Geometrické vše zahrnující fyzikální pole ?

dodatek B
UNITÁRNÍ TEORIE POLE A KVANTOVÁ GRAVITACE
B.1. Proces sjednocování ve fyzice
B.2. Einsteinovy vize geometrické unitární teorie pole
B.3. Wheelerova geometrodynamika. Gravitace a topologie.
B.4. Kvantová geometrodynamika
B.5. Kvantování gravitačního pole
B.6. Sjednocování fundamentálních interakcí. Supergravitace. Superstruny.
B.7. Obecné principy a perspektivy unitární teorie pole

B.2. Einsteinovy vize geometrické unitární teorie pole

A.Einstein pevně věřil, že příroda, i když doslova hýří rozmanitostí nejrůznějších struktur a jevů, je velice úsporná na základní principy. V duchu této své vize pracoval Einstein po vytvoření obecné teorie relativity až do posledních dní svého života na unitárních teoriích pole *). Myšlenka unitární teorie pole je nesmírně hluboká a krásná: podle ní by mělo existovat jediné, zcela základní a vše zahrnující fyzikální pole, jehož speciálním projevem by pak byla všechna pozorovaná pole v přírodě (gravitační, elektromagnetické, pole silných a slabých interakcí a příp. jejich projevy třebas v subnukleární fyzice); a tím i všechny děje probíhající v přírodě. Ve světě pak fakticky neexistuje nic než toto pole, z něhož je všechno složeno - i hmotné útvary (např. částice) jsou jakési místní "zhuštěniny" tohoto pole.
*) Spekulace o unitárních teoriích pole 
Tyto své unitární teorie Einstein průběžně publikoval [78, díl 2]. Přesto se však vyskytly zprávy (či spekulace a domněnky), že se Einsteinovi ke konci života podařilo vytvořit skutečně dokonalou a "fungující" unitární teorii pole, kterou odmítl zveřejnit z obavy, že svět dosud není připraven na její důsledky, které by mohly být zneužity. Jakkoli to zní lákavě a mnozí lidé tomu věří, tyto zprávy jsou nepodložené. Ve světle dalšího vývoje unitárních teorií pole se ukázalo, že přes veškerou erudici a myšlenkové mistrovství A.Einsteina, jím nastoupená cesta nemohla vést k takovému výsledku.
  V této souvislosti se často zmiňuje i tzv. Philadelphský experiment, který údajně provedlo americké námořnictvo v říjnu r.1943 s použitím elektrického generátoru který vyvinul Nikola Tesla. Kolem paluby velké válečné lodě Eldridge, kotvící v přístavu ve Phiiladelphii, byly umístěny cívky, napájené z generátoru na palubě silným elektrickým proudem. Cílem experimentu bylo "zneviditelnění" lodi vlivem silného elektromagnetického pole, které by údajně mělo "odklonit" světlo..?.. Místo toho pod vlivem tohoto silného elektromagnetického pole údajně došlo ke zmizení lodi Eldridge, která se zahalila do mlhy *), objevila se zakrátko ve 400km vzdáleném přístavu v Norfolku a po několika hodinách se objevila zpátky na původním místě (bylo to údajně doprovázeno různými katastrofickými jevy, včetně zmizení námořníků).
*) Pokud je na celé této historce vůbec něco pravdy - jako že asi není - ta mlha mohla být snad způsobena dýmem ze spáleného vinutí elektromagnetů přetížených silným elektrickým proudem..?..
  Mělo se údajně jednat o důsledek Einsteinovy unitární teorie pole, kdy silné elektromagnetické pole "otevřelo novou dimenzi v prostoročase", přes kterou došlo k "teleportaci". I zde se jedná o nepravdivé nepodložené legendy a mystifikace charakteru sci-fi či UFO, šířené senzace-chtivými konspiračními autory. Použité elektromagnetické pole, byť se na tehdejší dobu mohlo zdát fantasticky silné, bylo ve skutečnosti nicotně slabé, aby mohlo vyvolat jakýkoli pozorovatelný relativistický efekt (ostatně, ani sebesilnější pole by podle teorie nevedlo k uváděným efektům...). V současné době se v řadě aplikací (např. v urychlovačích či v nukleární magnetické rezonanci, často za pomocí supravodivých elektromagnetů) běžně používají mnohem silnější elektromagnetická pole, přičemž k žádným náznakům podobných efektů samozřejmě nedochází..!..

Dosud jsme pevně stáli na pozici zdroj ® pole: existuje zdroj (jenž je v jistém smyslu "prvotní"), který kolem sebe budí pole a úkolem fyziky je stanovit zákony, podle nichž zdroj toto pole vytváří. Zdroj je přitom něco odlišného od pole, je to jakási "substance" - prvek cizorodý teorii samotného pole. Podíváme-li se na Maxwellovy rovnice F^ik_;k= 4pjⁱ nebo na Einsteinovy rovnice R_ik - ¹/₂ g_ikR = 8pT_ik, vidíme že na levé strané stojí výraz popisující pole a na pravé straně veličina popisující zdroj. Porovnáme-li vzájemně charakter obou veličin, můžeme konstatovat spolu s Einsteinem, že "fenomenologický" zdroj na pravé straně (tenzor energie-hybnosti T_ik nebo čtyřproud jⁱ) působí ve srovnání s pregnantním výrazem popisujícím pole na levé straně jako "dřevěná chatrč vedle paláce ze skla a hliníku". V dokonalé teorii pole by žádný takový dualismus neměl být, zdroj odlišný od pole by neměl existovat; zdroj by měl být rovněž "složen" z pole.

Unitární teorie pole tak klasický problém "Jakým způsobem zdroj kolem sebe budí pole?" obrací úplně na hlavu a ptá se: "Jakým způsobem je to, co považujeme za zdroj, ze svého pole složeno?". Problém buzení pole, stejně jako problém interakce dalších částic s tímto polem, pak již automaticky odpadá - všechno je pole, které se jistým způsobem (podle svých vnitřních zákonů) vyvíjí v prostoru a čase. Pouze při našem pozorování se nám některé oblasti pole jeví jako "zdroje" a jiné oblasti jako vzbuzované nebo působící "pole".

Ve 20.letech fyzika znala jen dva druhy sil: elektromagnetickou a gravitační. Obě tyto síly klesají s druhou mocninou vzdálenosti od (bodového) zdroje a rychlost gravitace podle OTR je stejná jako rychlost světla - nabízela se tedy myšlenka, že jsou nějak propojené.
  Po vytvoření obecné teorie relativity - což je vlastně geometrizace gravitace - se A.Einstein téměř po 40 let usilovně snažil vytvořit unitární teorii gravitačního a elektromagnetického pole a završit tak své impozantní životní dílo. Elektromagnetické pole má totiž mnoho podobných vlastností jako pole gravitační (§1.4-1.5), takže se přirozeně nabízelo jako nejvhodnější "kandidát" pro geometrizaci a tím pro sjednocení s již geometrizovaným gravitačním polem. A jako nejpřirozenější cesta k zahrnutí elektromagnetismu do gravitace se jevilo zobecňování geometrických vlastností Riemannova zakřiveného prostoročasu OTR tak, aby nově vzniklé geometrické struktury nějak popisovaly elektromagnetické pole.
  Unitární teorie gravitačního-elektromagnetického pole, vytvářené ve 20.-40.letech Einsteinem a dalšími fyziky nevedly ke kýženému výsledku a proto o nich učiníme jen zcela stručnou zmínku (podrobněji viz např. [169],[78],[146]). Tyto teorie lze rozdělit zhruba dovou skupin :

a) Zobecňování geometrických vlastností 4-rozměrného prostoročasu

První pokus v tomto směru přísluší H.Weylovi, který v letech 1917-19 zobecnil Riemannovu geometrii v tom smyslu, že při paralelním přenosu vektoru kolem uzavřené křivky se může změnit nejen směr, ale i velikost vektoru. V této Weylově (konformní) geometrii se grupa obecné kovariance (používaná v OTR) rozšiřuje o kalibrační transformace metriky g_ik

při nichž se délky všech vektorů v daném bodě násobí stejným libovolným koeficientem l, který se může měnit od bodu k bodu. Délka vektoru l se pak při nekonečně malém paralelním přenosu mění podle zákona

Kromě fundamentální kvadratické formy ds² = g_ik dxⁱdx^k tedy ve Weylově geometrii vzniká další lineární diferenciální forma dj = j_i.dxⁱ popisující neintegrabilitu délky vektorů. Veličiny j_i jsou přitom komponentami čtyřvektoru a při kalibračních transformacích (B.1) se transformují podle zákona

Takto vzniklý čtyřvektor Weyl interpretoval jako elektromagnetický 4-potenciál a čtyřrozměrnou rotaci F_ik = j _k;i - j _i;k tohoto pole, která je kalibračně invariantní, jako tenzor elektromagnetického pole. Rovnice elektromagnetického i gravitačního pole by pak měly vzniknout z jediného variačního principu, invariantního jak vzhledem k obecným transformacím souřadnic, tak vůči kalibračním transformacím (B.1); to vedlo ke kvadratickému lagrangiánu a tím k diferenciálním rovnicím 4.řádu.

Další způsob zobecnění axiomatiky Riemannovy geometrie pro účely unitarizace navrhl a v letech 1946-53 propracoval A.Einstein. Zobecnění spočívá v tom, že místo symetrického tenzoru g_ik se v základní formě g_ikdxⁱdx^k připouští nesymetrický metrický tenzor g_ik a rovněž nesymetrické koeficienty afinní konexe G_ik^l. Právě antisymetrickou část metriky se Einstein pokoušel interpretovat jako elektromagnetické pole, zatímco symetrická část popisovala gravitaci podobně jako v OTR.

b) Pětirozměrné unitární teorie

Jiný přístup k problému sjednocení gravitačního a elektromagnetického pole vypracovali v r.1921-25 T.Kaluza a O.Klein, kteří pro obecný popis fyzikální reality navrhli používat 5-rozměrnou varietu (v níž prostoročas OTR je určitým 4-rozměrným podprostorem) v naději, že pátý rozměr by mohl vyjadřovat elektromagnetické pole. Kaluza a Klein se zřejmě inspirovali způsobem, jakým Minkowski sjednotil v trojrozměrnu oddělené elektrické a magnetické pole přechodem ke čtyřrozměrnému prostoročasu (§1.5). Ze zobecněné teorie gravitace (zakřiveného prostoročasu) v pěti dimenzích bychom pak mohli dostat teorii elektromagnetismu i gravitace ve čtyřech dimenzích

Fyzikální prostoročas pozorujeme jako čtyřrozměrný, takže "přebytečného" pátého rozměru (který nemá přímý fyzikální význam) je třeba se zbavit položením vhodné podmínky na pětirozměrnou geometrii. Kaluza původně zavedl poměrně umělý požadavek "cylindričnosti", podle něhož v pětirozměrné varietě měla existovat jednorozměrná grupa izometrických transformací; vzniká tak Killingovo vektorové pole což vede k tomu, že 5-rozměrná geometrická struktura může být plně popsána geometrií čtyřrozměrné hyperplochy. Později Einstein, Bergmann a Bargmann [17] navrhli jinou geometrickou podmínku: uzavřenost (kompaktnost) pětirozměrné variety v pátém rozměru. Pětirozměrná varieta by pak měla topologickou strukturu M⁴ ´ S¹, kde M⁴ je Minkowskiho prostoročas a S¹ je kružnice, tj. varieta by měla tvar tenké trubice. Pokud je poloměr této trubice (poloměr kompaktifikace) dostatečně malý (subatomových rozměrů), nemůže se žádný makroskopický objekt v pátém rozměru pohybovat a prostoročas se efektivně jeví jako čtyřrozměrný.

Integrál akce obecné teorie relativity v pětirozměrném prostoru se uvažuje ve tvaru

(B.4)

kde g_AB je pětirozměrná metrika, g⁽⁵⁾ = det(g_AB) a R⁽⁵⁾ = g^AB.R_AB je skalární křivost pětirozměrného prostoru. Metrika pětirozměrného prostoru se volí ve tvaru

kde g_ik je obvyklý metrický tenzor 4-rozměrného prostoročasu, 5.složka g_5k je ztotožněna (až na skalární faktor j) se čtyřpotenciálem elektromagnetického pole *). Za předpokladu, že metrika g_AB nezávisí na souřadnici x⁵, dosazením metriky (B.5) do akce (B.4) po integraci podle x⁵ dostaneme

(B.6)

Pomineme-li skalární pole j (viz poznámku *), je integrál akce v Kaluzově-Kleinově teorii roven součtu Einsteinova gravitačního členu a U(1)-kalibračního členu daného tenzorem F_ik = A_i;k - A_k;i , který lze interpretovat jako Maxwellovo elektromagnetické pole. Přitom kalibrační transformace A_i®A_i + ¶l/¶xⁱ je generována speciální transformací souřadnic v 5-rozměrném prostoru : x'ⁱ = xⁱ, x'⁵ = x⁵ + l(xⁱ).
*) V (B.5) je bez újmy na obecnosti zvolena taková parametrizace metriky g_AB a označení veličin, aby se získaly Einsteinovy a Maxwellovy rovnice v obvyklém tvaru. Pátá proměnná pole - skalární veličina j - je v Kaluzově-Kleinově teorii přebytečná a Kaluza ji vyloučil tím, že ji prostě položil rovnou jedné. Později byly činěny pokusy pochopit význam tohoto skalárního pole a dát mu kosmologický vyznam; Brans a Dicke dali toto pole do souvislosti se skalárním polem dalekého dosahu ve své tzv. skalárně-tenzorové teorii gravitace (nastíněné v dodatku A, §A.2).

Einstein a Bergman chovali určitou dobu naději, že periodičnost polí vzhledem k páté zkompaktifikované souřadnici (podél níž by se pole mohla měnit s periodou rovnou délce kružnice kompaktifikace či jejím celočíselným násobkům) by mohla vysvětlit kvantové jevy a umožnila vytvořit klasické modely elementárních částic. Tato podobnost s Bohrovým-Broglieovým kvantováním se však ukázala jen jako povrchní a příslušné naděje se neuskutečnily.
  Jedna z námitek proti Kaluzově-Kleinově teorii spočívá v tom, že tato teorie není vlastně v pravém slova smyslu jednotná: gravitace a elektromagnetismus jsou zde od sebe odděleny invariantním způsobem - jako "olej a voda".

Vícerozměrné unitární teorie
Kaluzova-Kleinova teorie nevedla ke kýženým výsledkům a na dlouhou dobu upadla prakticky v zapomnění. V posledních letech však neočekávaně nastala určitá "renezance" Kaluzovy-Kleinovy koncepce v souvislosti se snahami o geometrickou formulaci supergravitačních teorií. Jedná se o zobecněné Kaluzovy-Kleinovy teorie budované v superprostorech, kde se zavádějí navíc další rozměry spinorového charakteru vyjadřující vnitřní vlastnosti interakcí; ukazuje se, že např. 11-rozměrná Kaluzova-Kleinova teorie by mohla sjednocovat všechny známé interakce částic - viz §B.6. Kaluzovy-Kleinovy teorie dále poskytují zajímavé možnosti modelů vesmíru o vyšším počtu rozměrů, jak bylo zmíněno v §5.7.
Základní idea vícerozměrných unitárních teorií se zkompaktifikovanými dimenzemi spočívá v tom, že fyzikální zákony, které pozorujeme, závisí na geometrických vlastnostech dalších, skrytých dimenzí. Ve vícedimenzionálních teoriích existuje mnoho řešení, lišících se např. metrickou velikostí kompaktifikací. Zkompaktifikované dimenze jsou příliš malé, než abychom je mohli jakkoli pozorovat či detekovat. Avšak různé geometrie dodatečných dimenzí implikují různé druhy částic a sil, což v makroskopickém světě vyvolává odlišné fyzikální jevy.

Tolik tedy stručně o návrzích unitární teorie pole 20.-40.let. Tyto teorie nikdy nepřekročily spekulativní úroveň. Mezitím totiž výzkumy v oblasti atomové fyziky odhalily nové zákonitosti, kterými se řídí mikrosvět - zákony kvantové fyziky. A byly objeveny další dva druhy fundamentálních interakcí - silná a slabá interakce, které mají zcela odlišné vlastnosti než síly gravitační a elektromagnetické. To odsunulo dřívější unitární teorie do pozadí.

O něco podrobněji si nyní v §B.3 popíšeme jiný přístup, tzv. geometrodynamiku J.A.Wheelera [180],[275],[277]. Název vznikl podle analogie s elektrodynamikou. Tak, jako elektrodynamika popisuje dynamiku elektromagnetického pole, geometrodynamika zkoumá dynamiku geometrie prostoročasu, tj. podle OTR chování gravitačního pole. Pod "geometrodynamikou" se často rozumí celá obecná teorie relativity; zde se však bude jednat o geometrodynamiku v užším slova smyslu.

B.1. Proces sjednocování ve fyzice		B.3. Wheelerova geometrodynamika. Gravitace a topologie.

Vojtěch Ullmann