AstroNuklFyzika ® Jaderná fyzika - Astrofyzika - Kosmologie - Filosofie Gravitace, černé díry a fyzika

Kapitola 3
GEOMETRIE A TOPOLOGIE PROSTOROČASU
3.1. Geometricko-topologické vlastnosti prostoročasu
3.2. Minkowského rovinný prostoročas a asymptotická struktura
3.3. Cauchyova úloha, příčinnost a horizonty
3.4. Schwarzschildova geometrie
3.5. Reissnerova-Nordströmova geometrie
3.6. Kerrova a Kerrova-Newmanova geometrie
3.7. Prostoročasové singularity
3.8. Hawkingovy a Penroseovy teorémy o singularitách
3.9. Nahé singularity a princip "kosmické cenzury"

3.5. Reissnerova-Nordströmova geometrie

Předchozí sféricky symetrický případ je možno poněkud zobecnit při zachování sférické symetrie tím, že budící těleso budeme uvažovat elektricky nabité. Pro zachování sférické symetrie musí být distribuce tohoto elektrického náboje též sféricky symetrická, protože gravitační pole je buzeno nejen hmotou zdrojového tělesa, ale i tenzorem energie-hybnosti elektromagnetického pole. Nesymetrické rozložení náboje by vedlo k nesymetrickému elektrickému poli, které by budilo nesymetrické gravitační pole.
  Element prostoročasového intervalu bude mít opět stejný sféricky symetrický základní tvar (3.10)

ds2   =   gttdt2 + grrdr2 + r2(dJ2 + sin2J dj2)   .    

Rozdíl oproti předchozímu Schwarzschildovu řešení je nyní v tom, že vnější řešení nebude řešením Einsteinových rovnic bez pravé strany, ale pravou stranou zde bude tenzor energie-hybnosti elektromagnetického pole Tikelmag (1.118). V tomto případě se jedná o Coulombovské centrálně symetrické elektrostatické pole o intenzitě E = E(r).er, kde er je jednotkový bázový vektor radiálního směru. Protože Schwarzschildova radiální souřadnice r si zachovává ten význam, že plocha koule se středem v bodě symetrie, mající poloměr r, je rovna 4pr2, podle Coulombova zákona (Gaussovy věty) je E(r)= Q/r2. Tenzor energie-hybnosti tohoto elektrického pole potom je (nediagonální složky jsou nulové)

Tttelmag = -Trr = TJJ = Tjj = E(r)2/8p = Q2/8p.r 4   ;    

ten dosadíme do Einsteinových rovnic Rik - (1/2)gikR = 8pTikelmag a pro sféricky symetrickou metriku (3.10) dostaneme podobným postupem jako při odvozování Schwarzschildova řešení opět dvě nezávislé diferenciální rovnice

dgtt/dr = (1/r) gtt (1 + grr - grr.Q2/r2) ,   dgrr/dr = - (1/r) grr (1 + grr - grr.Q2/r2) , 

Řešení této soustavy je

gtt = C1(1 -C2/r + Q2/r2) ,   grr = (1 -C2/r + Q2/r2 )-1   ,    

kde ze stejných důvodů jako ve Schwarzschildově případě musí být integrační konstanty C1=1 a C2=-2M. Konečný výraz pro element prostoročasového intervalu sféricky symetrického gravitačního pole buzeného sféricky symetrickým tělesem o celkové hmotnosti M a elektrickém náboji Q má tedy tvar

(3.32)

v geometrodynamických jednotkách; v běžných jednotkách je to

(3.32')

Tato geometrie se nazývá Reissnerova-Nordströmova geometrie. Parametr M zde má opět význam celkové hmotnosti, parametr Q význam celkového elektrického náboje měřeného vzdáleným pozorovatelem pomocí Gaussových integrálních toků vektoru E, popř. pomocí analýzy pohybu nabitých testovacích částic.

Podle vzájemného poměru hodnot M a Q můžeme v Reissnerově-Nordströmově geometrii rozlišovat čtyři význačné případy lišící se globální geometrickou strukturou:
a) Při Q = 0, M ą 0 dostáváme Schwarzschildovu geometrii;
b) 0 < Q2 < M2;
c) 0 > Q2 = M2 ;
d) Q2 > M2 > 0.
Nejprve rozebereme případ 0 < Q
2 < M2, který je fyzikálně nejzajímavější.

Reissnerova-Nordströmova metrika (3.32) je značně podobná Schwarzschildově metrice (3.13), avšak liší se tím, že výraz

1 - 2 M r + Q2/r2       

je v případě 0 < |Q| < M roven nule pro dva "kořeny" r= rg+ a r = rg- :

rg+ = M + Ö(M2 - Q2) ,   rg- = M - Ö(M2 - Q2)   . (3.33)

V obyčejných jednotkách jsou to hodnoty

rg+ = (G/c2) [M + Ö(M2 - Q2)] ,   rg- = (G/c2) [M - Ö(M2 - Q2)]   . (3.33')

V Reissnerově-Nordströmově geometrii tedy existují dva "horizonty", kde metrika (3.32) není regulární - "vnější" horizont r=rg+ a "vnitřní" horizont r=rg-. Vnější horizont r=rg+ má podobný význam jako Schwarzschildova sféra ve Schwarzschildově prostoročase je to horizont událostí, oddělující příčinně vnitřní oblast od vnější; z (3.33) vidíme, že za přítomnosti elektrického náboje je gravitační poloměr rg+ menší než rg =2M ve Schwarzschildově případě. Pod r=rg+ jsou světelné kužely obráceny dovnitř směrem k r=0 (protože gtt > 0) a zdálo by se, že každý objekt jež se tam dostane nutně skončí v singularitě r=0. Avšak na vnitřním horizontu r=rg- se světelné kužely opět začínají napřimovat (časová složka metrického tenzoru opět mění znaménko: gtt < 0) - je zde tedy možný pohyb částice tak, aby se vyhnula singularitě (obr.3.20). Nemůže se však dostat přes vnější horizont (tj. horizont událostí) zpět do původního prostoročasu, ale nutně do "jiného vesmíru", který leží vzhledem k původnímu v absolutní budoucnosti (viz níže).

Obr.3.20 Kerrův prostoročasový diagram Reissnerovy-Nordströmovy geometrie (podobně bude situace vypadat i v Kerrově a Kerrově-Newmanově geometrii - §3.6). Vnější horizont r= rg+ je horizontem událostí (světelné kužely pod ním jsou obráceny dovnitř směrem k r=0). Pod vnitřním horizontem r= rg- se však světelné kužely začínají opět "napřimovat", takže světočára tělesa, které proniklo pod horizont r=rg+, nemusí nutně skončit v singularitě r=0.

Singulární chování metriky (3.32) ve standardních souřadnicích na těchto horizontech je opět jen zdánlivé a může být odstraněno přechodem k vhodnějším souřadnicím podobným Kruskalovým. S pomocí modifikované souřadnice r*

(3.34)

podobně jako při extenzi Schwarzschildovy geometrie zavedeme izotropní souřadnice p = t + r*, q= t - r*. Ty potom za účelem odstranění singulárního koeficientu v metrice dále přetransformujeme :

(3.34')

Po zavedem nových časových a prostorových souřadnic u = (q' - p')/2 a v = (q' + p')/2 má Reissnerova-Nordströmova metrika tvar

(3.35)

Po konformní transformaci (analogické (3.5) v §3.2) za účelem názornější prezentace asymptotické struktury bude Reissnerova-Nordströmova geometrie popsána intervalem

(3.36)


Obr.3.21. Penroseův konformní prostoročasový diagram úplné extenze Reissnerovy-Nordströmovy geometrie pro případ Q
2<M2.
a) Souřadnicová síť - hyperplochy r=const. a t=const.
b) Globální geometrická struktura - nekonečně mnoho periodicky se opakujících vnějších oblastí ("vesmírů") A...,-1,1,2,.., vnitřních oblastí B...,-1,1,2,.. a C...,-1,1,2,.., horizontů a singularit.

Prostoročasový diagram konformního obrazu Reissnerovy-Nordströmovy geometrie pro fyzikálně nejpravděpodobnější případ 0 <|Q|< M je na obr.3.21. Geometrická struktura této úplné extenze Reissnerova-Nordströmova řešení je neočekávaně složitá. Objevuje se zde nekonečné množství periodicky se opakujících "vesmírů" (samostatných asymptoticky rovinných vnějších oblastí A…,-1,1,2,…), horizontů a singularit. Oproti Schwarzschildově geometrii (obr.3.19), kde singularity jsou prostorového typu (a tedy pro každý objekt v oblasti B nevyhnutelné), jsou singularity Reissnerovy-Nordströmovy geometrie podle obr.3.21 časového typu - jsou takříkajíc "časově omezené" a lze se jim vyhnout.

Obr.3.22. Pozorovatel O pohybující se ve vnější asymptoticky rovinné oblasti A1 Reissnerova- Nordströmova prostoročasu má tři možnosti.
Buďto se bude neustále pohybovat v A
1 (plná čára), takže se v limitě dostane do I+ nebo do Á+. Pokud však pozorovatel pronikne pod horizont r=rg+ (čárkovaná tra jektorie) do vnitřní oblasti B1, projde i horizontem vnitřním r=rg- do oblasti C1, kde má dvě možnosti: buď narazí na singularitu (tečkovana dráha) kde je pohlcen a zničen, nebo se může vyhnout singularitě (čerchovaná trajektorie) a dostane se do další asymptoticky rovinné vnější oblasti A2. Situace v tomto dalším "vesmíru" A2 přitom není zcela určena počátečními podmínkami na Cauchyho hyperploše S, jak je vidět např. v bodě pÎA2.

Sledujme osud pozorovatele (jak je naznačeno na obr.3.22), který při svém pohybu Reissnerovým-Nordströmovým prostoročasem pronikl pod vnější horizont r = rg+. Protože se dostal pod horizont událostí, nemůže se již nijak vrátit do původního vnějšího prostoru (oblasti A1) a má v podstatě dvě možnosti. Jednak doletět do singularity, kde jeho světočára (a tedy i jeho existence v rámci uvažované variety) definitivně skončí. To však není (na rozdíl od Schwarzschildova prostoročasu) nevyhnutelné, pozorovatel se může singularitě vyhnout a pohybovat se dále, až se objeví v druhé asymptoticky rovinné oblasti A2, v druhém "vesmíru", který leží vzhledem k výchozímu A1 v absolutní budoucnosti. Vidíme tedy, že reálný hmotný objekt pohybující se v Reissnerově-Nordströmově geometrii v rámci světelného kuželu může v principu "cestovat" mezi jednotlivými "vesmíry" *), aniž by musel projít singularitou (na rozdíl od Schwarzschildovy geometrie, kde Einsteinovým-Rosenovým mostem by se dalo projít pouze nadsvětelnou rychlostí).
*) Je třeba upozornit, že toto "cestování mezi různými vesmíry" (a samotná existence těchto dalších vesmírů) je možné pouze teoreticky v krajně idealizovaném modelu asymptoticky rovinného vesmíru bez jiných těles a polí, s přesnou Reissnerovou-Nordströmovou nebo Kerrovou geometrií. Kritické posouzení podobných možností bude v §4.4, část "Černé díry - mosty do jiných vesmírů?".
  Podíváme-li se na kauzální vztahy tohoto druhého vesmíru vzhledem k původnímu, vidíme, že vnitřní horizonty r=rg- jsou zároveň Cauchyovými horizonty. Vezmeme-li si nějakou událost P v oblasti A2 a sledujeme, čím může být principiálně ovlivňována, vidíme, že sice může být ovlivňována geodetikami (např. G1) přicházejícími z oblasti A1 (a danými tedy počátečními podmínkami na vhodné Cauchyho hyperploše v A1), avšak mohou tam rovněž "nekontrolovaně" přicházet nové informace geodetikami (např. G2, G3, G4) z oblastí nekonečna minulosti I-, Á- a ze singularity, která je odtud "vidět". Tyto informace mohou narušit každou předpověď učiněnou na základě počátečních podmínek v oblasti A1. Pozorovatel se tedy vynořil v oblasti prostoročasu (jiném "vesmíru"), který není jednoznačně určen počátečními podmínkami na žádné Cauchyho hyperploše v původní oblasti A1.
  Zkonfrontujme to s deterministickou ideou klasické (nekvantové) fyziky, kterou zformuloval již Laplace: Kdybychom v určitém okamžiku zjistili všechny fyzikální veličiny ve všech místech vesmíru (tj. okamžitý stav vesmíru - úplný soubor počátečních podmínek na Cauchyho hyperploše) a znali fyzikální zákony, kterými se všechny tyto veličiny řídí, mohli bychom neomezeně předpovídat evoluci vesmíru, tj. jeho stav kdykoliv v budoucnosti (nebo i minulosti). V úplné extenzi Reissnerovy-Nordströmovy geometrie však toto není splněno, existují zde Cauchyho horizonty (a tedy neexistují globální Cauchyovy hyperplochy) a jsou zde proto oblasti, jejichž stav není jednoznačně určen žádným souborem počátečních podmínek. Pouze ve vnější asymptoticky rovinné oblasti lze jednoznačně "předvídat" budoucnost z parciálních Cauchyho hyperploch. Tedy i v klasické fyzice (na níž je Reissnerova-Nordströmova geometrie jakožto řešení Einsteinových rovnic založena) může být možnost předvídat budoucnost omezena nejen praktickou nedostupností fyzikálních veličin ve všech místech vesmíru v určitém časovém okamžiku, ale principiálně též globální geometricko-topologickou strukturou prostoročasu.
  Na obr.3.21 každý bod oblasti B mezi rg+ a rg- (kde plochy r=const. jsou prostorového typu) reprezentuje dvojrozměrnou kulovou plochu, která je uzavřenou pohlcující plochou (viz definici 3.10). Pozorovatel O při svém průchodu plochou r=rg- (obr.3.22) uvidí celou další historii asymptoticky rovinné vnější oblasti A1, kterou opouští, za konečný čas. Každé těleso z této oblasti proto bude vidět s neomezeně narůstajícím fialovým posuvem. Z toho plyne, že Cauchyho horizont r=rg- je nestabilní vůči perturbacím počátečních podmínek na výchozí prostorové hyperploše S [192]. Je jasné, že "kosmologické" otázky evoluce "vesmíru" A1, který pozorovatel opouští, budou pro něj velmi důležité. Jestliže vesmír A1 bude v budoucnu třebas kolabovat, nevyhne se tomuto osudu ani pozorovatel O; na horizontu r=rg- se setká s nekonečnou hustotou hmoty~energie, tedy nakonec vlastně se singularitou.


Obr.3.23. Penroseův konformní prostoročasový diagram úplné extenze Reissnerovy-Nordströmovy geometrie pro případ Q
2 = M2.
a) Hyperplochy (souřadnicové čáry) r = const. a t = const.
b) Globální geometrická struktura - nekonečně mnoho periodicky se opakujících vnějších oblastí A a vnitřních oblastí B.

Pro případ Q = M má příslušný konformní prostoročasový diagram úplné extenze Reissnerovy-Nordströmovy geometrie tvar znázorněný na obr.3.23. Je vidět opět nekonečně mnoho periodicky se opakujících "vnějších" oblastí A (M<r<Ą) a vnitřních oblastí B (0<r<M). Vnější a vnitřní horizonty splývají (rg- = rg+ = M), jedná se o speciální případ extrémní černé díry (viz §4.4).


Obr.3.24. Penroseův konformní prostoročasový diagram Reissnerovy-Nordströmovy geometrie v případě Q
2> M2.
a) Souřadnicové čáry - hyperplochy r=const. a t=const.
b) Globální geometrická struktura - tvary světelných kuželů a radiální pohyb těles a fotonů. Nejsou zde horizonty, singularita r=0 je "nahá" (je viditelná z kteréhokoliv světobodu).

V případě Q2 > M2 není třeba žádnou extenzi hledat, protože prostoročas je nerozšiřitelný již v původních souřadnicích; je všude regulární kromě bodu r=0 - neodstranitelné fyzikální singularity prostoročasu. Konformní prostoročasový diagram pro tento případ je na obr.3.24. Horizont událostí zde není, jedná se o nahou singularitu (viz §3.9 a §4.4).

3.4. Schwarzschildova geometrie   3.6. Kerrova a Kerrova-Newmanova geometrie

Gravitace, černé díry a fyzika prostoročasu :
Gravitace ve fyzice Obecná teorie relativity Geometrie a topologie
Černé díry Relativistická kosmologie Unitární teorie pole
Antropický princip aneb kosmický Bůh
Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření
AstroNuklFyzika ® Jaderná fyzika - Astrofyzika - Kosmologie - Filosofie

Vojtěch Ullmann