Astrofyzikální význam černých děr".
Pozn.2: V této souvislosti můžeme zmínit i analogii elektromagnetických a gravitačních vln - §2.7 "Gravitační vlny". Zajímavá je též okolnost, že i v "prázdném" prostoru bez hmotných zdrojů se objevuje na pravé straně Einsteinových rovnic zdroj globálního gravitačního pole - Isaacsonův tenzor "efektivní rozprostřené" energie-hybnosti gravitačních vln (2.76). To je poněkud analogické tomu, jak se i ve vakuu bez proudů pro nestacionární elektromagnetické pole objevuje Maxwellův posuvný proud (srov. s §1.5, rovnice (1.34)) budící magnetické pole stejně jako proud skutečných elektrických nábojů. I tato analogie je však formální, bez přímé souvislosti s magnetismem...
  Nelze tedy očekávat, že by gravidynamické jevy mohly umožnit, ani v principu, nějakou "gravitroniku" - gravitační obdobu elektroniky ve vesmírných měřítcích!

Možnosti ověření vlivu rotace
Přes nepatrnost vlivu rotace na buzené gravitační pole však v 60.letech byly několika odborníky z university ve Stanfordu
(L.Schiff, G.Pugh, R.Cannon, W.Fairbank, F.Everitt, N.Roman) navrženy, avšak zatím nerealizovány*), vysoce citlivé experimenty, které by mohly tento efekt prokázat a změřit i ve slabém gravitačním poli Země pomocí přesného sledování změn směru rotační osy gyroskopu, obíhajícího na polární oběžné dráze. Rotační osa takového setrvačníku se během obíhání bude měnit v důsledku dvou efektů OTR:
a) Gyroskop obíhá v zakřiveném prostoročase gravitačního pole Země - geodetický efekt, konexe, změna směru vektoru při paralelním přenosu - viz §2.4. Tento efekt by měl být dominantní a vést ke změně osy rotace ve směru pohybu sondy na oběžné dráze o asi 6''/rok.
b) V důsledku strhávání rotačním momentem hybnosti Země by rotační osa gyroskopu měla vykazovat nepatrnou "anomální" precesi - stáčet se ve směru rotace Země (pro polární dráhu ve směru kolmém k rovině oběhu) úhlovou rychlostí úměrnou momentu hybnosti Země a nepřímo úměrnou třetí mocnině oběžného poloměru. Očekávaná hodnota této anomální precese je pouze několik setin úhlové vteřiny za rok (cca 0,04''/rok pro navrhovanou dráhu cca 600km nad Zemí).
   Obě tyto odchylky a),b) jsou navzájem kolmé. Pro objektivní prokázání efektu je zapotřebí porovnávat rotační osy nejméně dvou gyroskopů, rotujících opačnými směry.

*) Současná poznámka: Gravity Probe B
Tento experiment byl dlouhou dobu ve stádiu projektu. Po překonání řady technických obtíží a dlouhodobém testování byla 20.dubna 2004 vypuštěna družice Gravity Probe B, která na polární oběžné dráze ve výšce 640km nese 4 precizní gyroskopy o průměru 3,8cm zhotovené z dokonale homogenního čistého křemene, rotující rychlostí 10 000 otáček/minutu. Dva rotují v jednom směru, dva v opačném. Jejich povrch je potažen supravodivou vrstvou niobu. Tato supravodivá vrstva při své rotaci generuje magnetické pole, které je elektromagnetickou indukcí monitorováno v tzv. SQUID (Superconducting QUantum Interference Device) elektronickém zařízení, které s vysokou citlivostí (10
-4'') zjistí odchýlení osy rotace gyroskopu. Pouzdro s gyroskopy je spojeno s malým pointovacím dalekohledem zaměřeným na hvězdu IM Pegasi, čímž je zajištěno referenční směrování rotačních os gyroskopů. Pro zvýšení citlivosti měření (odstupu signál-šum) je celý měřící systém zabudován uvnitř Dewarovy nádoby s 2400litrů kapalného hélia, které během provozní doby více než 1roku chladí měřící prostor na teplotu 1,8°K.
Vysoká citlivost instalovaných zařízení dává naději, že během předpokládaných cca 18měsíců měření budou s vysokou přesností ověřeny svérázné dynamicko-kinematické efekty obecné teorie relativity - o výsledcích zde bude stručně referováno. Podrobnější informace a průběžné výsledky jsou publikovány na
http://einstein.stanford.edu.


Tři aspekty zakřivení prostoročasu
V obecné teorii relativity se tedy uplatňují tři základní způsoby zakřivení prostoročasu vlivem různé distribuce hmoty-energie a její časové dynamiky :
× Zakřivení prostoru
× Deformace času
× Rotační pohyb prostoru


Variační odvození Einsteinových rovnic gravitačního pole
Vyvrcholením matematické struktury každé fyzikální teorie je formulace jejích zákonů pomocí Hamiltonova variačního principu nejmenší akce [165],[166]. Tento přístup spočívá v tom, že pro vyšetřovanou fyzikální soustavu se konstruuje Lagrangeova funkce (lagrangián) L taková, že její integrál - akce - je pro skutečný pohyb (trajektorii, evoluci) extremální, tj. variace akce je rovna nule. Z toho pak plynou základní Lagrangeovy pohybové rovnice dané fyzikální soustavy. Hlavním přínosem variační metody je to, že pomáhá vyjasnit některé strukturální zákonitosti teorie, jako jsou souvislosti mezi principy symetrie a zákony zachování, jednoznačnost rovnic pohybu a pod.

Pro soustavu [zdrojová tělesa + buzené pole] lze celkovou veličinu akce považovat za součet tří členů: S = Sm + Sf + Smf, kde Sm je akce zdrojových těles (částic), Sf je akce samotného pole a Smf vyjadřuje vzájemnou interakci částic s polem. Pro fyzikální pole v teorii relativity je akce dána integrálem lagrangiánu Lf, který je funkcí potencialů pole a jejich derivací přes vyšetřovanou 4-rozměrnou prostoročasovou oblast W: Sf = ňLf(j,j,i) dW, , dW= dtdxdydz. Veličiny Sm a Smf je v relativistické fyzice rovněž výhodné psát ve tvaru integrálů (Sm = ňLm dW přes 4-rozměrnou prostoročasovou oblast, tj. použít přístupu fyziky kontinua. Při stanovování možných tvarů lagrangiánu, resp. integrálu akce , se vychází z určitých obecných fyzikálních požadavků na výsledné rovnice pole, jako je relativistická invariance (obecná kovariantnost), příp. linearita (princip superpozice), symetrie, stupeň a pod. Z takto vymezené skupiny možných lagrangiánů se pak vybírá často podle "estetických" kritérií jednoduchosti.
   Na příklad pro elektromagnetické pole, popsané vektory intenzit elektrického a magnetického pole, z požadavku linearity rovnic pole (princip superpozice) plyne, že lagrangián musí být kvadratickou funkcí intenzit pole; nejjednodušším skalárem (relativistická invariantnost) těchto vlastností, vytvořeným ze složek elektrických a magnetických intenzit, je sumační součin FikFik komponent tenzoru elektromagnetického pole (1.114), takže integrál akce pro elektromagnetické pole má tvar Se = k.ňFikFik dW. Celkový lagrangián soustavy nabitých částic a elektromagnetického pole potom je [166] L = -rmc2 + (1/16pc) FikFik + (1/c2)Aiji . Z variačního principu dS= d ňL dW = 0 pak můžeme získat jednak pohybové rovnice částic v elektromagnetickém poli (pokud elektromagnetické pole považujeme za dané a variujeme trajektorii částice), jednak Maxwellovy rovnice elektromagnetického pole (při variaci složek 4-potenciálu při zadaném rozložení a pohybu nábojů).
   Pro gravitační pole v OTR, kdy se vyšetřovaný fyzikální systém skládá ze soustavy zdrojových (hmotných) těles a z buzeného gravitačního pole, bude celková akce dána součtem S = Sm + Sg, kde Sm = ňLm(qa,qa,i)Ö(-g) dW je integrál akce zdrojové části popsané zobecněnými souřadnicemi qa (a=1,2,...,N je pořadové číslo zobecněné souřadnice) a Sg = ňLg(gik)Ö(-g) dW je akce samotného gravitačního pole popsaného složkami metrického tenzoru gik. Faktor Ö(-g) pochází z křivočarých souřadnic - zaručuje, že součin Ö(-g) dW se při integraci přes 4-rozměrný objem chová jako invariant. Interakční člen zde není, protože je implicitně obsažen ve členu Sm (tím, že je zdroj popsán fyzikálními zákony v křivočarých souřadnicích zakřiveného prostoročasu, je vyjádřena i jeho interakce s gravitačním polem). Lagrangián Lg musí být skalární funkcí metrického tenzoru gik a jeho derivací tak, aby variací vzniklé rovnice pole obsahovaly derivace ne vyšší jak 1.řádu. Nejjednodušším takovým skalárem je skalární křivost R prostoročasu (2.24); připustíme-li ještě přítomnost konstantního členu C = const., mohl by lagrangián gravitačního pole mít tvar Lg = k.R + C. Aby se získaly Einsteinovy rovnice již přímo s obvyklým tvarem konstantních faktorů, píše se tento lagrangián ve formě Lg = (c3/8pG) (R - 2.L), kde G je Newtonova gravitační konstanta a L je kosmologická konstanta. Variační princip dS = d(Sg + Sm) = 0 při úplné variaci pak po úpravách dává vztah [166]

je tenzor energie-hybnosti zdroje. Variace metriky gik dává Einsteinovy rovnice gravitačního pole

Rik - (1/2) gikR - L.gik   =   (8pG/c4)Tik   ,                

zatímco variace zdrojových proměnných qa vede k rovnicím pohybu zdrojové soustavy (negravitačních polí) :

                              

2.4. Fyzikální zákony v
zakřiveném prostoročase
  2.6. Deviace a fokusace geodetik

Gravitace, černé díry a fyzika prostoročasu :
Gravitace ve fyzice Obecná teorie relativity Geometrie a topologie
Černé díry Relativistická kosmologie Unitární teorie pole
Antropický princip aneb kosmický Bůh
Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření
AstroNuklFyzika ® Jaderná fyzika - Astrofyzika - Kosmologie - Filosofie

Vojtěch Ullmann