Gravitace a elektrostatika

Kapitola 1
GRAVITACE A JEJÍ MÍSTO VE FYZICE
1.1. Vývoj poznatků o přírodě, vesmíru, gravitaci
1.2. Newtonův gravitační zákon
1.3. Mechanická LeSageova hypothéza podstaty gravitace;
1.4. Analogie mezi gravitací a elektrostatikou
1.5. Elektromagnetické pole. Maxwellovy rovnice.
1.6. Čtyřrozměrný prostoročas a speciální teorie relativity

1.4. Analogie mezi gravitací a elektrostatikou

Newtonův gravitační zákon

o vzájemném silovém přitahování dvou těles hmotnosti m _l a m ₂ ve vzdálenosti r od sebe, se tvarem svého vzorce velice podobá jinému fundamentálnímu zákonu klasické fyziky - Coulombovu zákonu elektrostatiky

který vyjadřuje vzájemné silové působení dvou (bodových) elektrických nábojů q₁ a q₂ umístěných ve vakuu ve vzdálenosti r od sebe. Hodnota konstanty k závisí na použité soustavě jednotek. Ve fundamentální fyzice se pokládá k=1 (čímž se přirozeně definuje jednotka elektrického náboje pomocí jeho silového působení na jednotkovou vzdálenost *), v soustavě SI je k = 8,988.10⁹ N m² C^-2 a jednotkou elektrického náboje je 1 Coulomb (C). Coulombův zákon ve tvaru (1.20b) platí i v elektricky homogenním a izotropním látkovém prostředí, přičemž konstanta úměrnosti k se vyjadřuje ve tvaru k = 1/4pe, kde e je permitivita (dielektrická konstanta) daného látkového prostředí.
*) Historický vývoj fyziky však bohužel vedl k tomu, že v soustavě jednotek SI není náboj primárně kvantifikován pomocí svých elektrických silových účinků, ale až zprostředkovaně pomocí magnetických účinků elektrického proudu (jednotka Ampér; jeden Coulomb je pak definován jako 1A/1s).
Pozn.: Vývoj poznatků o elektřině a magnetismu je stručně nastíněn v §1.1 v pasáži "Elektrodynamika, atomová fyzika, teorie relativity, kvantová fyzika".

Stojí tedy za to sledovat, kam až sahají analogie mezi elektřinou a gravitací. Newtonův a Coulombův zákon mají zcela stejný tvar, takže hmotnosti m₁ a m₂ dvou gravitujících těles můžeme nazvat jejich "gravitačními náboji". Všechny závěry o pohybu těles pod vlivem gravitace učiněné v §1.2 "Newtonův gravitační zákon" budou platit i o pohybech nabitých těles pod vlivem Coulombova elektrostatického pole. I zde se elektrické náboje pohybují po Keplerovských trajektoriích - obíhají po elipsách, přibližují a vzdalují se po hyperbolách nebo parabolách (nepřihlížíme zde zatím k radiačním efektům způsobeným vyzařováním elektromagnetických vln při nerovnoměrném pohybu elektrických nábojů).

Hned zde však narážíme na první důležitý rozdíl. Zatímco elektrické náboje mohou mít kladné i záporné znaménko (q >=< 0) a elektrostatická síla mezi nimi může být jak přitažlivá (mezi nesouhlasnými náboji) tak odpudivá (souhlasné náboje), je hmotnost vystupující v Newtonově zákoně vždy kladná (resp. nezáporná m ł 0) a gravitační síla je vždy přitažlivá. Tato fundamentální vlastnost gravitace, která je podle Einsteinových rovnic splněna i v obecné teorii relativity (ve všech fyzikálně reálných situacích, kdy tenzor energie-hybnosti je pozitivně definitní - §2.6 "Deviace a fokusace geodetik"), hraje zásadní roli v takových oblastech jako je fyzika černých děr (2.zákon dynamiky černých děr - viz §4.6 "Zákony dynamiky černých děr") nebo kosmologie (teorémy o singularitách - §3.8 "Hawkingovy a Penroseovy teorémy o singularitách", §3.9, kapitola 5 "Relativistická kosmologie").

Stejně jako v elektrostatice je pro vzájemné působení elektrických nábojů užitečné zavést pojem elektrické pole, je i v gravitaci výhodné popisovat vzájemné působení hmotných těles pomocí pojmu gravitační pole. Podle této koncepce každé hmotné těleso vytváří kolem sebe gravitační pole a toto pole pak vykazuje silové účinky na každé další těleso, které se do něho dostane.

Elektrické a gravitační pole
Každé fyzikální pole je charakterizováno svým působením na zkušební částice. V elektrostatice jsou zkušebními částicemi elektricky nabitá tělíska, v gravitaci to jsou dostatečně malá tělesa, která svými vlastními účinky znatelně neovlivňují zkoumané gravitační pole a jeho zdroje. Podobně jako elektrostatické pole kvantifikujeme vektorem elektrické intenzity E_el, což je síla působící na jednotkový zkušební náboj, tj.

lze gravitační pole popsat rovněž vektorem intenzity pole E_gr udávajícím gravitační sílu působící na testovací částici jednotkové hmotnosti, tj.

Coulombův zákon je možno vyjádřit prostřednictvím intenzity elektrického pole E_el buzeného v prostoru kolem bodového elektrického náboje Q :

Newtonův gravitační zákon pak říká, že bodové těleso hmotnosti M budí kolem sebe centrální gravitační pole o intenzitě

Skutečnost, že jak elektrostatické, tak gravistatické pole je konzervativní, umožňuje vyjádřit intenzitu pole pomocí skalárního potenciálu j :

Pro centrální pole bodového náboje Q nebo tělesa M je

Zkušenost učí, že pro silové působení soustavy většího počtu elektrických nábojů nebo gravitujících těles platí zákon superpozice, podle něhož účinek soustavy objektů (na danou zkušební částici) je roven součtu účinků každého objektu zvlášť, tj. pro soustavu N bodových nábojů nebo hmotných těles bude celková intenzita elektrického nebo gravitačního pole

(1.25a,b) (1.26a,b)

kde r je polohový vektor bodu v němž pole určujeme a r_i jsou polohové vektory jednotlivých bodových nábojů q_i nebo těles m_i.

Pozdější rozvoj nauky o gravitaci však ukázal, že zde se skrývá druhý podstatný rozdíl mezi gravitací a elektřinou. Pro elektromagnetické jevy platí princip superpozice naprosto přesně i pro sebevětší náboje a sebesilnější pole. Pro gravitaci ale platí princip superpozice s dostatečnou přesností skutečně pouze v rámci Newtonova zákona, zatímco pro velká nahromadění hmoty a silná gravitační pole již splněn není. Tato nelineárnost souvisí s univerzálností gravitační interakce, jak bude ukázáno v §2.5 "Einsteinovy rovnice gravitačního pole".

Stejně jako je mnohdy užitečné místo soustavy velkého počtu diskrétních elektrických nábojů uvažovat spojité rozložení elektrického náboje s prostorovou hustotou r_el = dQ/dV, tj. množství náboje Q obsažené v dané prostorové oblasti V vyjadřovat ve tvaru

zavádí se běžně v mechanice a gravitaci hustota spojitého rozložení hmotnosti r = dm/dV, takže celková hmotnost M obsažená v prostorové oblasti V je pak vyjádřena integrálem

Souvislost mezi modelem soustavy bodových nábojů q_i a představou kontinuálního rozložení náboje se vyjadřuje pomocí Diracovy d-funkce: r_el(r) = _i=1S^N q_i.d(r-r_i). Analogicky pro hmotnost. Pro spojitě rozložený náboj s hustotou r_el(r) nebo pro spojitě rozloženou hmotu s hustotou r(r) pak vzhledem k principu superpozice výsledné elektrické nebo gravitační pole bude

(1.25'a,b) (1.26'a,b)

kde r' je polohový vektor integračního objemového elementu dV'.

Gaussova věta elektrostatiky a gravitace
Coulombův i Newtonův zákon se dají formulovat ve tvaru Gaussovy věty (obr.1.3a)

(1.28a,b)

podle níž tok vektoru intenzity pole E přes uzavřenou plochu S je dán celkovým nábojem Q, resp. celkovou hmotností M, obsaženou uvnitř této plochy. Vyjádřením náboje a hmotnosti pomocí integrálů jejich hustoty a užitím Gaussovy věty vektorové analýzy lze vztahy (1.28a,b) přepsat v diferenciálním tvaru

který říká, že výtok vektoru intenzity pole z jednotkového objemu je dán místní hustotou náboje nebo hmotnosti. Vyjádřením intenzity pole pomocí gradientu potenciálu (1.23) vznikne Poissonova diferenciální rovnice druhého řádu pro potenciál :

kde D ş ¶²/¶x² + ¶²/¶y² + ¶²/¶z² je Laplaceův diferencialní operátor.

Newtonova rovnice pohybu tělesa o hmotnosti m a elektrickém náboji q v elektrickém poli má tvar

zatímco při pohybu v gravitačním poli se hmotnost na obou stranách vykrátí (o rovnosti setrvačné a tíhové hmotnosti, umožňující toto vykrácení, viz §2.2 "Univerzálnost - základní vlastnost a klíč k pochopení podstaty gravitace") :

Zásadní rozdíl mezi pohybem v elektrickém a v gravitačním poli spočívá v tom, že v elektrickém poli se různá tělesa pohybují různě podle hodnoty svého specifického náboje q/m, zatímco v gravitačním poli trajektorie tělesa nezávisí na žádných individuálních charakteristikách pohybujícího se tělesa - je univerzální vlastností pouze samotného pole j_gr(r). Pohybová rovnice (1.29b) je tak vyjádřením univerzálnosti gravitačního působení, která bude v dalším relativistickém popisu gravitace hrát klíčovou roli.

Gravitoelektromagnetismus ?
Elektrostatické pole je speciálním případem obecného pole elektromagnetického (viz následující §1.5 "Elektromagnetické pole. Maxwellovy rovnice"), které vládne v naší okolní přírodě, běžném životě, chemii, atomové a jaderné fyzice a do značné míry i v astrofyzice. Vzniká tak otázka, zda analogiie mezi Newtonovskou gravitací a elektrostatikou pokračují i do oblasti dynamických projevů elektřiny - do elektromagnetismu?
  V rámci obecné teorie relativity si ukážeme, že opravdu existují některé formální analogie mezi rovnicemi elektromagnetismu (Maxwellovými rovnicemi) a speciálními aproximacemi Einsteinových gravitačních rovnic v OTR. Tato analogie se označuje jako gravitoelektromagnetismus - některé specifické kinematické účinky gravitace jsou analogické magnetickým účinkům pohybujících se nábojů. Jedná se především o efekt strhávání těles do směru rotace zdroje gravitačního pole (Lense-Thirringův jev - §2.5, pasáž "Rotující gravitace"), který poněkud připomíná magnetismus. U těchto gravidynamických efektů lze vystopovat určitou analogii s magnetismem v elektrodynamice. Pomocí speciálních "účelových" transformací lze Einsteinovy gravitační rovnice upravit do tvaru rovnic elektromagnetismu.
  Z objektivního pohledu jsou však tyto analogie pouze formální, s malým fyzikálním významem. Jevy zdánlivě připomínající magnetismus jsou zde druhého a vyššího řádu ve srovnání s primárním gravitačním ("gravistatickým") působením. Skutečný fyzikální magnetismus, způsobený interakcí pohybujících se "nábojů" - zdrojů pole - v gravitaci obsažen není...
Pozn.: Za magnetismus v gravitaci by mohly být považovány i známé Coriolisovy síly F_c=-2m.[v´w ] , které připomínají magnetickou Lorentzovu sílu F_m= (1/c).q . [ v ´ B ] působící při pohybu elektrického náboje q rychlostí v v magnetickém poli intenzity (indukce) B. Tyto síly jsou však ve skutečnosti kinematickým efektem v rotující vztažné soustavě (úhlovou rychlostí w), nastávajícím i v rámci klasické Newtonovy mechaniky...

1.3.LeSageova mechanická hypotéza gravitace		1.5.Elektromagnetické pole. Maxwellovy rovnice

Vojtěch Ullmann