AstroNuklFyzika ® Jaderná fyzika - Astrofyzika - Kosmologie - Filosofie Gravitace, černé díry a fyzika

Kapitola 4
ČERNÉ   DÍRY
4.1. Úloha gravitace při vzniku a evoluci hvězd
4.2. Konečné fáze hvězdné evoluce. Gravitační kolaps
4.3. Schwarzschildovy statické černé díry
4.4. Rotující a elektricky nabité Kerrovy-Newmanovy černé díry
4.5. Teorém "černá díra nemá vlasy"
4.6. Zákony dynamiky černých děr
4.7. Kvantové vyzařování a termodynamika černých děr
4.8. Astrofyzikální význam černých děr
4.9. Úplný gravitační kolaps - největší katastrofa v přírodě

4.4. Rotující a elektricky nabité Kerrovy-Newmanovy černé díry

V předchozích odstavcích bylo stručně nastíněno, jak úplným gravitačním kolapsem sféricky symetrické (kulové nerotující a elektricky nenabité) hvězdy vzniká Schwarzschildovská černá díra. Podmínky přesné sférické symetrie však nejsou téměř nikdy ve skutečnosti splněny, většina hvězd např. rotuje. Vzniká otázka, zda černá díra může vzniknout i kolapsem rotující hvězdy, či zda zrychlující se rotace (odtředivá síla) je schopna kolapsu zabránit? V newtonovské fyzice by i původně pomalá rotace hvězdy nakonec převážila a kolaps by zastavila. V obecné teorii relativity se však ukazuje, že i kolapsem rotující hvězdy může nakonec vzniknout černá díra, i když složitějším způsobem [222],[215],[227].

Kolaps rotující hvězdy
Rotující hvězda, která je vlivem odstředivé síly vždy příslušně "zploštělá", se při kolapsu (vlivem neustále zrychlující se rotace v důsledku zachování momentu hybnosti) stlačí do diskovitého útvaru, jakéhosi prudce rotujícího "lívance", jehož průměr může několikanásobně převyšovat jeho tloušťku. Jestliže moment hybnosti není příliš veliký (v porovnání s hmotností hvězdy), může kolaps pokračovat i v ekvatoriální rovině a bez dalších komplikací vznikne černá díra. Složitější situace nastane tehdy, když moment hybnosti je velký, např. větší než kritická (viz §3.6) hodnota J= M2. V takovém případě předpokládáme, že neustále zrychlující se rotace roztrhne diskovitý "lívanec" na několik částí *) - viz obr.4.1. Některé části, které obdrží vysoký moment hybnosti, odletí pryč (a patřičně tak sníží zbylý moment hybnosti soustavy), většina však bude gravitačně vázána a bude obíhat kolem společného těžiště. Tyto fragmenty pak při svém oběhu kolem společného těžiště budou vyzařovat gravitační vlny (soustava má velký kvadrupólový moment rychle se měnící s časem) odnášející rotační energii a tím se budou brzdit a sbližovat, až se nakonec postupně slijí a vytvoří výslednou rotující černou díru s momentem hybnosti J < M2. Nejdříve se přitom zbrzdí a slijí velké fragmenty, protože ty (podle vzorce (2.82)) nejintenzívněji vyzařují.
*) Teoreticky je zde též možnost, že se vytvoří rotující útvar mající tvar toroidu, v němž by kolaps proběhl nejdříve podél menšího poloměru a potom (pokud je "délková" hustota hmoty~energie postačující) případně i kolaps podél většího poloměru. Ve skutečnosti však lze očekávat, že v takovém toroidu hned při jeho vzniku se budou nacházet určité nehomogenity a deformace, které pak budou růst s časem - toroidní útvar se rozpadne na několik fragmentů a další evoluce bude pak již probíhat tak, jak je shora uvedeno v textu.


Obr.4.14. Gravitační kolaps rotující hvězdy.
a) Rotující hvězda se při kolapsu stlačí do prudce rotujícího diskovitého útvaru. Polkud není rotace natolik rychlá aby zastavila kolaps v ekvatoriální rovině, vznikne Kerrova černá díra.
b) Při velkém momentu hybnosti v důsledku neustále se zrychlující rotace může dojít k převážení nestabilit a k roztržení diskovitého útvaru na několik částí.
c,d) Jednotlivé fragmenty pak obíhají kolem společného těžiště, vyzařováním gravitačních vln se brzdí, postupně sbližují a spojují.
e) Nakonec jsou všechny fragmenty pohlceny a vznikne rotující černá díra s patřičně sníženým rotačním momentem hybnosti.

Kerrova-Newmanova geometrie
Černá díra vzniklá kolapsem rotující hvězdy však z důvodu rotace již nebude sféricky symetrická, ale může být pouze
osově symetrická. V současné době se považuje za obecné řešení (důvod viz následující §4.5) pro axiálně symetrickou rotující a elektricky nabitou černou díru tzv. Kerrova-Newmanova geometrie prostoročasu, kterou jsme si z geometrického hlediska popsali v §3.6 "Kerrova a Kerrova-Newmanova geometrie". Kerrova-Newmanova geometrie je zobecněním Schwarzschildovy geometrie zhruba řečeno v tom smyslu, že Schwarzschildova geometrie je kulová, zatímco Kerrova-Newmanova geometrie je obecně eliptická. Některé aspekty Kerrovy-Newmanovy geometrie byly rozebírány ve zmíněném §3.6; zde budeme v tomto rozboru pokračovat za účelem studia vlastností rotujících a elektricky nabitých černých děr, jejichž prostoročas tato geometrie popisuje.
   Element prostoročasového intervalu Kerrovy-Newmanovy geometrie (3.41) v Boyerových- Lindquistových souřadnicích byl uveden v §3.6; zde si jej napíšeme znovu :

(4.25)

kde M je celková hmotnost, Q elektrický náboj, J vlastní rotační moment hybnosti axiálně symetrického zdroje této geometrie; a = J/M je specifcický rotační moment hybnosti na jednotku hmotnosti černé díry. Horizont událostí r = rg+ má poloměr

(4.26)

Poloměr horizontu je zde tedy menší než by měla nenabitá nerotující černá díra stejné hmotnosti (pro tento případ Schwarzschildovy černé díry přechází vztah (4.26) ve vztah (3.14), tj. rg = 2M). V běžných sférických souřadnicích má horizont rotující černé díry zploštělý elipsoidní tvar (podobně jako rotace odstředivou silou deformuje Zemi do mírně zploštělého tvaru s rozdílem průměru cca 20km mezi rovníkem a póly; viz též upozornění na obr.4.16) a to tím výrazněji, čím rychleji černá díra rotuje, čím vyšší je moment hybnosti J. Vzniká otázka, zda příliš rychlá rotace by mohla "odstředivou silou" roztrhnout horizont (podobně jak by se to stalo při přehnaně rychlém roztočení třebas kotouče brusky nebo cirkulárky). V §4.6 "Zákony dynamiky černých děr" bude ukázáno, že černou díru nelze roztočit nad určitou maximální "dovolenou" či "nepřekročitelnou" rychlost tzv. extrémní Kerrovy černé díry, kdy M2 = J2/M2. Pokusíme-li se do černé díry otáčející se téměř extrémní rychlostí vrhnout těleso, které by ji ještě více roztočilo, odstředivé síly zabrání tomuto tělesu proniknout dostatečně blízko k horizontu, proletí mimo a není pohlceno; viz též níže komentář k nerovnosti (4.36).
   Pro fyziku černých děr jsou zajímavé právě oblasti prostoru r ł rg+ nad vnějším horizontem - horizontem událostí *). Všechno, co probíhá pod horizontem r = rg+ je totiž příčinně odděleno od ostatního vesmíru a nijak se neprojeví. Týká se to vnitřního horizontu r = rg- = M = Ö(M2-a2-Q2) i prstencové singularity u r = 0, popsaných v §3.6 "Kerrova a Kerrova-Newmanova geometrie".
*) V §3.5 a 3.6 byla rozebírána analytická extenze dovnitř r = rg+. Zdá se však, že toto vnitřní řešení pod horizontem nemá fyzikální význam. Jednak je tato oblast zaplněna vnitřkem kolabujícího tělesa. Kromě toho pro kolaps s rotací neplatí analogie Birkhoffovy věty (§3.4, teorém 3.3); Kerrova metrika nepopisuje vnější prostoročas v průběhu kolapsu, ale až asymptotický tvar metriky po ukončení všech dynamických procesů. Další důvody, proč se nerealizuje složitá vnitřní geometricko-topologická struktura prostoročasu uvnitř rotující černé díry, jsou diskutovány níže v části "Černé díry - mosty do jiných vesmírů? Stroje času?", obr.4.19.

Vliv rotace černé díry. Ergosféra.
Abychom si objasnili podstatu fyzikálních jevů, které mohou probíhat v okolí Kerrovy-Newmanovy černé díry (a uvidíme, že zde lze očekávat velice zajímavé efekty), podíváme se nejprve na vlastnosti pohybu testovacích částic. Vlastnosti orbit testovacích částic v poli Kerrovy-Newmanovy geometrie obecné černé díry jsou podstatně složitější než v případě Schwarzschildovy geometrie nerotující nenabité černé díry. Ke kvalitativnímu poznání některých základních aspektů pohybu však není třeba řešit komplikované Carterovy rovnice (3.44), vystačíme s metrickými koeficienty v prostoročasovém elementu (4.25).
   
Mějme tedy podle obr.4.15a testovací částici (nenabitou) v místě se zadanými souřadnicemi r,J, která se pohybuje pouze ve směru j ; takový pohyb se nazývá stacionární, protože prostoročasová geometrie kolem částice se při ní nemění. Bude nás zajímat úhlová rychlost vzhledem k asymptoticky klidové vztažné soustavě W ş dj /dt = (dj/dt)/(dt/dt) = uj/ut , kde uj a ut jsou příslušné komponenty čtyřrychlosti (vyšetřujeme stacionární pohyb, tj. jen ve směru j , takže uJ = ur = 0). Tato úhlová rychlost nemůže být libovolná, přípustné jsou jen takové hodnoty W, pro něž 4-rychlost u leží uvnitř světelného kuželu budoucnosti :

u 2   =   gtt ut ut + 2 gtj ut uj + gjj uj uj   <   0   ,      

což vyjádřeno pomocí W dává: gtt (ut)2 + 2 gtj W (ut)2 + gjj W2 (ut)2 < 0, tj.

gtt + 2 W gtj + W2 gjj   <   0   . (4.27)

Geometrie prostoročasu tedy "diktuje" tělesu nacházejícímu se v místě se zadanými r a J přípustnou úhlovou rychlost v rozmezí

(4.28)

kde W-max je maximální úhlová rychlost oběhu proti směru rotace a W+max je maximální rychlost oběhu ve směru rotace černé díry. Pro velké vzdálenosti r od černé díry (nebo při jejím malém momentu hybnosti J® 0) je W-max » - 1/r, W+max » 1/r , takže rychlost částice u = W.r Î <-1,+1> může být jak ve směru rotace, tak proti ní, maximálně rovna rychlosti světla stejně jako je tomu v rovinném prostoročase STR (pohyb přípustný uvnitř světelného kuželu). S přibližováním k černé díře se W-max zvětšuje, takže těleso se proti směru rotace černé díry musí pohybovat pomaleji než kdyby rotace černé díry nebylo (obr.4.15a).

Obr.4.15. Strhávání pohybu těles v blízkosti rotující černé díry.
a)
Efekt strhávání lokálních inerciálních soustav (naklánění světelných kuželů do směru rotace černé díry) vede k postupnému omezování maximálně možné rychlosti u
- pohybu těles proti směru rotace černé díry při přibližování k černé díře. Daleko od černé díry (pro r® Ą) je u+ = c, u- = -c, v konečných vzdálenostech vně ergosféry je u+> 0, u-< 0, |u-|< |u+|. Na statické mezi však je již u- = 0, v ergosféře dokonce u- > 0 Ţ těleso se musí nutně pohybovat ve směru rotace černé díry.
b) Volně padající částice na rotující černou díru se nejprve pohybuje v radiálním směru, ale při přiblížení k horizontu se pohyb stáčí ve směru rotace kolem černé díry; na horizont částice "dopadá" v tangenciálním směru a zůstane rotovat spolu s horizontem.
c) Částice vržená na černou díru v opačném směru, než se otáčí černá díra, při přiblížení k horizontu je efektem strhávání donucena změnit směr obíhání a na černou díru dopadne jako korotující - stejně jako částice na obr.b).
Na obr.b),c) jsou pro srovnání čárkovaně zakresleny trajektorie částice pro případ nerotující (Schwarzschildovy) černé díry (WH=0).

Rotace černé díry se na vnější geometrii prostoročasu projevuje strháváním (unášením) lokálních inerciálních soustav, které nutí volná tělesa vykonávat rotační pohyb kolem černé díry, a to tím více, čím blíže jsou k rotující černé díře *). Je to podobné, jako když koule rotující ve viskózní kapalině strhává do rotace kapalinu v blízkosti svého povrchu.
*) Efekt strhávání inerciálních soustav v gravitačním poli rotujícího tělesa (nejen černé díry) vede k jakési "spin-orbitální interakci" mezi rotací ("spinem") centrálního gravitujícího tělesa a momentem hybnosti obíhajících těles: pohyb těles, např. jejich energie (viz vztah (4.39)), závisí na vzájemné orientaci momentu hybnosti černé díry a orbitálního momentu tělesa.
V gravitačním poli rotujících těles existuje též "spin-spinová interakce" s tělesy, která mají vlastní rotaci. Například gyroskop v gravitačním poli tělesa rotujícího úhlovou rychlostí
W bude vzhledem k asymptoticky inerciální soustavě vykonávat precesní pohyb - jeho rotační osa mající úhel j se bude stáčet s úhlovou rychlostí w ş dj/dt » W.rg+/r. Tento jev se nazývá Lense-Thirringův efekt podle autorů, kteří ho poprvé zkoumali [248], viz §2.5, pasáž "Rotující gravitace".
   Lze říci, že Kerrova-Newmanova geometrie v jistém smyslu rotuje spolu s černou dírou *) - prostoročasové světelné kužely jsou natáčeny do směru rotace černé díry. Pozorovatel nacházející se v místě se souřadnicemi r,J je vůči lokální geometrii v klidu a směry + j a - j jsou pro něho ekvivalentní jen tehdy, když rotuje (obíhá) kolem černé díry úhlovou rychlostí

(4.29)

takový pozorovatel se nazývá lokálně nerotující.
*) U běžných rotujících těles (makroskopických předmětů, planet, obyčejných hvězd) jsou Lense-Thirringovy gravitačně-rotační efekty nepatrné, většinou na hranicích měřitelnosti (je diskutováno v §2.5, část "
Rotující gravitace", pasáž "Možnosti ověření vlivu rotace"). V okolí rychle rotující černé díry však vzniká intenzívní gravitační vír podobný mohutnému tornádu! Rotace černé díry s sebou unáší okolní prostor a nutí jej otáčet se ve "víru" v závislosti na rychlosti rotace černé díry a na vzdálenosti od ní. V dálce od rotující černé díry se prostor otáčí velmi zvolna, pozorovatel to ani nepociťuje (podobně jako daleko od tornáda proudí vzduch jen pomalu). S přibližováním k horizontu se otáčí prostor rychleji, pozorovatele to "táhne" do směru rotace (podobně jako roste rychlost větru v blízkosti tornáda). U horizontu se prostor otáčí stejnou rychlostí jako sám horizont, každý pozorovatel je neúprosně stržen do víru rotace.
  Efekt strhávání pohybu těles v blízkosti rotující černé díry má výrazný vliv na pohyb částic a těles padajících do černé díry. Na obr.4.15b,c jsou schématicky nakresleny trajektorie dvou testovacích těles padajících do rotující černé díry (z hlediska souřadnicového systému vnějšího statického pozorovatele). Částice na obr.4.15b se pohybuje volným pádem v radiálním směru k černé díře. Kdyby černá díra nerotovala (statická Schwarzschildova černá díra), pohybovala by se částice po přímkové dráze až k horizontu (zpočátku stále rychleji, těsně u horizontu by z hlediska vnějšího pozorovatele svůj pád zastavila a zůstala by trvale "zamrzlá" v daném místě na horizontu - bylo diskutováno v §4.2, pasáž "Dva různé pohledy na gravitační kolaps - vnější a vnitřní"). Rotace černé díry však způsobí, že při přiblížení k horizontu se pohyb částice stáčí ve směru rotace kolem černé díry. Na horizont částice "dopadá" v téměř tangenciálním směru a zůstane rotovat spolu s horizontem (z hlediska vnějšího pozorovatele opět částice navždy "zamrzne" na otáčejícím se horizontu; z hlediska samotné částice tato za krátkou chvíli svého vlastního času dosáhne horizontu, proletí jím a směřuje ke středu černé díry...). Druhá částice na obr.4.15c je vržená na černou díru v opačném směru, než se otáčí černá díra. Při přiblížení k horizontu je efektem strhávání postupně donucena obrátit směr obíhání a na černou díru dopadne jako korotující - skončí stejně jako částice v případě b).
  
Protože reálná tělesa se mohou pohybovat jen uvnitř světelného kuželu, omezuje toto natočení prostoročasových světelných kuželů maximální možnou rychlost pohybu tělesa proti směru rotace černé díry z původní hodnoty rovné rychlosti světla na hodnotu tím nižší, čím blíže je k černé díře (jak bylo výše ukázáno). Na ploše dané rovnicí

r   =   rS   =   M  +  Ö(M2 - a2 cos2 J - Q2) (4.30)

je maximální možná rychlost stacionárního pozorovatele proti směru rotace černé díry již rovna nule. Tato plocha (tvaru rotačního elipsoidu, obr.4.16), na níž se již žádný objekt nemůže pohybovat proti směru rotace černé díry (gtj = 0), se nazývá statická mez; vně této meze mohou existovat statická (nehybná vzhledem k nekonečnu) tělesa, uvnitř nikoli. Oblast rozprostřená mezi statickou mezí a horizontem se nazývá ergosféra. Uvnitř ergosféry je strhávání již tak silné, že žádné těleso se zde nemůže udržet v klidu; je nevyhnutelně vtaženo do rotace a jeho obíhání kolem černé díry nezabrání žádná síla - světelné kužely jsou zcela obráceny do směru rotace černé díry. Ergosféra (kterou mají jen rotující černé díry) je nejrozsáhlejší v "rovníkové" oblasti a zužuje se směrem k pólům, kde se statická mez r = rS dotýká horizontu r = rg+ (obr.4.16).

Obr.4.16. Schématické znázornění horizontu, statické meze a oblasti ergosféry rotující Kerrovy-Newmanovy černé díry s rotačním momentem hybnosti J ve směru osy Z. Jedná se o pohled "z boku" - ze strany rovníku; pohled "shora" (ze strany pólu) je na obr.4.l7.
Upozornění: Souřadnice r,J , vyznačené na obrázku pro lepší orientaci, zde nejsou běžné sférické souřadnice! V blízkosti rotující černé díry se souřadnice r,J odlišují od sférických souřadnic, neboť se jedná o "eliptické" (sféroidální) Boyerovy-Lindquistovy souřadnice (§3.6). V běžných sférických souřadnicích má horizont rotující černé díry zploštělý elipsoidní tvar.

V ergosféře existují orbity, na nichž částice mají zápornou celkovou energii vzhledem k nekonečnu - vazbová energie převyšuje vlastní hmotnost částice *). Při přechodu přes statickou mez r = rS totiž časová složka metrického tenzoru goo mění znaménko a stává se zápornou. Proto energie E = m gik uk = m(goou° + goaua) částice hmotnosti m pohybující se rychlostí ua se pro některé orbity testovací částice může stát zápornou. Taková částice se zápornou energií nemůže opustit ergosféru a při pohlcení černou dírou vnese pod horizont zápornou energii vzhledem k nekonečnu - zmenší hmotnost černé díry. Geodetiky se zápornou energií jsou zcela uzavřeny uvnitř ergosféry, takže žádná volně pohybující se částice z vnější oblasti se na orbitu se zápornou energií nemůže dostat; k dosažení orbity se zápornou energií je třeba tělesu uvnitř ergosféry udělit dodatečné (negravitační) zrychlení - viz níže Penroseův proces.
*) Z analýzy obecného vztahu (4.34') pro energii částice v Kerrově-Newmanově poli plyne, že pro E<0 je třeba orbita s protisměrným pohybem (L
j<0), jejíž parametry r,.r,Lj splňují určitou (obecně poměrně komplikovanou) nerovnost [8] ; z této nerovnosti pak vyplývá, že hranicí oblasti obsahující orbity se zápornou energií je právě statická mez daná rovnicí (4.30).

Penroseův proces ; Superradiace; Blandford-Znajekův proces
Ergosféra má tu zajímavou vlastnost (a odtud též vznikl její název - řec. ergos = práce), že jejím prostřednictvím je možno z černé díry získávat tu část energie (~hmoty), která souvisí s rotací. Penrose [205] prozkoumal následující efekt (obr.4.17): vnikne-li těleso A do ergosféry a tam se rozpadne na dvě části B, C tak, že jedna část, třebas B, se dostane na protisměrnou orbitu se zápornou energií a je pohlcena černou dírou, může druhá část C získat zpětný ráz a vylétnout z ergosféry s větší energií než mělo původní těleso, přičemž se zmenší rotační moment hybnosti černé díry. Tento jev, umožňující vyextrahovat rotační energii a moment hybnosti z černé díry, se nyní nazývá Penroseův proces.


Obr.4.17. Penroseův proces získávání energie z ergosféry rotující černé díry. Těleso A vlétne do ergosféry a tam se ve vhodném okamžiku rozdělí na dvě tělesa B a C tak, že těleso B se dostane na orbitu se zápornou energií (vzhledem k nekonečnu) a je pohlceno černou dírou. Druhá část C pak vyletí z ergosféry s větší energií, než mělo původní těleso A.

Jestliže těleso A mělo (vzhledem k nekonečnu) celkovou energii EA a pohlcené těleso B energii EB<0 (dostalo se na orbitu se zápornou energií), bude změna hmotnosti černé díry při pohlcení DM = EB < 0. Celková energetická bilance potom bude vypadat takto :

EC   =   EA - DM   >   EA   ; (4.31)

celková energie získaná při tomto procesu tedy je

D E   =   EC - EA   =  - DM   >   0   . (4.31')

Zajímavá je rovněž bilance kinetické energie; za tím účelem si celkovou energii tělesa rozdělíme na kinetickou energii Ekin a klidovou hmotnost: EA = EAkin + mA.c2 , EC = ECkin + mCc2. Získaná kinetická energie DEkin = ECkin - EAkin = EC - mCc2 - EA +mAc2 pak po dosazení z (4.31) a mA = mB + mC vychází

D Ekin   =   mB . c2   - DM   ; (4.32)

jinými slovy, na kinetickou energii vylétajícího tělesa C se přeměnila veškerá klidová hmotnost pohlceného tělesa B a navíc ještě část hmotnosti černé díry.
   Černá díra, pokud má maximální (extrémní) rychlost rotace, může teoreticky uložit až 42% (z mc2) své hmotnosti ve formě rotační energie. Tato energie je obsažena v rotujícím gravitačním poli vně horizontu, takže ji lze v principu čerpat.
   Co se týče praktického (astrofyzikálního) významu Penroseova procesu, byly navrhovány různé mechanismy a uspořádání pro získávání energie z rotujících černých děr [204],[205] *). Podrobnější rozbor pohybu těles při Penroseově procesu, který provedli Bardeen, Press a Teukolský [8] však ukázal, že rozpad tělesa uvnitř ergosféry by musel proběhnout s velmi vysokou vzájemnou rychlostí obou fragmentů - nejméně c/2. Pro makroskopická tělesa proto Penroseův proces pravděpodobně nebude astrofyzikálně významný; neznáme totiž fyzikální procesy, které by mohly udělovat tak velké vzájemné rychlosti makroskopickým hmotným objektům. Pro nabité částice však takovým mechanismem může být silné magnetické pole v okolí černé díry - tzv. Blandfordův-Znajekův proces nastíněný níže.
*) Penrose dokonce navrhl kuriózní sci-fi projekt "černoděrové elektrárny" využívající energii získanou vrháním odpadů do rotující černé díry. Kontejnerky s odpadem se vrhají do černé díry, uvnitř ergosféry se otevře víko a odpad se "vysype" na dráhu se zápornou energií. Kontejnerky tím získávají Penroseovým procesem značnou kinetickou energii, rychle vylétají z ergosféry a mohou nárazy pohánět lopatky turbiny spojené s elektrickým generátorem...

Superradiace
Vlnovou (radiační) obdobou Penroseova proc
esu je efekt tzv. superradiace [287],[8], kdy vlna dopadající na rotující černou díru je - pokud má vhodnou vlnovou délku - černou dírou zesilována na úkor rotační energie černé díry. Mějme (monochromatickou) vlnu klasického pole s frekvencí w , momentem hybnosti (axiálním kvantovým číslem) l a případně elektrickým nábojem q, která dopadá (z nekonečna) na černou díru. Ve stacionáním axiálně symetrickém Kerrově-Newmanově poli bude taková vlna popsána funkcí (řešením vlnové rovnice příslušného pole) y(t,r,J,j) = F(r,J) e -i w t e i l j ; pro skalární a elektromagnetické pole lze provést separaci proměnných, tj. F(r,J) napsat ve tvaru součinu dvou funkcí: F(r,J) = R(r).S(J) [43],[246]. Protože prostoročas Kerrovy-Newmanovy černé díry je stacionární a axiálně symetrický, budou veličiny w a l integrály pohybu. Část vlnění se pohltí a po interakci s černou dírou bude v pohybu pokračovat "rozptýlená" vlna, která bude mít stejnou frekvenci w , avšak obecně jinou amplitudu. Změny hmotnosti, náboje, momentu hybnosti a plochy černé díry při této interakci jsou vázány 1.zákonem mechaniky černých děr (viz §4.6, rovnice (4.50)):

d M   =   (k/8p) dA + W dJ + F dQ   .      

Poměr toku energie, momentu hybnosti a náboje (obecně připusťme, že vlna může nést i elektrický náboj q) v dopadající i rozptýlené vlně je roven w : l : q , takže díky zachování energie a momentu hybnosti budou ve stejném poměru i změny příslušných parametrů černé díry dM : dJ : dQ = w : l : q. První zákon dynamiky černých děr pak dává

dM ( 1 - W l /w - F q / w ) =   (k/8p) dA   .      

Protože podle 2.zákona dynamiky černých děr (viz §4.6; předpokládáme, že uvažované vlnění splňuje energetickou podmínku (2.60) nezápornosti lokální hustoty energie pro každého pozorovatele) je dA > 0, bude platit nerovnost

dM ( w - l W - q F )   ł   0   .        

Jestliže je

w   <   l W  +  q F         

(dostatečně malá frekvence vlnění), bude změna hmotnosti černé díry dM < 0 záporná, takže černá díra bude odevzdávat energii vlnám. Při interakci takového vlnění s černou dírou se tedy jeho amplituda zvýší: i když je vlna částečně pohlcována, rozptýlená část může získat od černé díry více energie, než měla dopadající vlna - vlnění se zesílí na úkor rotační energie černé díry. Lze to přirovnat k jakémusi gravitačnímu "maseru". Efekt superradiace by mohl mít určitý astrofyzikální význam *); pro černé díry hvězdných hmotností frekvence w splňující podmínku superradiace spadají do oblasti radiovln. Superradiace může vést též k jednomu zajímavému efektu pro fyziku černých děr. Na konci minulého odstavce bylo ukázáno, že orbity částic kolem Schwarzschildovy černé díry jsou v důsledku ztrát gravitačním vyzařováním vždy nestabilní. Efekt superradiačního zesilování gravitačních vln však umožňuje v blízkosti rotující černé díry existenci jakýchsi "plovoucích orbit", na nichž jsou ztráty vyzařováním gravitačních vln kompensovány energií získávanou z černé díry superradiačním rozptylem těchto vyzařovaných gravitačních vln [210].
*) Na základě efektu superradiace byly též navrženy některé myšlenkové projekty [210] umožňující vysoce rozvinutým civilizacím čerpat z rotujících černých děr velké množství energie, a též mechanismus "černoděrové bomby" (black hole bomb): obklopí-li se černá díra sférickým zrcadlem, budou elektromagnetické vlny mnohokráte odráženy k černé díře a jí superradiačně zesilovány (vznikne "kladná zpětná vazba"), takže jejich intenzita (energie) lavinovitě poroste až k explozi.
  Takto probíhá proces superradiace pro "bosonová" klasická pole s celočíselným spinem. V případě "fermionových" klasických polí se ukazuje, že superradiace nenastává. Je to způsobeno jednak tím, že tenzor energie-hybnosti pro klasická pole s poločíselným spinem nesplňuje energetickou podmínku (2.60) a proto nelze aplikovat 2.zákon mechaniky černých děr, jednak z kvantového hlediska Pauliho princip připouští přítomnost pouze vždy jedné částice pro danou frekvenci rozptylující se vlny, takže rozptýlená vlna nemůže být silnější než vlna dopadající. Kvantové aspekty superradiace a na ně navazující efekt kvantového vypařování černých děr bude rozebírán v §4.7, část "Mechanismus kvantového vyzařování".

Elektromagnetická extrakce rotační energie - Blandfordův-Znajekův mechanismus
Další zajímavou modifikací Penroseova procesu za účasti
silného magnetického pole se zabývali R.Blandford a R.Znajek v obsáhlé práci [20]. Ukazuje se, že vnější velmi silné magnetické pole v okolí rotující černé díry může rychle se pohybující nabité částice svým silovým působením uvádět na orbity se zápornou energií v ergosféře rotující Kerrovy černé díry, což by Penroseovým procesem mohlo vést k extrakci rotační energie (a momentu hybnosti) černé díry. Vyextrahovaná energie by v ergosféře byla předávána elektromagnetickému poli, které by pak mohlo urychlovat další nabité částice. Takovýto Blandfordův-Znajekův mechanismus by se mohl uplatňovat v nitru akrečních disků kolem černých děr, kde by mohl přispívat k energii relativistických výtrysků z kvasarů a aktivních galaktických jader, viz §4.8 "Astrofyzikální význam černých děr".
  Nachází-li se kolem rotující černé díry obíhající plasma z nabitých částic, vytváří rotačními toroidálními proudy, tekoucími v ekvatoriální rovině, silné poloidální magnetické pole. Strhávání prostoru a magnetických siločar rotací černé díry pak indukuje mohutný elektrický generátor ve formě proudu nabitých částic. Z nich část se dostává na orbity se zápornou energií v ergosféře a padá do černé díry, přičemž vyextrahovaná energie posiluje elektromagnetické pole. Jiné nabité částice jsou pak elektromagneticky urychlovány extrahovanou rotační energií a tuto svou energii magnetohydrodynamickými efekty předávají plasmě ve výtryscích. Takové "gravito-magnetické dynamo", poháněné rotací černé díry, by mohlo do jetů z akrečního disku dodávat značné množství energie.
  Výše uvedené mechanismy tedy ukazují, že rotující černé díry jsou "živé" na rozdíl od "mrtvých" Schwarzschildových černých děr, z nichž nelze získat žádnou energii (nepřihlížíme-li ke kvantovým jevům). Tato "živost" rotujících černých děr může mít značný astrofyzikální význam (bude diskutováno §4.8., část "Akreční disky kolem černých děr" - "Tlusté akreční disky.Kvasary").

Pohyb částic v poli rotující černé díry
Pohyb testovacích částic v Kerrově-Newmanově poli obecné černé díry je dán rovnicemi (3.44). Z rovnic (3.44a) a (3.44b) dostaneme pro částici s klidovou hmotností mo, elektrickým nábojem q, energií (vzhledem k nekonečnu) E a axiální složkou momentu hybnosti Lj (vzhledem k ose rotace černé díry) vztah

(4.33)

Pro koeficienty při jednotlivých mocninách energie E (které jsou funkcemi místa a parametrů testovací částice a černé díry) si zavedeme označení [43]

(4.33a)

(4.33b)

(4.33c)

Výše uvedená rovnice má potom tvar

(r2 + a2 cos2 J) [ (dr/dl)2 + (dJ/dl)2 ]   =   a E2 - 2 b E + g   . (4.34)

Vyjádříme-li odtud energii

(4.34')

je vidět (vzhledem k tomu, že a > 0 všude vně horizontu), že energie splňuje nerovnost

    E   ł . (4.35)

Na horizontě r= rg+ je a = (rg+ 2 + a2)2, b = (Lj a + q Q rg+)(rg+ 2 + a2), g = (Lj a + q Q rg+)2, takže relace (4.35) se zde zjednoduší na

(4.36)

jen při splnění této podmínky může částice dosáhnout horizontu a být pohlcena. Nerovnost (4.36), která zdola omezuje množství energie vnesené pod horizont při pohlcení tělesa s nábojem q a momentem hybnosti Lj, hraje důležitou roli v dynamice černých děr - viz §4.6 "Zákony dynamiky černých děr", kde z ní přímo plyne vztah (4.51).

Analýza pohybu testovacích částic v Kerrově-Newmanově geometrii podle Carterových rovnic (3.44) je v obecném případě značně komplikovaná [228],[48],[237]. Určitého zjednodušení dosáhneme, budeme-li vyšetřovat pouze pohyb částic v "rovníkové" rovině rotující černé díry. Ekvatoriální orbity v poli Kerrovy-Newmanovy černé díry jsou zároveň nejzajímavější, nejcharakterističtejší a pro praxi nejdůležitější. V důsledku efektu strhávání lokálních inerciálních soustav je např. akreční disk kolem rotující černé díry (§4.8) natáčen do ekvatoriální roviny a vlastní akrece se děje především z ekvatoriálních orbit. Ve velkých vzdálenostech od černé díry je zase vliv její rotace malý a trajektorie částic zde příliš nezávisí na tom, v jaké rovině a jakým směrem vzhledem k ose rotace černé díry se částice pohybuje (pohyb částice ve velkých vzdálenostech je podobný jako ve Schwarzschildově poli nerotující černé díry).
  Rovnici radiální složky pohybu v ekvatoriální rovině Kerrovy-Newmanovy geometrie dostaneme z rovnice (4.34) dosazením J = p/2 a dJ/dl = 0 :

r 4 (dr/dt)2   =   a E2 - 2 b E + g   . (4.37)

a, b, g jsou opět označeny veličiny podle (4.33a,b,c), kde ovšem sin2J = 1 a cos2J = 0. Tuto rovnici lze přepsat též ve formě

(4.37')

Jediný činitel, který zde může měnit znaménko, je činitel II; činitelé I a III jsou kladní (pokud je energie E kladná). Veličina

    V(r)   =   . (4.38)

zde tedy hraje roli efektivního potenciálu pro radiální složku pohybu. Částice s energií E se může dostat pouze do míst, kde V(r) Ł E ve shodě s obecnou relací (4.35). Místa, v nichž je V(r)= E jsou body obratu, kde radiální složka pohybu mění svůj směr. Kruhové orbity jsou (spolu s podmínkou V(r)=E) dány podmínkou dV(r)/dr = 0. Tedy kruhové orbity jsou v extrémech potenciálu V(r), přičemž minimům V(r) odpovídají stabilní kruhové orbity. Podmínky V(r)= E a dV(r)/dr = 0 vedou ke vztahům (pro pohyb v ekvatoriální rovině je Lj = L)

(4.39)

kde `E ş E/mo a `L ş L/mo jsou energie a moment hybnosti na jednotku hmotnosti testovací částice [8],[81]. Úhlová a oběžná rychlost na orbitě (z hlediska vzdáleného pozorovatele) je rovna

(4.39')

což je zobecněním 3.Keplerova zákona pro kruhové ekvatoriální orbity v Kerrově metrice rotující černé díry. Vzorce (4.39) jsou pro jednoduchost uvedeny pouze pro Kerrovu černou díru, tj. pro Q=0 (jinak by klidovou hmotnost mo nebylo možno zahrnout do E a L a navíc by záleželo na specifickém náboji q/mo testovací částice). Horní znaménka platí pro pohyb ve směru rotace černé díry (L.a>0), dolní znaménka pro orbity proti směru rotace (L.a<0).
  Ze vztahů (4.39) je vidět, že kruhové orbity mohou existovat pouze v takových vzdálenostech od černé díry, pro které je splněna podmínka

r 3/2  -  3 M r 1/2  ±  2 a M 1/2   >   0   . (4.40)

Fotonová kruhová orbita (na níž je `E = Ą , `L = ± Ą ) v ekvatoriální rovině Kerrovy černé díry r = rf, jež je zároveň mezní (nejnižší) kruhovou orbitou, má poloměr rf daný rovnicí r3/2 - 3 M r1/2 ± 2 a M1/2 = 0, tj.

rf   =   2M [1 + cos 2/3 arccos(± a/M)]   . (4.41)

Pro a=0 dostáváme rf = 3M ve shodě se vztahem (4.5) pro fotonovou sféru Schwarzschildovy černé díry, pro extrémní černou díru a=M je rf = M pro korotující orbity a rf = 4M pro protisměrné fotonové dráhy.
  Podobně jako ve Schwarzschildově poli, i zde nejsou všechny kruhové orbity vázané: pro orbity dostatečně blízké mezní fotonové orbitě se hodnota energie (4.39) stává větší než jedna (`E ş E/mo > 1) - částice na takové kruhové dráze E ve vztahu není k černé díře vázána a pod vlivem sebemenší nahoru směřující poruchy odlétá z této orbity do nekonečna. Vázané kruhové orbity existují pouze pro r ł rmv, kde

rmv   =   2M  +  2M (M ± a)1/2  ±  a       

je mezní poloměr vázané orbity odpovídající E/mo = 1. Tento poloměr rmv je zároveň minimálním "perihéliem" všech parabolických orbit (tj. orbit s E/mo=1, např. těles padajících z nekonečna); každá parabolická trajektorie tělesa, které pronikne blíže než rmv, končí na černé díře. Pro a=0 dostáváme rmv=4M (srovnej s obr.4.6 vlevo), pro a=M je pro korotující kruhové dráhy rmv=M, resp. rmv=5,83 M pro protisměrné orbity. Aby kruhová orbita byla stabilní vůči radiálním perturbacím (ani všechny vázané kruhové orbity nejsou stabilní!), musí jí odpovídat minimum efektivního potenciálu, tj. musí být ještě splněna podmínka d2V(r)/dr2 Ł 0 vedoucí k nerovnosti

r2  -  6 M r  ±  8 a Ö(M r)  -  3 a2   ł   0   . (4.42)

Jen pro poloměry vyhovující této nerovnosti mohou existovat stabilní kruhové orbity, přičemž rovnítko v (4.42) odpovídá nejnižší (mezní) stabilní kruhové orbitě r = rms [8]:

(4.42')

Pro a=0 dostáváme opět poloměr nejnižší stabilní kruhové dráhy rms=6M ve Schwarzschildově geometrii, u extrémně rotující černé díry a=M má souhlasně rotující nejnižší stabilní kruhová orbita poloměr rms=M, zatímco pro nejnižší stabilní protisměrnou kruhovou orbitu je rms=9M.

Ve velkých vzdálenostech r od rotující černé díry jsou parametry (vazbová energie, specifický moment hybnosti, rychlost oběhu) korotujících a kontrarotujících orbit téměř stejné. S přibližováním k černé díře (se zmenšováním r) však vzrůstá vliv momentu hybnosti černé díry - vazbová energie korotujících orbit se zvyšuje, zatímco vazbová energie protisměrných orbit se snižuje ve srovnání se Schwarzschildovými orbitami. Nejvýraznější rozdíly pohybu testovacích částic oproti Schwarzschildově geometrii budou v blízkosti extrémní Kerrovy černé díry (a=M), kde se též budou nejvíce od sebe lišit trajektorie částic pohybujících se po směru a proti směru rotace černé díry. Markantně se to projevuje na parametrech mezních stabilních kruhových orbit. Nejnižší stabilní kruhová orbita kolem Schwarzschildovy černé díry měla tyto charakteristiky (viz §4.3): poloměr r=6M, specifický moment hybnosti `L = 2Ö(3)M, energie E = mo.8/9 a vazbová energie částice Evaz= mo- E = 5,72% mo.
  U extrémní Kerrovy černé díry bude podle vzorců (4.42) a (4.39) nejnižší stabilní korotující orbita mít poloměr r=M, specifický moment hybnosti `L = 2M/Ö3, energii E = mo/Ö3 a vazbová energie částice bude Evaz = 42,26% mo; při oběhu proti směru rotace černé díry bude nejnižší stabilní kruhová orbita v ekvatoriální rovině mít poloměr r=9M, specifický moment hybnosti `L = 22M/Ö27, energii E= 5M/Ö27, a vazbová energie částice bude jen Evaz = 3,77% z mo.
  Srovnáme-li to s výsledky získanými v předchozím §4.3 (pasáž "Vyzařování gravitačních vln při pohybu v poli černé díry"), konkrétně se vztahem (4.21), nejpozoruhodnější je to, že těleso obíhající po kruhové orbitě (korotující) v ekvatoriální rovině extrémní Kerrovy černé díry vyzáří ve formě gravitačních vln více než 40% své klidové hmotnosti! Tato hodnota vazbové energie na mezní stabilní korotující orbitě má též velký význam pro posouzení potenciální účinnosti uvolňování energie v akrečních discích kolem černých děr - viz §4.8, část "Akreční disky".

Šíření světla v poli rotující černé díry
Podobně jako u trajektorií testovacích částic, rotace černé díry má vliv i na šíření světla v jejím poli - ovlivňuje fotonové orbity. Úhel odklonu fotonů sféricky symetrickou Schwarzschildovou černou dírou závisí pouze na impaktním parametru, nikoliv na směru z něhož k černé díře přicházejí. Kolem Schwarzschildovy černé díry existuje jen jediná fotonová sféra, na níž se fotony mohou pohybovat pod všemi úhly podle toho, z jakého směru se na ni dostaly.
  Jestliže však černá díra rotuje, situace je složitější - geometrie není sféricky symetrická, ale jen axiálně symetrická, takže pro paprsky přicházející z různých směrů se prostoročas jeví různě zakřivený. Úhel odklonu paprsků (a celý charakter jejich trajektorie) může podstatně záviset na směru pohybu fotonů vzhledem ke směru rotace černé díry. Obecně paprsky směřující proti směru rotace jsou odchylovány více než fotony jdoucí po směru rotace - obr.4.18. Tyto rozdíly se projevují nejvice u fotonů procházejících v těsné blízkosti černé díry. Skutečně, ze vztahu (4.41) je vidět, že kolem rotující černé díry existují v ekvatoriální rovině dvě fotonové kruhové orbity: protisměrná kruhová fotonová orbita o větším průměru než Schwarzschildovská fotonová sféra, a korotující fotonová orbita ležící níže než u nerotující černé díry. Celkový účinný průřez gravitačního záchytu fotonů rotující černou dírou se příliš neliší od příslušné hodnoty (4.15) pro Schwarzschildovu černou díru. Úhel záchytu je však nesymetrický - fotony jdoucí proti směru rotace jsou zachycovány s větším účinným průřezem než fotony přicházející po směru rotace - obr.4.18b.


Obr.4.18. Šíření světla v gravitačním poli rotující černé díry.
a) Světelné geodetiky v ekvatoriální rovině Kerrovy černé díry. Úhel odklonu Dj- fotonu pohybujícího se proti směru rotace je (při stejném srážkovém parametru) větší než úhel Dj+ odklonu fotonu ve směru rotace černé díry. Korotující fotonová orbita r = rf+ má větší poloměr než protisměrná fotonová orbita r = rf-.
b) Účinný průřez záchytu fotonů (stejně jako jiných částic) rotující černou dírou je nesymetrický - protisměrně pohybující se fotony jsou zachycovány účinněji než fotony jdoucí po směru rotace.
c,d) Rotující (Kerrova) gravitační čočka: c- nesymetrický chod paprsků v ekvatoriální rovině; d- odklon paprsků v obecné rovině.

Parametry Kerrovy-Newmanovy černé díry
Kromě výrazů (4.26) a (4.30) pro horizont a ergosféru si uvedeme ještě další důležité vztahy mezi veličinami charakterizujícími obecnou černou díru. Plocha horizontu Kerrovy-Newmanovy černé díry je

A   =  r=2M,ňt=const.|gJJ gjj|1/2 dJ dj   =   4p (rg+2 + a2)   =
=   4
p [ 2 M2 - Q2 + 2M Ö(M2 - Q2 - a2) ]  .
(4.43)

v geometrodynamických jednotkách; v obyčejných jednotkách je plocha horizontu dána vzorcem

A   =    4pG/c4 [ 2 G M2 - Q2 + 2 Ö(G2 M4 - J2 c2 - G M2 Q2 ) ]  . (4.43')

Úhlová rychlost horizontu černé díry (což je úhlová rychlost s jakou vzhledem k nekonečnu obíhá lokálně nerotující pozorovatel na horizontu) se vypočítá ze vztahu (4.29) položením r=rg+ (což dále můžeme upravit dosazením ze vztahů (4.26) a (4.43) pro rg+ a plochu A) :

(4.44)

Je vidět, že tato úhlová rychlost je stejná ve všech místech horizontu (černá díra rotuje jako "pevné těleso"), takže WH se definuje jako úhlová rychlost černé díry.
Pro úplnost uvedeme též
elektrický potenciál horizontu :

(4.45)

čtyřpotenciál elektromagnetického pole Ai(r,J) kolem Kerrovy-Newmanovy černé díry v místě se souřadnicemi r,J je (v Lorentzově kalibraci Ai;i = 0) dán vztahem

A t  =  Q r / (r2 + a2cos2 J) ,   A j  =   - a Q r sin2 J / (r2 + a2cos2 J)   ; (4.46)

(vlivem stacionárnosti a axiální symetrie nezávisí potenciál na čase t a na úhlu j a jeho ostatní složky jsou rovny nule).
Povrchová gravitace k na horizontu (viz §4.3), což je gravitační síla působící na testovací částici nacházející se na horizontu a mající stejnou úhlovou rychlost WH jako horizont (tj. na lokálně nerotující částici na horizontu) je rovna

(4.47)

Je na první pohled vidět, že pro extrémní černou díru (pro niž je rg+ = rg- = M) je povrchová gravitace rovna nule (!).
  Je užitečné definovat si tzv. ireducibilní hmotnost černé díry Mired (význam této veličiny a z něj plynoucí její název bude ukázán v §4.6 v souvislosti se zákony dynamiky černých děr), což je hmotnost, kterou by měla Schwarzschildova černá díra se stejnou plochou horizontu - 16p Mired = 4p(rg+ 2 + a2) :

Mired   ş   Ö(A / 16p)  =   1/2 Ö(rg+2 + a2)    . (4.48)

Pro černou díru celkové hmotnosti M je veličina Mired omezena nerovností

M/Ö2   Ł   Mired   Ł   M   ,        

přičemž horní mez odpovídá Schwarzschildovské černé díře a dolní mez extrémní černé díře. Z (4.48), (4.43) a (4.44) lze snadno odvodit následující vztahy :

(4.49)
WH   =   a / (4 M2ired)  =   J / (4 M . 4 M2ired)    . (4.44')

Fyzikální význam důležitého vztahu (4.49) bude rozebírán v §4.6 v souvislosti s 2.zákonem dynamiky černých děr.

Klasifikace černých děr
V obecné Kerrově-Newmanově geometrii, o které si v příštím odstavci ukážeme, že je zřejmě nejobecnější prostoročasovou geometrií obecné stacionární černé díry, můžeme rozlišovat některé význačné speciální případy (srovnej s klasifikací Kerrovy-Newmanovy geometrie v §3.6) :

Kerrova-Newmanova geometrie má horizont (a popisuje tedy černou díru) jen tehdy, když je splněna podmínka M2 ł Q2 + J2/M2, tedy když "příliš rychle nerotuje" nebo není "příliš elektricky nabita" ve srovnání se svou celkovou hmotností M.
  Rotace
(vlastní moment hybnosti J) hraje důležitou úlohu pro geometrii prostoročasu v okolí černých děr vzniklých gravitačním kolapsem, neboť většina hvězd rotuje a moment hybnosti této rotace se díky zákonu zachování hybnosti v průběhu kolapsu příliš nezmění (pokud nenastane případ znázorněný na obr.4.14, kdy značná část momentu hybnosti může být odnesena gravitačními vlnami; odnesen je však pouze "přebytečný" moment hybnosti, zbylý rotační moment hybnosti je stále ještě značný). Jinak je to však s elektrickým nábojem černých děr:
Elektricky nabité černé díry? 
Elektrický náboj Q patrně není důležitý u černých děr ve vesmíru. Aby totiž elektrický náboj zanechal znatelnou stopu na metrice prostoročasu, musel by mít obrovskou hodnotu srovnatelnou s celkovou hmotností M (v geometrodynamických jednotkách). Jelikož hvězdy jsou většinou elektricky prakticky neutrální, vznik a udržení tak velkého náboje je velmi nepravděpodobné; kromě toho tak velké elektrické odpudivé síly by asi zabránily kolapsu do rozměrů ~2M, protože v oblastech r > 2M by tyto elektrické odpudivé síly byly zcela dominantní. I kdyby vznikla silně elektricky nabitá černá díra, brzy by se v reálné situaci "vybila". Pokud je kolem černé díry hmotné prostředí (mezihvězdná látka), budou nabitou černou dírou z okolí přitahovány a zachycovány opačné náboje (částice, ionty) - tímto selektivním pohlcováním (akrecí) opačně nabitých částic se příp. náboj černé díry rychle neutralizuje *). Ale i tehdy, když silně nabitá černá díra bude ve vakuu, sehrají svou neutralizační roli kvantové procesy tvorby elektron-pozitronových párů v silném elektrickém poli, přičemž náboje souhlasné s černou dírou budou odpuzovány a opačné náboje přitahovány a pohlcovány černou dírou. Elektrický náboj stacionární černé díry je tedy prakticky nulový. Důvod, proč jsme se zde a v §3.5 zabývali vlivem náboje a Reissnerovou-Nordströmovou geometrií, byl spíše teoretický - ukázat zajímavé (a přitom aspoň v principu fyzikálně možné) vlastnosti prostoročasu.
*) Pokud je rotující černá díra vnořena do prostředí se silným magnetickým polem, může i ve stacionárním stavu přetrvávat určitá rovnovážná velmi malá hodnota elektrického náboje, určená rychlostí rotace a intenzitou vnějšího magnetického pole.

Černé díry - mosty do jiných vesmírů? Stroje času? 
Rotující nebo elektricky nabité černé díry mají složitou geometrickou a topologickou strukturu prostoročasu (jak jsme si ukázali v §3.5 "Reissnerova-Nordströmova geometrie" a §3.6 "Kerrova a Kerrova-Newmanova geometrie"); vyskytly se spekulace, že by mohly sloužit jako mosty - tunely či portály - do jiných vesmírů, popř. tunely mezi vzdálenými místy v tomtéž vesmíru. Pokusíme se kriticky z fyzikálního hlediska posoudit tyto možnosti.
Červí díry 
Hypotetické "tunely" v prostoročase, které spojují kratší cestou dvě vzdálená místa v tomtéž vesmíru, nebo dvě místa v různých, jinak oddělených vesmírech, se nazývají "červí díry" (angl. worm hole) - podle podobnosti se spojovacími cestičkami, které si červ prokousává jablkem.
  Červ, který se nachází na povrchu jablka a má se dostat z jedné strany na druhou, to může udělat dvěma způsoby. Pokud bude svůj prostor považovat za dvojrozměrný (povrch jablka), musí se po povrchu proplazit přes celý obvod jablka. Bude-li však vnímat jablko jako trojrozměrný objekt, může zvolit cestu jeho nitrem a prokousat se ke kýženému protilehlému místu po daleko kratší cestě (nebo také delší v případě křivolaké chodbičky...). Necestuje dvoudimenzionálně po povrchu jablka, ale využije třídemenzionální zkratky "červí dírou".
Červí díra v jablku umožňuje jen nevýrazné zkrácení cesty mezi dvěma místy na povrchu-slupce. Při vhodné geometricko-topologické struktuře ve vesmíru by však červí díra mohla představovat naprosto zásadní zkrácení cesty mezi velmi vzdálenými místy ve vesmíru (např. z mnoha světelných let na stovky metrů či kilometry)!
  Podle této analogie s červem si intuitivně představujeme, že zkratková cesta mezi různými místy či vesmíry se uskutečňuje přes další, vyšší dimenzi, skrze hyperprostor. V matematické topologii (§3.1 "Geometricko-topologické vlastnosti prostoročasu") však může být prostor (varieta) vícenásobně souvislý svou vnitřní strukturou, takže k "cestování" mezi různými částmi není třeba používat další dimenze.
  Něco, co by mohlo být předobrazem modelu čeví díry, poprve posali v r.1935 A.Einstein a N.Rosen jako tzv. Einsten-Rosenův most (viz §3.4 "
Schwarzschildova geometrie", obr.3.18) ve Schwarzschildově řešení centrálně symetrického gravitačního pole.

Obr.3.18. a) Znázornění geometrické struktury řezu (prostorové hyperplochy) v = t = 0, J = p/2 Schwarzschildovým prostoročasem ve formě vnoření do pomocného trojrozměrného eukleidovského prostoru. Tento pomocný trojrozměrný prostor nemá fyzikální význam (je pouze prostředkem pro znázornění); význam má pouze vnitřní geometrie vnořené plochy, která ukazuje dvě asymptoticky rovinné oblasti A a A' spojené Einsteinovým-Rosenovým mostem.
b) Topologický tunel mezi dvěma místy téhož vesmíru. c) "Červí díra" mezi dvěma místy téhož vesmíru.

Název "červí díra" pak v r.1957 navrhl J.A.Wheeler. Ústí či jícen červí díry by vypadal jako dvourozměrná sféra. Na rozdíl od sférického horizontu černé díry je však ústí červí díry obousměrně průchozí plocha, můžeme jím projít jak do vnitřku červí díry, tak zpátky do vnějšího vesmíru. Červí díra nemá přímou souvislost s černou dírou, avšak v řadě matematických popisů černých děr se uvnitř vyskytuje i červí díra.
  Z geometricko-topologického hlediska lze červí díru defnovat jako kompaktní oblast prostoročasu, jehož prostorová hranice je topologicky ekvivalentní prosté sféře S
3, ale jejíž vnitřek je topologicky propojen s místy mimo tuto výchozí oblast. Je to tedy kompaktní oblast W v asymptoticky plochém prostoročase, jejíiž topologie má tvar W ~ R´S , kde R je Riemannův prostor a S je 3-rozměrná trubice, jejíž hranice má topologii tvaru ¶S ~S2 a hyperplocha S opisovaná v prostoročase má prostorový (prostoru-podobný) charakter.
Z geometrického hlediska máme dva druhy červích děr: 
a) Tunely spojující různé oddělené vesmíry; b) Spojky mezi různými vzdálenými místy téhož vesmíru (našeho).
Z hlediska "průchodnosti" rozeznáváme rovněž dva druhy červích děr: 
- Traversabilní - stabilní, umožňující pohyb napříč prostorem (prostoročasem), červí díry spojující dvě různá a vzdálená místa našeho vesmíru nebo různých vesmírů. Ke stabilizaci těchto červích děr je zapotřebí hmota s negativní hustotou energie (viz níže diskusi "Mohou reálně existovat červí díry?").
- Netraversabilní - velmi krátkodobé, zanikající tak rychle, že žádný reálný objekt nemůže skrze ně proletět, aniž by byl pohlcen singularitou. Takový charakter mají červí díry uvnitř černých děr (jako je Einstein-Rosenův most), spojující různé oddělené vesmíry. Netraversabilní jsou samozřejmě všechny virtuální červí mikrodíry v kvantové topologické pěně (opět je diskutováno níže v pasáži "Mohou reálně existovat červí díry?").
  Obyčejný tunel (jako je železniční) spojuje dvě místa v prostoru, červí díra spojuje dvě místa v prostoročase. Pokud by existovala červí díra, teoreticky by umožňovala překlenout dvě velice vzdálená místa ve vesmíru po daleko kratší dráze. Pozorovatel (kosmonaut - "červonaut") prošlý červí dírou - i když by nikde nepřekračoval rychlost světla - by mohl překonat vzdálenost mezi oběma místy daleko rychleji, než světelný paprsek letící po obvyklé přímé dráze (přes prostor mimo červí díru). Dostihl by vzdálené místo dřív než světlo. Díky tomu, že pozorovatel touto zkratkou "předběhne" světlo, může z hlediska teorie relativity "překonat čas" - může cestovat v čase i zpátky do minulosti. Možnosti fiktivního či skutečného cestování v čase jsou diskutovány v §3.3, část "
Uzavřené světočáry a cestování časem" a v sylabu "Cesty časem: fantazie nebo fyzikální realita?".
Mohou reálně existovat červí díry? 
Velké "červí díry" by se mohly vyskytovat ve vesmíru jako pozůstatky bouřlivých procesů s hmotou a prostoročasem při velkém třesku, které vesmírná inflace roztáhla na makroskopické nebo dokonce astronomické velikosti. Mikroskopické červí díry rozměrů cca 10
-33cm snad všude a neustále vznikají a zanikají v důsledku kvantově-gravitačních fluktuací metriky a topologie prostoročasu (viz §B.4 "Kvantová geometrodynamika") - v kvantové topologické pěně.
  Červí díry uvnitř černých děr mají "jepičí" život. Kromě gravitačně dynamických efektů k tomu přispívají i kvantové efekty záření. Náhodná kvanta záření, dopadající z vnějšku na černou díru, se vlivem gravitace urychlí na vysoké energie a budou "bombardovat" i jícen červí díry, který se vlivem toho rychle smrští a uzavře. Každý objekt, který by se pokusil projít takovou červí dírou během jejího krátkého života, zanikne v okamžiku přetržení červí díry, spolu s ní, ve vzniklé singularitě. Vzhledem k tomuto extrémně krátkému trvání topologického tunelu je problematické vůbec hovořit o existenci červí díry...
  Aby se makroskopická červí díra mohla udržet stabilní a "průchozí", musí být přítomna hmota nebo pole vyvolávající antigravitační účinky (hmota s negativní hustotou energie), které by zabránily tendenci ke gravitačnímu "zaškrcení" do singularity a vzniku černé díry - podle Raychaudhuryho rovnice (2.59) deviace geodetik (
§2.6 "Deviace a fokusace geodetik") energetická podmínka opačná než (2.60) způsobuje rozšiřování geodetik po průchodu červí dírou. Jedinou hypotetickou možností stabilních červích děr je jejich "vyztužení" specifickým druhem látky, který by vykazoval antigravitační účinky a tím efektivně "tlačil" stěny červí díry od sebe; z hlediska složek tenzoru energie-hybnosti tato látka musí mít velké napětí v radiálním směru, přesahující hustotu energie. Ke stabilizaci červích děr je tedy zapotřebí hmota s negativní hustotou energie *) (porušující slabou energetickou podmínku (2.60)), kterou K.Thorne nazval "exotická hmota".
*) Exotická látka musí mít negativní energie z hlediska pozorovatele či světelného paprsku prolétajícího červí dírou, nikoli nutně z hlediska pozorovatele který je v klidu uvnitř červí díry. Hustota energie může být v teorii relativity v jedné vztažné soustavě záporná, v jiné kladná.
  Černé díry jsou (aspoň na úrovni nynějších astrofyzikálních znalostí) zákonitým fyzikálním důsledkem hvězdného vývoje
(§4.1."Úloha gravitace při vzniku a evoluci hvězd"a §4.2, část "Úplný gravitační kolaps. Černá díra.") a pro jejich existenci svědčí pádné astronomické pozorovací údaje. Červí díry jsou však zatím jen pouhou hypotézou - neznáme žádný přirozený způsob, jak by ve vesmíru červí díry mohly vznikat mimo vnitřky černých děr.
  Dosud neexistují žádné pozorovací indicie pro červí díry!

Topologické tunely uvnitř černých děr
O úplné analytické extenzi Kerrovy-Newmanovy geometrie znázorněné na obr.3.21 až 3.25 a z ní plynoucích geometricko-topologických důsledcích platí v podstatě totéž, co o extenzi Schwarzschildovy geometrie (viz konec §4.3). Všimněme si nejprve Schwarzschildovy geometrie, pro kterou byl v §3.4 zkonstruován Kruskalův diagram (obr.3.17) ukazující přítomnost
dvou zrcadlově obrácených vesmírů - obr.3.18a. Při gravitačním kolapsu však Schwarzschildovo řešení popisuje geometrii prostoročasu pouze nad povrchem kolabující hvězdy. Větší část idealizovaného (extendovaného) Schwarzschildova řešení na Kruskalově diagramu se proto nerealizuje - je "odřezáno" vnitřkem kolabující hvězdy (obr. 4.19a).
   V §3.5 "Reissnerova-Nordströmova geometrie" a §3.6 "Kerrova a Kerrova-Newmanova geometrie" jsme si ukázali, že pozorovatel, který při svém pohybu v Reissnerově-Nordströmově nebo Kerrově-Newmanově prostoročase protne vnitřní (Cauchyho) horizont r=rg-, se může dostat do jiného "vesmíru". Podle toho by při gravitačním kolapsu (elektricky nabité nebo rotující hmoty) existovala možnost, že po protnutí Cauchyho horizontu r= rg- se smršťující hmota může vyhnout singularitě a začít se znovu rozpínat do jiné oblasti prostoročasu ("jiného vesmíru") - obr.4.19b.
   Einsteinův-Rosenův most a analogické struktury Kerrovy-Newmanovy geometrie lze chápat jako "most" spojující dva různé asymptoticky rovinné vesmíry (za předpokladu obvyklé eukleidovské globální topologie každého z nich). Při vhodné topologii by takový most mohl spojovat i dvě různá místa téhož (vícenásobně souvislého) vesmíru - obr.3.18b,c. Takováto "červí díra" (worm hole; byla definovaná výše) by mohla vytvářet "topologickou zkratku" mezi dvěma vzdálenými oblastmi prostoročasu. Spekuluje se dokonce o možnosti, že určitým pohybem obou konců červí díry by se mohla zformovat uzavřená časová křivka. Odtud je již jen krok ke sci-fi představě, jak technicky vyspělá civilizace, disponující technologií umožňující manipulovat (prostřednictvím gravitace) s červí dírou, spustí "stroj času" ("Cesty časem: fantazie nebo fyzikální realita?") ...
  Takovéto cestování mezi různými vesmíry, popř. mezi různými vzdálenými místy téhož vesmíru, či dokonce cestování časem, může být vzrušujícím námětem pro vědecko-fantastickou literaturu, avšak skutečnost je asi přece jen prozaičtější. Přesné Schwarzschildovo, Reissner-Nordströmovo nebo Kerrovo řešení obsahující "tunely" mezi různými vesmíry platí pouze za podmínek, pro něž bylo odvozeno, tedy pro jinak úplně prázdný asymptoticky rovinný vesmír.
  Na konci §3.5 byla poznámka, že pozorovatel pohybující se tak, že protne vnitřní horizont r=rg-, uvidí během konečného intervalu svého vlastního času celou další historii "vesmíru", který právě opouští. Každé těleso z tohoto vesmíru by pozorovatel přibližující se k rg- viděl s fialovým posuvem narůstajícím do nekonečna. V souvislosti s tím bylo ukázáno [114],[192], že Cauchyho horizont r=rg- uvnitř černé díry je nestabilní vůči elektromagnetickým a gravitačním perturbacím vznikajícím vně černé díry (klasická nestabilita) *). Analýza kvantových procesů tvorby částic v silných polích uvnitř černé díry dále ukazuje [192] (viz též §4.7), že zde existuje rovněž kvantová nestabilita vnitřního horizontu **), která se projeví i v případě, kdy prostor je z klasického hlediska prázdný.
*) Obrazně lze říci, že částice, která by proletěla přes takovou černou díru do druhého vesmíru, by za sebou "zabořila" tento teoretický tunel do jiných vesmírů.
**) Existence uzavřených časových světočar by navíc umožnila částicím časovou smyčkou zasahovat vlastní minulost. Kvantové úvahy naznačují, že poruchy plynoucí z takových jevů by se spontánně zesilovaly a svou velkou energií by nakonec topologický tunel destruovaly.


Obr.4.19. Struktura prostoročasu skutečné černé díry.
a) Ve Schwarzschildově prostoročasu statické černé díry vzniklé kolapsem (nerotující) hvězdy je značná část struktury Kruskalova diagramu odřezána vnitřkem kolabující hvězdy.
b) Při kolapsu rotující hvězdy do černé díry by teoreticky mohla vzniknout struktura prostoročasu umožňující cestu do druhého vesmíru. Kolabující hmota by se pak mohla vynořit v druhém vesmíru ve formě "bílé díry".
c) V důsledku divergující intenzity přicházejícího záření u vnitřního horizontu a kvantových produkcí částic v okolí singularity se však ve skutečnosti značná část teoretické struktury Kerrrovy-Newmanovy geometrie (zahrnující vnitřní horizonty a další vesmíry na Penroseově diagramu) nemůže realizovat. Při kolapsu se vytvoří singularita, která sé nachází v budoucnosti a nabývá prostorový charakter, což neumožnuje žádné cestování do jiných vesmírů.

Tyto nestability (vůči perturbacím a kvantovým procesům) vedou v praxi k destrukci a vymizení Cauchyova horizontu a vzniku singularity prostorového typu - obr.4.19c. Lze proto očekávat, že v reálné situaci struktura prostoročasu uvnitř horizontu událostí r=rg+ bude kvalitativně podobná jako u Schwarzschildovy černé díry a složité topologické konstrukce podle obr.3.25 se neuplatní (hmota by předtím musela projít singulární oblastí).
  Opět tak dospíváme k závěru, že "exotické" možnosti cestování mezi různými vesmíry, či cestování časem, by mohly fungovat nanejvýš v rámci elementárních částic (popř. jen jediné elementární částice!) - srov. s diskusí o uzavřených časových křivkách v §3.3., pasáž "Uzavřené světočáry a cestování časem". V závěru §3.4, poznámka "Dvojí řešení v analytické extenzi - realita nebo fikce?" jsou diskutovány pochybnosti o samotném fyzikálním smyslu úplných extenzí geometrie Schwarzschildova a Kerrova-Newmanova prostoročasu, na nichž jsou založeny všechny představy o cestování mezi různými vesmíry nebo v čase..?..
Některé související úvahy o směru toku času jsou dále nastíněny v §5.6, část "
Šipka času".

Černé díry - "líhně" nových vesmírů?
Vedle myšlenky, že černé díry jsou portály do jiných světů (vesmírů), vznikla dokonce ještě odvážnější sci-fi hypotéza (v novější době ji oživil a doplnil Lee Smolin): že v černých dírách se rodí nové vesmíry. Celý náš vesmír mohl být zrozen z černé díry z jiného vesmíru; big-bang by byl ve skutečnosti jen rozšířením černé díry v jiném vesmíru. Objevila se i myšlenka, že tyto nově vznikající vesmíry si navíc odnášejí fyzikální zákony původního ("mateřského") vesmíru - jako kdyby zde působila jakási "kosmická dědičnost". Tato spekulativní "evoluční kosmologie přirozeného výběru" by se pak v jistém smyslu podobala Darwinovské evoluční biologii, neboť podle ní budou nejčastějšími druhy vesmírů takové, které vytvoří nejvíce "kopií sebe samých"; vesmíry v nichž vzniká velký počet černých děr by měly určitou "reprodukční výhodu" přecházející na další "generace" vesmírů...
Z hlediska střízlivého fyzikálního přístupu obecné teorie relativity a kvantové teorie se však tyto spekulativní koncepce jeví jako nepodložené:
1. Černé díry neprodukují nové vesmíry - z klasického (nekvantového) hlediska nevznikají v nitru černých děr vůbec (jak bylo výše diskutováno), z kvantového hlediska spontánní fluktuace prostoročasu, které mohou potenciálně vést ke vzniku nových vesmírů, probíhají všude a neustále, nejen v nitru černých děr.
2. Neexistuje žádný mechanismus, jak by mohla být jakákoli konkrétní fyzikální informace přenesena z jednoho vesmíru do druhého. V rámci klasické OTR to zakazují Hawkingovy a Penroseovy teorémy o singularitách. V přístupu kvantové kosmologie chaotické kvantové fluktuace polí a metriky v "topologické pěně" prostoročasu efektivně stírají a randomizují každou makroskopickou fyzikální strukturu a informaci.

4.3. Schwarzschildovy statické černé díry   4.5. Teorém "černá díra nemá vlasy"

Gravitace, černé díry a fyzika prostoročasu :
Gravitace ve fyzice Obecná teorie relativity Geometrie a topologie
Černé díry Relativistická kosmologie Unitární teorie pole
Antropický princip aneb kosmický Bůh
Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření
AstroNuklFyzika ® Jaderná fyzika - Astrofyzika - Kosmologie - Filosofie

Vojtěch Ullmann