Einsteinův a de Sitterův model vesmíru

Kapitola 5
GRAVITACE A GLOBÁLNÍ STRUKTURA VESMÍRU:
RELATIVISTICKÁ KOSMOLOGIE
5.1. Základní východiska a principy kosmologie
5.2. Einsteinův a deSitterův vesmír. Kosmologická konstanta.
5.3. Fridmanovy dynamické modely vesmíru
5.4. Standardní kosmologický model. Velký třesk.
5.5. Mikrofyzika a kosmologie. Inflační vesmír.
5.6. Budoucnost vesmíru
5.7. Antropický princip a existence více vesmírů
5.8. Kosmologie a fyzika

5.2. Einsteinův a deSitterův model vesmíru. Kosmologická konstanta.

Začněme nejjednodušším předpokladem o statičnosti vesmíru, který je sice jak nyní víme nerealistický, avšak sehrál důležitou heuristickou úlohu a i nyní má svůj teoretický význam - z něj plynoucí Einsteinův a de Sitterův kosmologický model se často používají pro srovnávání a ilustraci vlastností složitějších a realističtějších modelů. V homogenním statickém vesmíru, v němž jsou podmínky všude stejné v každém časovém okamžiku, je přirozené zvolit souřadnicovou soustavu tak, aby prostoročasový interval byl sféricky symetrický vzhledem k libovolnému bodu. Element prostoročasového intervalu pak ve sférických souřadnicích bude mít obecný tvar

kde A a B jsou funkce pouze r; přitom pro malé r musí tento interval nabývat tvar odpovídající plochému prostoročasu speciální teorie relativity.

Přímým výpočtem komponent Ricciho tenzoru R_ik a dosazením tenzoru energie-hybnosti T^ik tvaru (5.3) odpovídajícího ideální "kapalině" lze Einsteinovy rovnice pro metriku (5.5) převést na soustavu obyčejných diferenciálních rovnic (čárka znamená derivaci podle r)

(poslední rovnici lze nejsnadněji obdržet ze zákona zachování T^ik_;k = 0).

Protože p' ş dp/dr = 0 (homogenita), rovnice (5.6c) dává podmínku A'.(r + p)= 0. Pomineme-li případ prázdného prostoru r=p=0, mají Einsteinovy rovnice statické homogenní řešení jen tehdy, když A'(r) = 0 . To však podle rovnic pole (5.6a,b) vede k podmínce r + 3p = 0, což pro reálnou hmotu opět znamená r=p=0. Einsteinovy rovnice v běžném tvaru (2.50) tedy nepřipouštějí jiné homogenní statické řešení, než prázdný plochý Minkowskiho prostoročas STR; jsou tedy neslučitelné s koncepcí homogenního statického vesmíru zaplněného hmotou s konstantní kladnou hustotou r.

Aby rovnice (5.6) měly statické homogenní řešení pro realistický případ r > 0, p > 0, je třeba do nich vnést vhodnou konstantu L. V Einsteinových rovnicích lze toto zajistit zavedením dodatečného kosmologického členu L.g_ik, jak to v r.1917 navrhl Einstein :

kde L je nová (dostatečně malá) univerzální přírodní konstanta - tzv. kosmologická konstanta, jejíž hodnota by měla plynout ze srovnání příslušného kosmologického modelu s výsledky astronomických pozorování.

Pro statickou homogenní metriku (5.5) vedou zobecněné Einsteinovy rovnice na soustavu obyčejných diferenciálních rovnic

Vzhledem k požadavku homogenity musí být dp/dr = 0, takže rovnice (5.8c) může být splněna jen tehdy, když (r + p).A' = 0. Rovnice (5.8) jsou tedy řešitelné ve třech případech, kterým odpovídají následující řešení :

Einsteinův model vesmíru
V případě A'= 0 musí být A(r) konstanta, takže příslušnou volbou jednotky času (časové souřadnice) lze dosáhnout A = 1; je tak zajištěn požadavek, aby pro malé r interval ds² byl stejný jako ve STR. Z rovnice (5.8a) dosazením A'= 0 dostáváme pro funkci B řešení

kde je zavedena nová konstanta a pomocí vztahu

Metrika (5.5) má tedy pro Einsteinův kosmologický model homogenního statického vesmíru tvar

(5.10)

Srovnáním s (5.4) vidíme, že prostorovou část dl² = dr²/(1-r²/a²) +r²(dJ²+sin²J dj²) tohoto prostoročasového intervalu lze interpretovat jako metriku trojrozměrné hypersféry *) o konstantním poloměru a, vnořené do fiktivního čtyřrozměrného Eukleidovského prostoru (obr.5.1). Zavedeme-li v tomto pomocném prostoru souřadnice

w₁ = a.Ö(1-a²/r²) ;  w₂ = r.sinJcosj = x ;  w₃ = r.sinJsinj = y ;  w₄ = r.cosJ = z ,    

dostaneme rovnici sféry w₁² + w₂² + w₃² + w₄² = a², a element prostorové vzdálenosti má tvar dl² = (dw₁)² + (dw₂)²+ (dw₃)² + (dw₄)². Uvažujeme-li nejen prostorovou, ale i časovou dimenzi, je možno celkovou prostoročasovou geometrii Einsteinova vesmíru zobrazit jako geometrii čtyřrozměrné válcové plochy vnořené do fiktivního (pomocného) pětirozměrného prostoru - obr.5.1b.
*) Opět je zde třeba upozornit, že tvarem metriky není jednoznačně určen typ geometrie, protože je možno předpokládat různé globální topologické vlastnosti, jak bylo zmíněno v §3.1. Volba sférické geometrie je zde však nejjednodušší a nejpřirozenější.

Celkový objem prostoru v Einsteinově vesmíru je (za předpokladu sférické topologie) roven

(5.11)

"obvod" vesmíru (délka hlavní kružnice trojrozměrné sféry) je

Einsteinův vesmír je tedy konečný, prostorově uzavřený; "vejde" se do něho jen konečný počet hvězd a galaxií.

Obr.5.1. Einsteinův kosmologický model.
a) Geometrii trojrozměrného prostoru v Einsteinově modelu vesmíru si lze představit jako trojrozměrnou hypersféru o konstantním poloměru, vnořenou do fiktivního 4-rozměrného Eukleidova prostoru.
b) Celkovou prostoročasovou geometrii Einsteinova vesmíru je možno zobrazit jako geometrii čtyřrozměrné válcové plochy vnořené do fiktivního pětirozměrného prostoru.
c) Specifické zvláštnosti prostorové geometrie a topologie uzavřeného vesmíru lze názorně ilustrovat na kulové ploše, např. na glóbusu zeměkoule - viz text.

Prostorová uzavřenost vesmíru má zajímavé důsledky, které si lze snadno představit pomocí dvojrozměrné analogie na kulové ploše, třebas na povrchu zeměkoule (obr.5.1c). Postavíme-li se na pól (který z geometrického hlediska můžeme umístit do kteréhokoli místa kulové plochy) a opisujeme kolem sebe kružnice o stále větším poloměru, zjistíme že poměr délky kružnice ku poloměru bude čím dál menší než 2p a při překročení "rovníku" se délka kružnice s rostoucím poloměrem zmenšuje. Podobně když pozorovatel nacházeící se v libovolném místě uzavřeného vesmíru bude v myšlenkovém pokusu vytyčovat kolem sebe kulové plochy, poroste jejich povrch pomaleji než druhá mocnina poloměru a po překročení určité vzdálenosti se velikost plochy začne zmenšovat, i když se vzdálenost (poloměr) zvětšuje. Další charakteristickou vlastností geometrie uzavřeného prostoru je skutečnost, že pozorovatel postupující stále přímo v jednom směru se za určitou dobu vrátí do výchozího bodu (z opačné strany). Totéž platí i pro světelné paprsky: světlo, vyslané z nějakého místa určitým směrem, "oběhne vesmír" a vrátí se do výchozího bodu z opačného směru. Takže když se budeme v uzavřeném vesmíru dívat dopředu, můžeme po určité době v dálce před sebou uvidět svoje vlastní záda. Podobné "duchy" zde vznikají při pozorování každého svítícího objektu *), takže některé hvězdy nebo galaxie bychom mohli vidět dvakrát v různých místech oblohy (hledání identických duplicitních objektů v opačných místech oblohy však nebylo úspěšné).
*) Mimochodem, tento efekt by vedl u Einsteinova kosmologického modelu k Olbersovu fotometrickému paradoxu podobně jako dřívější představa nekonečného statického vesmíru. Každý paprsek z každé hvězdy bude totiž neustále obíhat vesmír, dokud nenarazí na jinou hvězdu nebo se nerozptýlí na mezihvězdné hmotě. V uzavřeném statickém vesmíru, v němž je po nekonečně dlouhou dobu stejná průměrná svítivost hvězd, nebude v noci tma, obloha bude všude stejně jasná.

Vztahy mezi hustotou, tlakem, kosmologickou konstantou a poloměrem křivosti prostoru v Einsteinově kosmologickém modelu plynou z rovnic (5.8)-(5.9) :

Za předpokladu, že hmota vesmíru sestává z nekoherentního prachu nezpůsobujícího žádný tlak, bude

a poloměr křivosti prostoru a jeho celkový objem je určen hodnotou kosmologické konstanty :

"Celková hmotnost" vesmíru je potom rovna

takto stanovená hmotnost má však pouze formální význam z hlediska negravitační fyziky jako míra množství hmotných častic zaplňujících vesmír *). Při druhém krajním předpokladu, že vesmír je zaplněn pouze zářením pro něž platí p = r/3, dostáváme

Učinek sumárního gravitačního pole Einsteinova modelu na testovací částici je dán rovnicí geodetiky (2.5a). Dosazením statické metriky (5.5) do rovnice geodetiky tělesa, které je v daném okamžiku v klidu vůči okolní hmotě, dostaneme d²xⁱ/dt² = 0, takže celkové gravitační pole (metrika prostoročasu) v Einsteinově vesmíru nemůže uvést nehybné těleso do pohybu.
*) Ve skutečnosti totiž celková gravitační hmotnost, podobně jako celkový elektrický náboj uzavřeného vesmíru, nemá žádný reálný význam - musí být rovny nule. Elektrický náboj a hmotnost (čtyřhybnost) obsažené v nějaké prostorové oblasti jsou dány Gaussovými integrálními toky (1.28) a (2.96) elektrického a gravitačního pole přes uzavřenou plochu ohraničující tuto oblast. Zvětšujeme-li v uzavřeném vesmíru prostorovou oblast v níž určujeme množství hmoty a elektrického náboje, ohraničující plocha se nejprve zvětšuje, ale pak se začne zmenšovat až se stáhne do bodu - viz obr.5.1c. Povrch uzavřené plochy ohraničující celý vesmír je tedy nulový, takže celková čtyřhybnost (2.96) i elektrický náboj (1.28a) jsou proto rovny nule. Zákony zachování celkové energie, hybnosti a celkového elektrického náboje uzavřeného vesmíru se tak redukují na fyzikálně bezobsažné identity 0 = 0. Z fyzikálního hlediska je principiální nemožnost stanovení celkové hmotnosti nebo elektrického náboje uzavřeného vesmíru jasná: neexistuje vnější prostoročas, kam by se mohl pozorovatel postavit a zkoumat tento vesmír "zvnějšku" - např. "zvážit jej" na "misce nějakých gigantických vah" nebo nechat kolem něj obíhat nějaké zkušební těleso.

De Sitterův kosmologický model
Analogicky jako v předchozím Einsteinově případě A'= 0 se rovnice (5.8) řeší pro případ r + p = 0. S užitím požadavku, aby pro malá r hledaná metrika (3.45) přecházela v Minkowskiho tvar, dostáváme

1/A   =   B   =   1 - r²(L + 8pr)/3   .      

Metrika de Sitterova modelu vesmíru tedy je

(5.17)

kde konstanta a je definována vztahem

Pro pohyb testovacích částic a šíření světelných signálů, který je obecně dán rovnicí geodetiky (2.5a), pro deSitterovu metriku po úpravách (díky sférické symetrii lze bez újmy na obecnosti pohyb vyšetřovat pouze v rovině J = p/2) vychází rovnice

(H a L jsou integrační konstanty); rychlost světla v de Sitterově modelu je pro případ čistě radiálního šíření dána vztahem dr/dt = ±(1 - r²/a²). Z těchto rovnic je v prvé řadě vidět, že při r=a se rychlost pohybu částic i souřadnicová rychlost světla stávají nulovými. Integrací od r=0 do r=a zjistíme, že z hlediska pozorovatele ve středu r=0 každá částice i světlo ze středu r=0 do místa r=a dorazí až za nekonečně dlouhou dobu. Pozorovatel v deSitterově modelu tedy nikdy nemůže získat žádné informace o tom, co se děje ve vzdálenostech větších než a od něj: v de Sitterově modelu existuje kauzální horizont vesmíru ve vzdálenosti r = a = Ö(3/(L+8pr) (= Ö(3/L) pro r=0).

Z rovnic pohybu dále plyne, že původně nehybné těleso bude mít radiální zrychlení d²r/dt² = r(1 - r²/a²)/a, které roste se vzdalováním od počátku lokálních souřadnic (který může být umístěn v libovolném bodě). Jsou-li v de Sitterově vesmíru homogenně a izotropně rozmístěny částice, budou se navzájem od sebe vzdalovat rychlostí úměrnou jejich vzdálenosti. Metrika de Sitterova vesmíru je sice statická (v dané vztažné soustavě nezávisí na čase), avšak v intervalu (5.17) koeficient u dt již není konstantní. Na rozdíl od Einsteinova modelu celkové gravitační pole (metrika prostoročasu) v de Sitterově vesmíru způsobuje rozptylování nebeských těles - jako by každý bod byl odpudivým centrem. Pro velké vzdálenosti zde neplatí zákon setrvačnosti, tělesa budou od sebe s narůstající rychlostí expandovat. Tato proměnnost vlastních vzdáleností částic bude způsobovat Dopplerovský spektrální posuv světla vysílaného těmito částicemi; v ne příliš velkých vzdálenostech r bude pro tento frekvenční posun přibližně platit Hubbleův zákon dl/l » H.r, kde "Hubbleova konstanta" H = a^-1 = Ö[(L+8pr)/3] (= Ö(L/3) pro r= 0).

Jelikož tedy de Sitterův model zachycuje pozorovaný rudý posuv spektra vzdálených zdrojů ve vesmíru, mohl by být na první pohled považován za realistický kosmologický model. Ve skutečnosti však tento model není konzistentní z fyzikálního hlediska. Základní podmínka z níž de Sitterův vesmír vychází, totiž zní r + p = 0. Vlastní hustota hmoty r je (svou fyzikální povahou) vždy nezáporná. Tlak p sice může být v principu záporný, avšak žádná forma hmoty nevytváří takový záporný tlak, jehož absolutní velikost by se přibližovala hustotě hmoty r (v geometrodynamických jednotkách) - srovnej též §2.6 *). Podmínka r + p = 0 může být proto v praxi splněna jen tehdy, když současně r = 0 a p = 0. De Sitterův model tedy odpovídá zcela prázdnému vesmíru, který neobsahuje žádné znatelné množství látky ani záření. Existující hvězdy a galaxie je v tomto modelu třeba považovat za "testovací částice", které nijak nepřispívají k celkovému kosmologickému gravitačnímu poli. A to je proti duchu obecné teorie relativity, která gravitaci a geometrii prostoročasu dává do přímé souvislosti s distribucí hmoty.
*) Současné kvantové unitární teorie pole však připouštějí možnost velkého negativního tlaku vedoucího k antigravitačním účinkům. De Sitterovská expanze se podle toho skutečně mohla realizovat ve velmi raném vesmíru (inflační expanze) - viz §5.5.

Vláda kosmologické konstanty
De Sitterův model představuje kosmologické řešení Einsteinových gravitačních rovnic OTR pro vesmír ve kterém prakticky není žádná hmota a záření. Jediné co zde určuje dynamiku vesmíru - chování měřítkového faktoru a - je kosmologická konstanta L. Z Fridmanových rovnic (5.23) (v následujícím §5.3 "Fridmanovy dynamické modely vesmíru") za podmínek r = 0 , p = 0 , L > 0 plyne pro časovou závislost měřítkového faktoru exponenciální závislost

kde H je okamžitá hodnota "Hubbleovy konstanty" (5.24) generovaná kosmologickou konstantou L.
  Pro současný vesmír v éře látky, na jehož evoluci se významně podílí svítící a temná hmota, jakož i v dřívější éře záření, je de Sitterův model neadekvátní. Mohl být však adekvátní ve velmi raném období, v časovém rozmezí cca 10^-36 ÷ 10^-32 sec., kdy se teoreticky předpokládá krátká ale mohutná inflační expanze (§5.5 "Mikrofyzika a kosmologie. Inflační vesmír."). A též ve vzdálené budoucnosti: pokud je nynější pozorovaná akcelerovaná expanze vesmíru způsobena kosmologickou konstantou generující temnou energii, bude vesmír pokračovat v rozpínání, veškerá hmota a záření se bude zřeďovat až téměř k nule (§5.6, část "Temná energie a akcererovaná expanze vesmíru"). Bude pak dominovat energie vakua generovaná kosmologickou konstantou a vesmír se bude exponenciálně rozpínat (5.19) podle de Sitterova modelu.

Kosmologická konstanta
Všimněme si nyní ještě obecné povahy kosmologického členu. Když Einstein zavedl kosmologický člen, umístil jej na levou stranu rovnice: G_ik + L.g_ik = (8pG/c⁴) T_ik, čímž bylo vyjádřeno, že se jedná o geometrickou vlastnost samotného prostoru (prostoročasu).
  Fyzikální význam kosmologického členu však jasněji vysvitne po jeho přenesení na pravou stranu Einsteinových rovnic

tj. z jeho zahrnutí do tenzoru energie-hybnosti hmoty T_ik. Uvážíme-li případ vakua T_ik = 0, je vidět, že L.g_ik představuje jakousi imanentní principiálně neodstranitelnou křivost prázdného prostoru, která se uplatňuje i bez jakékoliv hmoty a gravitačních vln (o schopnosti gravitačních vln zakřivovat prostoročas a "imitovat" hmotu viz §2.8 a §B.3); jinými slovy, kosmologický člen vyjadřuje gravitační účinky vakua. Jestliže by bylo L ą 0, znamená to, že vakuum vytváří gravitační pole, jako kdyby bylo (z hlediska běžného přístupu L=0) zaplněno hmotou s efektivní hustotou r_kosm= c²L/8pG a efektivním tlakem p_kosm= -c⁴L/8pG = -e_kosm (e_kosm je efektivní hustota energie této fiktivní hmoty), což odpovídá stavové rovnici p =-r.c².
  Kosmologický člen můžeme považovat za projev jakéhosi "exotického" typu hmoty - energie vakua. Ta proniká celým prostorem a spojitě ho vyplňuje určitou základní hustotou energie, a to i bez přítomnosti "běžné" hmoty (v látkové formě). Nezřeďuje se při rozpínání vesmíru, ani se nezhlukuje jako látková hmota, ale zachovává si konstantní hustotu *), přispívající k všeobecné hustotě energie, gravitačně ovlivňující dynamiku evoluce vesmíru.
*) Po pravdě řečeno, takto se chová standardní "geometricky indukovaný" kosmologický člen. Fyzikálně pojatý kosmologický člen by se v zásadě mohl měnit s časem a rovněž v různých oblastech vesmíru by mohl mít jinou hodnotu..?..
  Podle dosavadních astronomických měření je hodnota této vakuové energie velmi blízká nule, menší než asi 10^-9 J/m³, což odpovídá hmotnostní hustotě asi 10^-26 kg/m³.
Fyzikální podstata a původ kosmologického členu ?
Z hlediska obecné teorie relativity je zavedení kosmologické konstanty jako další nezávislé univerzální přírodní konstanty čistě fenomenologické, i když kosmologický člen může být organickou součástí rovnic pole (§3.5) - zavedení kosmologického členu L.g_ik je jedinou přípustnou úpravou Einsteinových rovnic (2.50) v tom smyslu, že nenarušuje zákon zachování energie T^ik_;k = 0, protože kovariantní 4-divergence tenzoru R_ik - (1/2)g_ikR + L.g_ik je identicky rovna nule stejně jako u tenzoru G_ik ş R_ik - (1/2)g_ikR.
  Jaká je však fyzikální podstata a původ kosmologického členu? Byly činěny pokusy dát L do souvislosti s "fyzikou vakua" kvantové teorie pole: kosmologický člen by měl vznikat následkem polarizace a kvantových fluktuací vakua. Přímočarý výpočet (resp. dimenzionální odhad), se zahrnutím energie všech vibračních módů s vlnovou délkou větší než Planckova délka (10^-35m), dává však nepředstavitelně velkou hustotu energie vakua, odpovídající hustotě r_kosm~ 10⁹⁶ kg/m³..!.. Aby vakuum vypadalo jako prázdný prostor, musejí se uplatňovat dalekosáhlé kompenzace mezi vakuovými fluktuacemi různých polí, které naprostou většinu fluktuací vyruší.
  Žádné uspokojivé vysvětlení kosmologické konstanty na základě mikrofyziky zatím neexistuje; určité naděje snad slibují kalibrační unitární teorie pole, kde spontánní narušení symetrie Higgsova skalárního pole by mohlo "generovat" kosmologickou konstantu [113]..?.. - viz též §5.5.

Historie kosmologické konstanty je dosti pestrá, názory na její význam se v průběhu vývoje (od počátku 20.let do dneška) silně měnily. Střídala se období, kdy kosmologický člen byl zcela zavrhován (např. po vytvoření Friedmanova modelu expandujícího vesmíru a Hubbleově objevu kosmologického rudého posuvu), s obdobími určité "renezance", kdy kosmologický člen měl vysvětlit domnělá či skutečná fakta.

Většina astronomických pozorování nepožadují sice L ą 0, avšak tuto možnost ani striktně nevylučují. Studium mimogalaktických objektů pouze čím dál více omezuje hodnotu kosmologické konstanty (nyní |L| <~10^-55 cm^-2), aby teorie neodporovala výsledkům pozorování dostupné části vesmíru. Je zřejmé, že laboratorní stanovení tak nepatrné hodnoty L je zcela beznadějné. I tak malá kosmologická konstanta by však mohla výrazně ovlivnit stavbu a vývoj vesmíru jako celku. V zájmu objektivnosti je proto třeba na možnost L ą 0 pamatovat a při studiu globálních vlastností vesmíru kosmolologický člen brát v úvahu.
  Podrobnější diskuse o kosmologické konstantně, metodách jejího měření a astrofyzikálních konsekvencích pro evoluci vesmíru je v §5.5, pasáži "....". .....
Inflační expanze, temná energie ?
V poslední době se navíc ukazuje, že kosmologický člen by mohl hrát významnou roli v nejranějších fázích vývoje vesmíru, kdy se projevovaly efekty kvantové teorie pole a jednotnost fundamentálních interakcí - kosmologická konstanta mohla být "hnací silou" inflační expanze vesmíru, jak bude ukázáno v §5.5 "Mikrofyzika a kosmologie. Inflační vesmír.".
  Podle posledních astronomických pozorování vzdálených supernov se vyskytly pádné indicie, že v současné době dochází ke zrychlování expanze vesmíru, že kromě běžné látky a temné (nezářící) hmoty se ve vesmíru vyskytuje i tzv. temná energie, která vykazuje "antigravitaci". Zdá se tedy, že pozdní evoluce vesmíru probíhá pod vlivem kosmologické konstanty L>0 - je diskutováno §5.6 "Budoucnost vesmíru.Šipka času.", pasáž "Temná energie a akcererovaná expanze vesmíru".

5.1. Základní východiska a principy kosmologie		5.3. Fridmanovy dynamické modely vesmíru

Vojtěch Ullmann