Zákon všeobecné gravitace

Kapitola 1
GRAVITACE A JEJÍ MÍSTO VE FYZICE
1.1. Vývoj poznatků o přírodě, vesmíru, gravitaci
1.2. Newtonův gravitační zákon
1.3. Mechanická LeSageova hypotéza podstaty gravitace
1.4. Analogie mezi gravitací a elektrostatikou
1.5. Elektromagnetické pole. Maxwellovy rovnice.
1.6. Čtyřrozměrný prostoročas a speciální teorie relativity

1.2. Newtonův gravitační zákon a jeho modifikace

Do poloviny 17.století existovaly vedle sebe dvě zcela odlišné a zdánlivě nesouvisející nauky o pohybu: pozemská mechanika zabývající se pohybem běžných těles a nebeská mechanika studující pohyb planet a hvězd.
  I.Newton navázal na Galileiho kinematiku a vybudoval dynamiku pohybu těles shrnutou ve třech všeobecně známých Newtonových zákonech (viz §1.6 "Čtyřrozměrný prostoročas a speciální teorie relativity", pasáž "Newtonova klasická mechanika"). Takto vzniklá klasická mechanika byla (a je vlastně dodnes) schopna vysvětlit veškeré pohyby těles, s nimiž se v běžném životě setkáváme.
  Newtonův předchůdce J.Kepler shrnul velké množství dosavadních astronomických pozorování a vysledoval z nich obecné zákonitosti, kterými se řídí pohyb planet ve sluneční soustavě :

• II. Plochy opsané průvodičem planety za stejný čas jsou stejné.

Tyto empirické Keplerovy zákony posloužily I.Newtonovi jako východisko ke stanovení ještě fundamentálnějšího zákona, kterým se řídí nejen planety, ale všechna tělesa "na nebi i na Zemi".
  Newton si především uvědomil, že pohyb planet neodpovídá zákonu setrvačnosti. Planety se pohybují po zakřivených dráhách (elipsách) kolem Slunce, takže na ně musí působit nějaká síla směřující ke Slunci - přitažlivá síla vycházející ze Slunce. Třetí Keplerův zákon aplikovaný na speciální případ kruhového obíhání říká, že čtverce period 4p². r²/v² jsou úměrné třetím mocninám poloměru r. Potom dostředivé zrychlení v²/r musí být úměrné 1/r². Podobný vývod se dá ukázat i pro pohyb eliptický. Vzhledem k druhému Newtonovu zákonu síla způsobující u planety hmotnosti m takové dostředivé zrychlení musí být proto úměrná m/r². Podle zákona akce a reakce však silou stejné velikosti jakou působí Slunce na planetu musí působit i planeta na Slunce, přičemž tato síla zde bude úměrná hmotnosti M Slunce. Vzájemná přitažlivá síla mezi planetou a Sluncem bude tedy úměrná m.M/r².

Zákon všeobecné gravitace
Analýzou Keplerových zákonů tak Newton zjistil, že pohyb planet ve sluneční soustavě se dá snadno vysvětlit hypothézou, že každá dvě tělesa se vzájemně přitahují silou, která je přímo úměrná hmotnosti m_l a m₂ každého z nich a nepřímo úměrná druhé mocnině vzdálenosti r mezi nimi - Newtonův gravitační zákon :

kde r° je jednotkový vektor udávající směr od tělesa m_l k tělesu m₂. Koeficient úměrnosti G - gravitační konstanta - musí být stanoven empiricky (z pozorování nebo experimentu), viz níže.
  Kromě odvození tvaru zákona přitažlivosti mezi nebeskými tělesy Newton ukázal, že tato síla má stejnou povahu jako zemská tíže nutící padat všechna volná tělesa se zrychlením k zemi. Newton totiž srovnáním zrychlení pohybu Měsíce při jeho obíhání v příslušné vzdálenosti kolem Země a zrychlením volně se pohybujících těles u zemského povrchu zjistil, že velikosti těchto zrychlení odpovídají zákonu obrácených čtverců a souhlasí tedy se zákonem (1.1) za předpokladu, že jak pád těles, tak obíhání Měsíce kolem Země je podmíněno přitažlivostí Země.
  Poznatek, že síla která nutí obíhat planety kolem Slunce nebo měsíce kolem planet je táž síla, která způsobuje pád těles k zemi a která se nazývá tíží neboli gravitací, sjednotil na společném základě dříve zcela různé jevy a oblasti: mechaniku, zemskou tíži a "nebeskou" mechaniku. Vztah (1.1) se proto nazývá Newtonův zákon všeobecné gravitace.
Gravitace - neodstranitelná vše prostupující síla 
Elektrické působení mezi nabitými tělesy (které může být přitažlivé i odpudivé podle znamének nábojů) závisí na látkovém prostředí a lze jej v zásadě odstínit (a to i střídavé elektromagnetické pole pomocí Faradayovy klece). Gravitace, která je vždy přitažlivá, je však vše prostupující síla kterou nelze nijak odstranit. Gravitaci nelze ničím "zahradit cestu", nelze ji odstínit. Pokud bychom mezi dvě gravitující tělesa vložili nějaký masivní materiál, dosáhli bychom jen zesílení celkového gravitačního působení: gravitační síla vloženého materiálu by se vektorově sečetla s původní gravitací.
Univerzální působení gravitace 
Jelikož přitažlivá síla působící na každé těleso je úměrná hmotnosti tohoto tělesa, je Newtonův zákon ve shodě rovněž s Galileiho zákonem volného pádu, podle něhož všechna tělesa padají k zemi se stejným zrychlením nezávisle na své hmotnosti a složení (o rovnosti setrvačné a tíhové hmotnosti viz §2.2).
  Podle 2.Newtonova zákona klasické mechaniky - zákona síly a zrychlení - síla F potřebná k uvedení tělesa do pohybu je úměrná jeho hmotnosti m a zrychlení a : F = m . a . Je-li touto silou gravitace, pak pro testovací těleso hmotnosti m, pohybující se pod vlivem gravitace centrálního tělesa hmotnosti M (např. Země) ve vzdálenosti r, můžeme na druhou stranu rovnice napsat Newtonův gravitační zákon : m . a = G . M.m /r². Na levé i pravé straně rovnice figuruje hmotnost m testovacího tělesa, kterou můžeme vykrátit, takže zrychlení již na hmotnosti sledovaného tělesa nezávisí - závisí pouze na hmotnosti centrálního gravitujícího tělesa a vzájemné vzdálenosti: a = G . M /r². Výsledně tedy gravitační síla uděluje všem tělesům stejné gravitační zrychlení, což vysvětluje Galileiho zákon volného pádu. Na těžší těleso sice působí větší gravitační síla, která však zároveň musí vykonat víc "práce" pro jeho urychlení - toto těžší těleso klade vůči urychlování větší "odpor".
  Další fyzikální poznání ukázalo, že tato vlastnost stejného - univerzálního - působení gravitace se vztahuje nejen na běžná látková tělesa, ale i na jejich stavební částice jako jsou elektrony, protony, neutrony, jakož i na elektromagnetické pole a vlny, jako je světlo a jeho kvanta fotony (vztahuje se nepochybně i na další částice i antičástice). Právě tato skutečnost se ukázala jako nejdůležitější vlastnost gravitace a klíč k jejímu novému pochopení v rámci obecné teorie relativity (§2.1-2.4 kapitoly 2, především §2.2 "Univerzálnost - základní vlastnost a klíč k pochopení podstaty gravitace").
Gravitující tělesa 

Obr.1.0. Newtonův zákon všeobecné gravitace.
Nahoře: Základní situace gravitačního působení mezi dvěma (idealizovanými) bodovými tělesy o hmotnostech m₁ a m₂.
Uprostřed: Newtonův gravitační zákon platí i pro gravitační působení mezi sféricky symetrickými tělesy konečných rozměrů.
Dole: Sféricky symetrické duté těleso (kulová vrstva či slupka) má nulovou gravitační sílu uvnitř dutiny, vně tělesa je gravitační síla dána standardním Newtonovým zákonem.

Na obr.1.0 jsou znázorněny tři situace za nichž přesně platí tento gravitační zákon. Základní teoretická situace podle horní části obrázku spočívá v gravitačním působení mezi dvěma "bodovými" tělesy, v praxi tedy tělesy jejichž rozměry jsou zanedbatelně malé ve srovnání s jejich vzájemnou vzdáleností. Newtonův gravitační zákon však přesně platí i pro gravitační působení mezi tělesy konečných rozměrů se sféricky symetrickým rozložením hustoty hmoty (prostřední část obrázku). A to nejenom ve vnějším prostoru kolem tělesa, ale i uvnitř sféricky symetrického tělesa - gravitační síla F(r) ve vzdálenosti r od středu je dána množstvím hmoty m(r) = 4p ₀ň ^rr(r).r² dr obsažené v myšlené kouli o poloměru r: F(r) = G.m(r)/r²; hmota ve vnějších slupkách se neuplatňuje, její gravitace působící z různých směrů se vyruší (tato situace je diskutována i v §2.4, pasáž "Dilatace času uvnitř gravitujících těles").
  V dolní části obr.1.0 je kuriózní teoretický případ sféricky symetrického dutého tělesa - kulová vrstva či slupka (v přírodě se nevyskytuje). Na zkušební tělesa nacházející se uvnitř dutiny nepůsobí žádná gravitační síla (gravitační pole uvnitř má nulovou intenzitu, je tam konstantní gravitační potenciál, gravitační síly z různých směrů se vyruší), vně tělesa je však gravitační síla přesně dána Newtonovým zákonem.
  Ve všech ostatních konfiguracích nesymetrického nehomogenního rozložení hustoty hmoty v tělesech konečných rozměrů platí zákon obrácených čtverců jen přibližně, tato tělesa nelze úplně přesně nahradit jejich těžištěm (vzhledem ke kvadratické nelinearitě gravitačního zákona). V obecném případě zdroje o objemu V, v němž je rozložení hmoty dáno funkcí lokální hustoty r(r), je gravitační síla působící na testovací částici m dána vektorově objemovým integrálem F = -G.m. ň_V r(r´).Ir-r´I^-2(r-r´)⁰ dV´ vektorového součtu příspěvků od jednotlivých hmotných elementů různé hustoty r(r) ve zdroji.
Odchylky od homogenity a sférické symetrie 
U velkých hmotných těles ve vesmíru (o průměru větším než asi 1000 km) silná gravitace automaticky zajistí přibližně kulový tvar s téměř sféricky symetrickým rozložením hustoty. Pokud však takové těleso rotuje, nevznikne sférická, ale jen axiální symetrie (srov. §3.6 "Kerrova a Kerrova-Newmanova geometrie" a §4.4 "Rotující a elektricky nabité Kerrovy-Newmanovy černé díry").
  Uvnitř planet terestrického typu se však vyskytují určité lokální nehomogenity v rozložení hustoty hmoty, které způsobují drobnější anomálie a fluktuace okolního gravitačního pole. Projevuje se to menšími nepravidelnostmi a odchylkami od Keplerovských oběžných drah (viz níže "Pohyb v Newtonově gravitačním poli") obíhajících družic. Tyto nepravidelnosti jsou výraznější na nízkých oběžných drahách satelitů, ve větších vzálenostech se snižují, až prakticky vymizí. Gravimetrická měření na povrchu Země a analýza odchylek oběžných drah družic může v geologii sloužit k odhalování vnitřních nehomogenit stavby naší planety - potažmo i k vytypování možných nalezišť nerostných surovin.
Gravitační konstanta 
Pro univerzální konstantu G, vystupující jako koeficient úměrnosti v gravitačním zákoně (1.1) - Newtonovu gravitační konstantu - byla experimentálně stanovena hodnota

Velmi malá hodnota gravitační konstanty G ukazuje, že gravitační působení je relativně velmi slabé a může se výrazněji projevit jen tehdy, když aspoň jedno z interagujících těles má značně velkou hmotnost. Proto se vzájemné gravitační přitahování běžných makroskopických těles v praxi neuplatňuje, v běžném životě jej nepozorujeme a může být prokázáno a změřeno jen pomocí vysoce citlivých metod (jako byla měření Cavendishova a Eötvösova). Gravitace je doménou velmi hmotných těles ve vesmíru.
  Slabost gravitační interakce m.j. způsobuje, že přesné změření gravitační konstanty je značně obtížné. První změření gravitační konstanty provedl již v r.1798 H.Cavendish, který použil dvou olověných kuliček hmotnosti 730g, upevněných na vodorovném rameni, zavěšeném na tenkém vlákně. Tento mechanický systém fungoval jako torzní váhy, které byly opatřeny zrcátkem, od něhož se odrážel paprsek světla indikující výchylku ramene. Ke kuličkám Cavendish z obou stran přibližoval dvojice větších olověných koulí (160kg) a měřil pomocí zrcátka výchylky ramene torzní váhy. Cavendishův experiment byl původně určen ke stanovení hmotnosti a hustoty Země; pozdější analýzy jeho výsledků stanovily hodnotu gravitační konstanty G » 6,74.10^-11 kg^-1m³s^-2, která se liší pouze o 1% od nynější hodnoty.
  Přesto, že gravitační konstanta G je jednou z nejdůležitějších a nejzákladnějších přírodních konstant, ve srovnání s ostatními fyzikálními konstantami známe její hodnotu jen s poměrně malou přesností cca 10^-4 (na 4 desetinná místa). Důvodem této "mizerné" přesnosti je výše zmíněná slabost gravitační interakce. Určitou naději na zpřesnění hodnoty gravitační konstanty snad mohou poskytnout budoucí plánovaná vysoce citlivá kvantově-radiační měření pomocí excitovaných atomů v různých kvantových stavech, podrobených gravitačnímu působení zkušebních hmotných těles.

Povrchová gravitace
Pro mechanické procesy na gravitujících tělesech (hydrodynamické, tektonické, atmosférické,... ) i pro ostatní dění, včetně příp. života, na Zemi i ostatních planetách (především terestrického typu) jsou důležité gravitační síly působící na jejich povrchu. Intenzita gravitace na povrchu gravitujícího tělesa, zvaná povrchová gravitace, je gravitační síla působící na tělesa v daném místě povrchu, neboli gravitační zrychlení těles při volném pádu. Značí se řeckým písmenem k (kappa). Na kulových tělesech se sféricky symetrickou hustotou hmoty je dána základním Newtonovým zákonem :
                      k   =   G. M / R²
a je stejná na všech místech povrchu. Pro nesférický tvar či nehomogenní rozložení hmoty se povrchová gravitace v různých místech liší, většinou o poměrně malé hodnoty. Gravimetrickým měřením lze z těchto odchylek zjišťovat anomálie geologického složení, rozsáhlejší podzemní prostory, či perspektivně i ložiska nerostných surovin.
  Povrchová gravitace k se zavádí i pro černé díry, které nemají povrch, nýbrž horizont událostí - vzorec (4.24) v §4.3 "Schwarzschildovy statické černé díry" a (4.47) v §4.4 "Rotující a elektricky nabité Kerrovy-Newmanovy černé díry". Tato hodnota povrchové gravitace je (kupodivu) stejná ve všech místech horizontu i u rotující černé díry ("0. zákon dynamiky černých děr" - §4.6 "Zákony dynamiky černých děr").

Gradienty gravitačních sil - slapové síly 
Gravitační pole, buzené v okolí těles podle gravitačního zákona, je nehomogenní, v blízkosti gravitujícího tělesa je podstatně silnější než ve větších vzdálenostech. Když se tedy nějaké těleso konečných rozměrů dostane do vlivu gravitace jiného tělesa, gravitační síla na bližší a vzdálenější straně se může poněkud lišit - vzniká gradient gravitační síly, daný vektorovým rozdílem gravitační síly (zrychlení) mezi těmito dvěma místy. Pokud toto těleso není absolutně tuhé (v §1.6 uvidíme, že teorie relativity "zakazuje" absolutní tuhost), vede to k deformaci tvaru tělesa (např. původně kulový tvar se protahuje do elipsoidu). Gravitační gradienty způsobující tento efekt se nazývají slapové síly (slap = peřej, plesknutí, vzdutí vody), nebo přílivové síly. Slapové síly tedy vznikají díky nenulovým rozměrům vzájemně se přitahujících objektů: když se tato dvě tělesa přitahují, bude na každém z nich působit větší přitažlivá síla na straně, která je k druhému tělesu nejbližší, než na straně opačné (odvrácené).
  Název pochází z toho, že tyto síly jsou dobře známé z našeho běžného pozemského života - způsobují mořský příliv a odliv. Jedná se zde o gravitační působení především Měsíce (v menší míře i Slunce). Při denní rotaci Země kolem své osy se její jednotlivé oblasti přesouvají do spojnice Země-Měsíc a slapové síly způsobují deformace v tomto směru. Zemská kůra se deformuje jen poměrně málo (viz však níže), avšak velké masy vod oceánů mohou na přitažlivé gravitační síly Měsíce reagovat prakticky okamžitě - mohou se po povrchu Země přesouvat a hladina oceánů se s denní pravidelností periodicky deformuje, může stoupat a klesat o několik metrů. Měsíc k sobě silněji přitahuje vodu v těch oceánech, které jsou k němu nejblíže - na povrchu oceánu vznikne malé "vyboulení", což se u pobřeží projevuje jako příliv a odliv.
  Velikost slapových sil lze stanovit z gravitačního zákona (1.1) jako vektorový rozdíl gravitační síly mezi dvěma danými místy v okolí gravitujícího tělesa *). Jestliže máme (kulové) gravitující těleso hmotnosti M, v jehož gravitačním poli se ve vzdálenosti R nachází jiné (zkušební) kulové těleso průměru r a hmotnosti m, pak na okraje tohoto tělesa bude ve směru spojnice (se základním tělesem M) působit slapová síla F_grad:
      ^«F_grad =   F(R+r) - F(R-r)   =   G.[m.M/(R+r)²] - G.[m.M/(R-r)²]   »  - 2 G.m.M.r/R³ .
Tato slapová síla působí směrem ven a natahuje těleso ve směru spojnice ke gravitujícímu tělesu M. Analogickým způsobem lze stanovit slapovou sílu působící na těleso o průměru r ve směru kolmém ke spojnici obou těles jako vektorový rozdíl:
                _á^âF_grad =   G.[m.M/R²].sin(2r/R)   »   G.m.M.r/R³ .
Ve směru kolmém je slapová síla zhruba poloviční a směřuje dovnitř - v tomto směru těleso stlačuje. Slapové síly tedy "natahují" tělesa ve směru jejich spojnice a zároveň je "stlačují" ve směru kolmém.
*) Výsledné zjednodušené výrazy (») vznikají linearizací - v algebraických výrazech nebo v Taylorově mocninném rozvoji se ponechají pouze členy s prvními mocninami r,R, zatímco členy s vyššími mocninami zanedbáme.
Slapové síly se výrazněji uplatňují v zásadě ve třech základních situacích (a jejich kombinacích) :
1. Blízký vzájemný oběh dvou těles, jako jsou těsné dvojhvězdy. Slapové síly periodicky deformují částečně elastický materiál obou těles, přičemž viskózní tření v něm generuje teplo. Tím se část kinetické energie oběžného pohybu přeměňuje na tepelnou energii, oběžné dráhy se přibližují, doba oběhu se zkracuje...
2. Rotující těleso obíhající v blízkosti jiného gravitujícího tělesa. To je výše zmíněný případ rotující Země, kolem níž obíhá Měsíc. Vedle deformace hladin oceánů (příliv a odliv) dochází i k periodickým deformacím zemské kůry a pláště, které se vizkózním třením přeměňují na teplo zahřívající nitro planety. Odhaduje se, že přibližně 40% geotermální energie pochází z tohoto gravitačně-slapového mechanismu v nitru Země (většina geotermální energie pochází radioaktivního rozpadu přírodních isotopů - viz §1.4 "Radionuklidy", pasáž "Geologický význam přírodní radioaktivity" v knize "Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření"). Tento slapový "zahřívací" mechanismus probíhá i na některých měsících kolem vnějších planet sluneční soustavy, které by jinak byly velmi chladné. Příkladem je Jupiterův měsíc Io, u něhož zahřívání intenzívními slapovými vlivy vede k silné vulkanické aktivitě.
  Za zajímavost stojí, že slapová disipace rotační energie patrně způsobila zbrždění a zastavení dřívější rotace Měsíce, který je nyní k Zemi přivrácen stále stejnou stranou. Dále, jelikož Měsíc obíhá kolem Země ve stejném směru jako je rotace Země kolem své osy, slapové síly v materiálu Země způsobují pozvolné předávání rotačního momentu hybnosti Země do oběhového momentu hybnosti Měsíce, jehož oběžná dráha se vlivem toho od Země vzdaluje o cca 40mm za rok. A rotace Země se tím nepatrně zpomaluje. V hypotetickém případě kontrarotujícího oběhu by se Měsíc k Zemi naopak přibližoval.
3. Kompaktní gravitačně zhroucená tělesa s extrémně silným gravitačním polem - neutronové hvězdy a především černé díry - ve své blízkosti způsobují tak silné gravitační gradienty a enormní slapové síly, že i volně padající tělesa jsou v radiálním směru intenzívně natahována a v kolmém směru naopak stlačována (dochází k jakési "špagetizaci") tak, že nakonec dopadají jako "šňůrka" atomů či elementárních částic (§4.2 , pasáž "Pozorovatel padající do černé díry").
  Při slapových jevech platí zákony zachování energie a momentu hybnosti. Kinetická energie rotace těles a jejich oběhu se částečně přeměňuje na tepelnou energii v materiálu těles. Moment hybnosti se "přerozděluje" mezi rotačním pohybem kolem vlastní osy a oběžným pohybem těles kolem společného těžiště. Intenzita a charakter těchto přeměn závisí na individuální geometrické, kinetické a materiálové konfiguraci zúčastněných těles.

Pohyb těles v Newtonově gravitačním poli
V rámci klasické fyziky se pohyb těles v Newtonově gravitačním poli řídí základním druhým Newtonovým zákonem síly F a zrychlení a: a ş d²r/dt² = F , kde za sílu F dosadíme gravitační sílu podle Newtonova gravitačního zákona (1.1). Z Newtonova gravitačního zákona pak přirozeně plynou nejen původní Keplerovy zákony, ale i další pozorované vlastnosti a možnosti pohybu planet, pohyby hvězd v dvojhvězdných a vícenásobných soustavách i v rámci galaxií, hydrostatická rovnováha ve hvězdách (s výjimkou závěrečných stádií) a další efekty.

Pohyb tělesa v centrálně symetrickém gravitačním poli. Úniková rychlost.
Vedle idealizovaného a jednoduchého případu homogenního gravitačního pole (jako je volný pád a vrh těles v zemském tíhovém poli), nejjednodušší a základní úlohou na pohyb tělesa v gravitačním poli je situace, kdy máme jedno bodové (či centrálně symetrické) gravitující těleso o dané hmotnosti M a vyšetřujeme pohyb malé testovací částice v jeho gravitačním poli. Je tedy důležité vyšetřovat pohyb testovací částice hmotnosti m v centrálně symetrickém Newtonově poli buzeném gravitujícím tělesem M.
  Na testovací částici m ve vzdálenosti r od středu tělesa M bude podle (1.1) působit gravitační síla F = G.m.M/r², která mu podle zákona síly a zrychlení bude udílet zrychlení a podle rovnice m . a = G . m.M /r². Hmotnost testovacího tělesa m se zde vykrátí, takže gravitační zrychlení bude

má dostředivý směr a nezávisí na hmotnosti m - všechna tělesa padají se stejným zrychlením. V místě bodového zdroje r=0 by gravitační zrychlení testovací částice bylo teoreticky nekonečné.
  Pokud je sférické gravitující těleso M konečného poloměru R (situace podle obr.1.0 uprostřed), bude jednoduchá závislost (1.3a) platit jen vně tělesa pro r>R, zatímco uvnitř pro r<R bude závislost složitější, závislá na hustotě r(r) rozložení hmoty. Gravitační síla F(r) ve vzdálenosti r od středu je dána množstvím hmoty m(r) = 4p ₀ň ^rr(r).r² dr obsažené v myšlené kouli o poloměru r: F(r) = G.m(r)/r² (hmota ve vnějších slupkách se neuplatňuje, její gravitace působící z různých směrů se vyruší). Gravitační zrychlení testovací částice m u sférického gravitujícího tělesa M poloměru R tedy je :

Gravitační zrychlení pro rozprostřené těleso M je všude konečné, ve středu r=0 je nulové (gravitační síla je tam nulová).
  Užitečné je též stanovit potenciální energii U(r) testovací částice m v gravitačním poli v místě r. Je to práce, vykonaná proti gravitační síle F(r)=G.m.M/r², potřebná k tomu, abychom částici hmotnosti m "vytáhli" z místa r gravitačního pole do nekonečné vzdálenosti r®Ą, kde již gravitace nepůsobí a potenciální energie je zde již nulová. Je tedy dána integrálem U(r) = G.m._rň^Ą(M/r²)dr = - G.m.M/r . Gravitační potenciál j(r), což je potenciální energie tělesa m na jednotku jeho hmotnosti U(r)/m, tedy je

Tento jednoduchý vztah platí pro všechny vzdálenosti r jen pro bodový zdroj M; v jeho místě r=0 nabývá potenciál nekonečnou hodnotu (podobně jako gravitační síla F). Pokud je sférické těleso M konečného poloměru R (situace podle obr.1.0 uprostřed), bude jednoduchá závislost platit jen vně tělesa pro r>R, zatímco uvnitř pro r<R bude závislost složitější, závislá na hustotním profilu r(r) rozložení hmoty :
Množství hmoty obsažené v myšlené kouli poloměru r je m_r = 4p ₀ň ^rr(r).r² dr, takže gravitační síla na jednotku hmotnosti testovací částice bude F(r) = G.(₀ň ^r4pr(r)r²dr)/r² a potenciál bude integrál této síly j(r) = - _rň^ĄF(r) dr. Rozdělíme-li si prostor kolem tělesa M na vnějšek r>R a vnitřek r<R, bude gravitační potenciál tvořen dvěma složkami :

Gravitační potenciál pro rozprostřené těleso M je všude konečný (pokud je samozřejmě hustota hmoty konečná), ve středu r=0 má maximální hodnotu (i když gravitační síla je tam nulová); poněkud nižší je na povrchu r=R: j(R)= -G.M/R.
  Gravitační potenciál j hraje důležitou úlohu v obecné teorii relativity, jakožto fyziky gravitace a prostoročasu (počínaje §2.4 "Fyzikální zákony v zakřiveném prostoročase" a dalšími).
(Neplést prosím označení "fí"se souřadnicí "j" v polární souřadnicové soustavě!)
  Nejjednodušším pohybem tělesa v centrálním poli je radiální pohyb ve směru k tělesu M, nebo směrem opačným, "pryč" od gravitujícího tělesa. Výsledek tohoto pohybu bude záviset na radiální rychlosti v pohybu tělesa v daném místě o vzdálenosti r od středu centrálního tělesa M.
  Při pohybu ve směru ven od tělesa M se rychlost tělesa v v důsledku gravitační přitažlivosti s rostoucím r postupně snižuje. Podle zákona zachování dochází k přeměňování kinetické energie pohybu m.v²/2 na potenciální energii G.m.M/r v gravitačním poli. Pokud je m.v²/2 = G.m.M/r, tj. součet kinetické a potenciální energie částice je nulový, částice pokračuje v pohybu do nekonečna (kde je nulová potenciální energie) a tam se zastaví.
  Velmi důležitá je tedy tzv. úniková rychlost v₂, což je nejmenší radiální rychlost potřebná k tomu, aby těleso m ze vzdálenosti r navždy opustilo gravitační pole centrálního tělesa M a vzdálilo se do nekonečna :

Úniková rychlost nezávisí na hmotnosti m ani na složení unikajícího tělesa (univerzálnost gravitace), závisí jen na hmotnosti M gravitujícího tělesa a poloměru r, ze kterého unikající těleso startuje (pro těleso startující z povrchu Země činí úniková rychlost asi 11,2 km/s - tzv. druhá kosmická rychlost; proto jsme ji onačili v₂; úniková rychlost z "povrchu" Slunce je podstatně vyšší, cca 617 km/s). V §4.2 (část "Úplný gravitační kolaps. Černá díra.") uvidíme, že při gravitačním kolapsu masivních hvězd může úniková rychlost dosáhnout rychlosti světla - vzniká tak černá díra.
  Další důležitou "kosmickou" rychlostí v centrálním gravitačním poli je rychlost kruhového oběhu v₁, které musí těleso hmotnosti m dosáhnout v azimutálním směru, aby se vyrovnala odstředivá síla rotace F_rot= m.v²/r s přitažlivou silou F_g=G.m.M/r² gravitujícího tělesa M, aby těleso mohlo obíhat po kruhové dráze poloměru r :

Opět nezávisí na hmotnosti m ani na složení obíhajícího tělesa (univerzálnost gravitace), závisí jen na hmotnosti M gravitujícího tělesa a poloměru r, po kterém těleso obíhá (pro družici, obíhající kolem Země po nízké dráze blízko povrchu planety, činí oběhová rychlost asi 7,9 km/s - tzv. první kosmická rychlost; proto jsme ji onačili v₁).
Porovnáním vztahů (1.5) a (1.6) vidíme, že úniková rychlost v₂ je Ö2 (=1,414) - násobkem kruhové oběžné rychlosti v₁.
Pozn.:  V kosmonautice uváděné další kosmické rychlosti (3.- 6.) jsou dány specifickou situací Země a jejího oběhu kolem Slunce. Nemají tedy univerzální význam a v našem obecném pojednání o astrofyzice a gravitaci je nebudeme uvažovat.
  Složitější druhy pohybů budeme analyzovat níže v redukovaném pohybu dvou těles :

Gravitační pohyb dvou těles
V případě Newtonova gravitačního pole se ukazuje (bude ukázáno níže), že na úlohu pohybu jednoho testovacího tělesa se dá převést i pohyb dvou těles.
Mějme tedy dvě tělesa o hmotnostech m₁ a m₂, která na sebe působí gravitačně podle Newtonova zákona (a jinak jsou volná). Pohybové rovnice těchto těles potom budou

kde r₁,r₂ jsou polohové vektory těles m₁ a m₂ vůči danému referenčnímu bodu O (počátku vztažné soustavy), r₁₂ = r₂ - r₁ je polohový vektor tělesa m₂ vůči tělesu m₁ (tj. r₂₁=-r₁₂) a r=|r₁₂|=|r₂₁| je vzdálenost obou těles. Odečtením obou rovnic vznikne rovnice popisující relativní pohyb tělesa m₂ vůči tělesu m₁ :

kde r = r₁₂ je polohový vektor tělesa m₂ vzhledem k tělesu m₁.

Počátek souřadnic O je výhodné umístit do společného těžiště obou těles. Potom platí m₁.r₁ + m₂.r₂ = 0, takže polohové vektory jednotlivých částic budou s vektorem jejich vzájemné vzdálenosti r souviset vztahy

Zavedeme-li si veličinu

nazývanou redukovaná hmotnost, lze rovnici pohybu (1.10) psát ve tvaru

Tento vztah má tvar rovnice pohybu jedné částice s hmotností m pohybující se ve vnějším poli F(r), které je tvořeno tělesy m₁ a m₂ a je symetrické vzhledem k počátku souřadnic r=0. Stanovení pohybu dvou interagujících těles se tak redukuje na problém pohybu jediného myšleného tělesa m v centrálně symetrickém poli kolem pevného těžiště. Má-li tato úloha řešení r = r(t), lze snadno na základě vztahů (1.11a) stanovit jednotlivé trajektorie r₁ = r₁(t) a r₂ = r₂(t) původních těles m₁ a m₂.

Vynásobíme-li rovnice (1.12) skalárně vektorem v = r^., můžeme je po úpravě napsat ve tvaru

kde ¹/₂mv² je kinetická energie a U(r) je potenciální energie tělesa m, související se silou v poli vztahem

Odtud plyne, že celková energie E částice je konstanta nezávislá na čase:

což vyjadřuje zákon zachování energie při pohybu tělesa hmotnosti m v Newtonovském centrálním poli.

Trajektorie těles
Zavedeme-li v rovině dráhy (pohyb v centrálním poli je rovinný) polární souřadnice r,j, je možno rovnici pohybu (1.12) rozdělit na radiální a tečnou složku :

Řešení druhé rovnice

vyjadřuje zákon zachování momentu hybnosti při pohybu v centrálním poli a zároveň Keplerův zákon ploch (plošná rychlost (1/2) r²j ^. je časově konstantní), přičemž veličina L je moment hybnosti na jednotku hmotnosti částice ("specifický moment hybnosti") L = J/m .

Rovnici (1.14) je pak možno vzhledem k (1.13) napsat ve tvaru

Jednodušší je však vyjít za zákona zachování energie (1.13) přepsaného do polárních souřadnic

(1.16b)

což je rovnice popisující radiální složku pohybu. Ze zákona zachování hybnosti (1.15) přepsaného v tvaru dj = (J/mr²)dt a z rovnice (1.16b) dále plyne rovnice mezi r a j

(1.17)

vyjadřující tvar trajektorie.

Rovnice (1.16a), resp. (1.16b) ukazuje, že radiální část pohybu odpovídá jednorozměrnému pohybu v centrálním poli s "efektivním potenciálem"

složeným jednak z gravitační potenciální energie U(r), jednak z odstředivé potenciální energie J²/2mr². Hodnoty r při kterých je V_ef(r) = E , a tedy podle (1.16b) r^. = 0, odpovídají bodům obratu dráhy, ve kterých funkce vzdálenosti od středu r(t) přechází od růstu (vzdalování) k poklesu (přibližování) nebo naopak. Tyto body obratu určují rozmezí vzdáleností od centra, v nichž částice m se může pohybovat. Grafické znázornění průběhu efektivního potenciálu pro pohyb tělesa v Newtonově gravitačním poli centrálního tělesa je na obr.1.1a. Existuje-li jen jeden bod obratu r = r_min, jedná se o pohyb neomezený (infinitní) začínající i končící v nekonečnu. Jestliže existují dva body obratu r = r_min (r^.. < 0) a r = r_max (r^.. > 0) , pak celá trajektorie leží uvnitř mezikruží r_min < r < r_max - jedná se o pohyb omezený (finitní), v daném případě po elipse. Představa efektivního potenciálu je velmi užitečným nástrojem při studiu pohybu těles v centrálně (popř. axiálně) symetrických polích, jak uvidíme v §3.4,4.3 a §4.4 při analýze pohybu těles v gravitačních polích černých děr.

Tvar dráhy se získá řešením rovnice (1.17). Pro Newtonovo gravitační pole s U(r) = -Gm₁m₂/r (stejně jako pro každé centrální pole s potenciálem úměrným 1/r nebo 1/r²) lze integraci provést analyticky :

kde integrační konstantu lze anulovat vhodnou volbou počátku odečítání úhlu j (j =0 v perihéliu). Rovnici trajektorie pak lze přepsat ve tvaru

To je rovnice kuželosečky s ohniskem v počátku souřadnic O, tj. ve společném těžišti obou těles. p je parametr a e výstřednost orbity určující o jaký druh kuželosečky se jedná :

Obr.1.1. Pohyb těles pod vlivem Newtonova gravitačního pole. a) Průběh "efektivního potenciálu" Vef(r) řídícího radiální složku pohybu v centrálním Newtonově gravitačním poli. Průsečíky s přímkou energie E=const. určují body obratu, v nichž radiální složka pohybu mění směr. Přímky E=const. < 0 (pokud jsou přípustné, tj. E > min(Vef)) odpovídají finitnímu pohybu buď eliptickému (radiální složka kmitá mezi r=rA a r=rB) nebo kruhovému (neustále r=rC) pohybu. Pokud je E >= 0, pohyb je infinitní - začíná i končí v nekonečnu; bod D odpovídá nejbližšímu přiblížení tělesa k centru. b) Finitní pohyb (E < 0) dvou gravitačně interagujících těles m1 a m2 se děje po elipsách o stejné výstřednosti s ohniskem ve společném těžišti C. Problém dvou těles je ekvivalentní problému pohybu jednoho tělesa s redukovanou hmotností m v gravitačním poli centrálně symetrickém vůči společnému těžišti C. c) Analogicky infinitní pohyb (E > 0) probíhá po hyperbolách kolem společného těžiště C. d) Průřez některými ekvipotenciálními plochami soustavy dvou těles M1 a M2 obíhajících kolem společného těžiště. Tučnější čarou je vyznačena první společná ekvipotenciála obou těles - Rocheova mez. Dále jsou vyznačeny průsečíky ekvipotenciálních ploch - Lagrangeovy librační body L1, L2, ..., L5.

Protože polohové vektory r₁ a r₂ obou těles m₁ a m₂ jsou úměrné vektoru r, opisuje každé z nich rovněž kuželosečku s ohniskem ve společném těžišti. Jak je vidět ze vztahů (1.11), poměr r₁/r₂ je pro jakékoliv místo dráhy stejný, takže tělesa se pohybují vzhledem k těžišti po dráhách, které mají stejný tvar (obíhají např. po elipsách obecně sice různé velikosti, ale stejné excentricity) - viz obr.1.1b,c.

Nejdůležitějším případem je gravitačně vázaný pohyb po elipse, jejíž delší poloosa a a kratší poloosa b jsou dány vztahy

Je vidět, že delší poloosa nezávisí na momentu hybnosti, ale jen na energii E. Body obratu r_min = a(1-e) a r_max = a(1+e), tj, "perihélium" a "afélium" obíhání, jsou zároveň kořeny rovnice V_ef(r) = E. Dobu jednoho oběhu po eliptické dráze, tj. periodu T, lze snadno stanovit z (1.15) a (1.17) integrací podle času od t=0 do T a podle j od j=0 do 2p. Po úpravě dostáváme vztah

(1.18a)

který je přesným zněním třetího Keplerova zákona. Pokud m₁ >> m₂, jak tomu je např. ve sluneční soustavě, pak 3.Keplerův zákon má obvyklý tvar

(1.18b)

kde M = m₁ značí hmotnost centrálního tělesa (např. Slunce). Poměr čtverců oběžných dob a třetích mocnin velkých poloos je tedy pro všechny planety přibližně stejný, přesně však platí vztah (1.18a). Ve speciálním případě kruhového oběhu (e=0) lze konečně 3.Keplerův zákon (1.18b) vyjádřit ve formě

Pokud platí Newtonův zákon (1.1), vychází tedy pro finitní pohyb uzavřená trajektorie (ve vztažné soustavě pevně spojené s těžištěm). Aby trajektorie finitního pohybu byla uzavřená, musí být úhel Dj , o nějž se polohový vektor r pootočí za dobu mezi dvěma body obratu r_min a r_max, racionálním násobkem 2p, tj. Dj = 2p.m/n, kde m a n jsou celá čísla. Potom za n period radiální složky pohybu těleso vykoná m oběhů a dostane se do výchozí polohy. Při odchylce od zákona obrácených čtverců v Newtonově zákoně však již tato podmínka splněna není a "eliptická" trajektorie není uzavřená. Pokud odchylka není příliš velká, lze si takovou dráhu představit zase jako elipsu, která však již není pevná, ale celá se pomalu otáčí (vykonává precesní pohyb) kolem těžiště. Taková precese způsobuje, že perihélium a afélium je při každém oběhu v poněkud jiném místě. Eliptické dráhy planet kolem Slunce skutečně vykonávají zmíněný precesní pohyb, přičemž odchylka od zákona obrácených čtverců je způsobena tím, že se nejedná o přesně centrální pole (gravitační vliv ostatních planet, dále Slunce ani planety nejsou bodové). Obecná teorie relativity ukazuje, že Newtonův zákon není ani v centrálně symetrickém případě pro silná gravitační pole přesný; vznikající precesní pohyb a anomální posun perihélia byl skutečně prokázán u planety Merkur (viz §4.3).

Problém pohybu více těles
Ve skutečnosti se v kosmickém prostoru vyskytuje velké množství jednotlivých těles a útvarů o různých hmotnostech, které se gravitačně ovlivňují. Proto pohyb planet, měsíců a hvězd ve dvojhvězdných či vícenásobných soustavách se ve skutečnosti liší o shora odvozených jednoduchých zákonitostí pohybu dvou těles ve společném centrálním gravitačním poli. Studium pohybu více gravitačně se ovlivňujících těles se označuje jako problém n-těles. Tento problém je velice obtížný i pro případ pouhých 3 těles, obecně není analyticky řešitelný. Jen v některých speciálních případech je analyticky řešitelný. Již v r.1772 ukázal J.L.Lagrange, že pro každou soustavu dvou obíhajících těles lze nalézt 5 význačných bodů v souřadném systému otáčejícím se společně se spojnicí obou těles, tzv. libračních bodů. Umíslíme-li v některém z nich třetí těleso, bude při vhodných rychlostech pohyb všech tří těles probíhat opět po kuželosečkách.
Problém pohybu tří těles je dobře řešitelný v případě, že hmotnost třetího tělesa je zanedbatelně malá vzhledem ke dvěma základním tělesům, nerušeně obíhajícím kolem společného těžiště. Pak se vlastně obecný problém pohybu tří těles rozpadá na výše rozebíraný pohyb dvou těles a na oddělený problém pohybu jednoho "zkušebního" tělesa ve výsledném gravitačním a odstředivém poli dvou základních těles - viz následující pasáž :

Binární systém: ekvipotenciální plochy, Rocheova mez, librační body
Zatím jsme se zabývali vzájemným pohybem dvou těles pod vlivem jejich vlastního gravitačního pole. Nejdůležitějším takovým případem je tzv. binární systém - systém dvou gravitačně vázaných těles, obíhajících kolem společného těžiště. Příkladem jsou dvojhvězdné systémy často se vyskytující ve vesmíru.
  Binární systém těles M₁ a M₂ je schématicky znázorněn na obr.1.1d. Pro rozbor pohybu nějaké malé částice (jako jsou třebas atomy plynu v prostoru dvojhvězdného systému) v gravitačním a odstředivém poli binárního systému je užitečné stanovit tvar ploch, které jsou místy určitého gravitačního potenciálu - ekvipotenciální plochy. Pro systém dvou těles o hmotnostech M₁ a M₂, rotujících kolem společného těžiště úhlovou rychlostí w podle obr.1.1d, zvolíme souřadnicovou soustavu x,y,z rotující spolu s tělesy tak, že osa x je totožná se spojnicí M₁ a M₂ a počátek je v těžišti obou těles. Gravitační potenciál j pro libovolný bod P(x,y,z) pak bude

j(x,y,z)   =   - G M₁/r₁  -  G M₂/r₂  -  r_o² w²/2   ,          

kde r₁ a r₂ jsou vzdálenosti bodu P(x,y,z) od středů těles M₁ a M₂, r_o vzdálenost od těžiště obou těles. Gradient prvních dvou členů udává gravitační zrychlení, které v bodě P(x,y,z) způsobují obě hmoty M₁ a M₂, třetí člen vyjadřuje odstředivé zrychlení vyvolané rotací systému.
  Vybrané ekvipotenciální hladiny jsou v průřezu kolmém na rotační osu znázorněny na obr.1.1d. V blízkosti každého z těles mají ekvipotenciální plochy slabě deformovaný kulový tvar a jsou uzavřené kolem každého z nich odděleně. Ve větších vzdálenostech se deformace zvětšuje, až se tyto plochy od obou těles dotknou a v ještě větších vzdálenostech mají obě tělesa již společné ekvipotenciální plochy.
  Ekvipotenciální plochy, které se dotýkají v jednom bodě, ve vnitřním libračním bodě L₁, tvoří tzv. kritickou Rocheovu mez - je to první společná ekvipotenciální plocha obou těles. Uvnitř této meze se každá částice pohybuje pod převládajícím gravitačním vlivem jednoho nebo druhého tělesa. V libračním bodě L₁ může zkušební částice přecházet z gravitační sféry vlivu jednoho tělesa do oblasti gravitačního působení druhého tělesa.
  Zajímavý a astrofyzikálně důležitý jev nastává tehdy, když např. těleso M₁ plynného skupenství zaplňuje (či přesahuje) celý prostor vymezený Rocheovou mezí. V takovém případě gravitační působení druhého tělesa "přetahuje" či "vyssává" plyn z horních vrstev M₁, který kolem vnitřního libračního bodu L₁ přetéká na druhé těleso M₂. Tento jev se často vyskytuje u těsných dvojhvězd a může vést k dramatickým astrofyzikálním procesům, jak bude ukázáno v kapitole 4 o vývoji hvězd a černých dírách - §4.1, 4.2, 4.8, názorně je nakresleno na obr.4.26.
  Při oběhu pevných těles se Rocheova mez může projevit tehdy, když nějaké menší těleso (např. měsíc) se při svém oběhu kolem hmotnějšího tělesa (např. planety) přiblíží natolik, že librační bod L₁ se ocitne uvnitř tohoto menšího tělesa. V tomto případě mohou proti sobě směřující gradienty gravitačních sil (mající navíc časově proměnný charakter slapových sil) způsobit roztržení tohoto lehčího tělesa (u menších kompaktních těles tomu však může bránit pevnost materiálu tělesa).
  V prostoru (v gravitačním a odstředivém poli) kolem soustavy dvou těles rotujících kolem společného těžiště se nachází celkem 5 význačných bodů L₁, L₂, ..., L₅ - tzv. Lagrangeových libračních bodů (obr.1.1d). Librační body jsou místa, v nichž se přitažlivé a odstředivé síly působící na zkušební hmotnou částici vyrovnávají. Tělísko umístěné v těchto bodech v nich může setrvat v klidu vůči spojnici obou těles M₁ a M₂. Nejdůležitějším libračním bodem je již výše zmíněný vnitřní librační bod L₁, který se nachází na spojnici mezi tělesy. Vnější librační body L2 a L3 leží vně systému na přímce procházející oběma tělesy. Přesné polohy všech těchto 3 bodů záleží na konkrétních hmotnostech M₁ a M₂, jejich vzdálenosti a rychlosti rotace. Librační body L₄ a L₅ leží symetricky mimo spojnici a tvoří se středy těles M₁ a M₂ rovnoramenné trojúhelníky.

Podrobnou analýzou pohybu těles pod vlivem Newtonovy gravitační síly se zde zabývat nebudeme, je to záležitostí "nebeské" mechaniky (pro obecnější případ pohybu v gravitačním poli černé díry je však příslušná analýza provedena v §3.4,4.3 a v §4.4).

Astronomický význam Newtonova gravitačního zákona
Newtonův gravitační zákon se ukázal být velice úspěšný při objasňování veškerých pohybů planet, měsíců, komet a jiných těles ve sluneční soustavě. Skvělým triumfem skončilo použití Newtonova gravitačního zákona při přesné analýze některých anomálií pohybu planet od Keplerových zákonů, které svědčily zprvu zdánlivě proti gravitačnimu zákonu. V r.1840 astronomové zjistili, že poslední v té době známá planeta sluneční soustavy, Uran, se při svém pohybu poněkud odchyluje od vypočtené dráhy. Vyskytly se proto dočasně pochybnosti o platnosti Newtonova zákona v tak velkých vzdálenostech od Slunce. Další výpočty však ukázaly, že anomální chování Uranu je možno plně vysvětlit gravitačním působením ještě vzdálenější dosud neobjevené planety, která zlehka odklání pohyb planety Uran od ideální dráhy; byla stanovena i poloha hypotetické planety na obloze. Tato teoreticky předpovězená planeta byla zakrátko skutečně objevena a dostala název Neptun.
Atom a planetární soustava: podobnosti a rozdíly 
Po zjištění skutečnosti, že atom je systémem kladně nabitého jádra a záporně nabitých elektronů vázaných elektrickou silou, se inspirací pro vyjasnění struktury tohoto systému stala již dobře prozkoumaná Sluneční soustava, vázaná gravitační silou. Je zde zjevná analogie ve třech bodech:
¨ Elektrická i gravitační síla klesá s druhou mocninou vzdálenosti;
¨ Přitažlivá gravitační síla i přitažlivá elektrická síla (mezi náboji opačného znaménka) může být ve vakuu trvale kompenzována odstředivou silou při oběžném pohybu;
¨ Pro pohyb v centrálním gravitačním i elektrickém poli platí tytéž Keplerovy zákony.
   Na základě těchto analogií vznikl Ruthefordův planetární model atomu (viz např. "Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření", §1.1 "Atomy a atomová jádra", část "Stavba atomu"). Mezi planetární soustavou a atomem jsou však i zásadní rozdíly: 
¨ Rozdíl ve vlastnostech a síle elektrických a gravitačních sil. Zatímco oběžné dráhy planet jsou dlouhodobě stabilní *), při oběžném pohybu elektronu v atomu podle Maxwellovy elektrodynamiky by docházelo k intenzívnímu vyzařování elektromagnetických vln, rychle odnášejících kinetickou energii oběhu.
*) Podle obecné teorie relativity sice i při oběhu planet jsou vyzařovány gravitační vlny, avšak jejich energie je zcela zanedbatelná a neovlivňuje oběžné dráhy během mnoha miliónů let.
¨ Obrovský rozdíl ve velikosti a hmotnosti. Planetární systém (hmotnosti »10³⁰kg, průměr »10⁸km) lze plně popsat Newtonovou klasickou mechanikou, zatímco atom (průměr »10^-8cm) je typicky kvantovým systémem.
   Tyto rozdílnosti si vynutily Bohrovu kvantovou modifikaci planetárního modelu atomu. Přesto se ale při názorných kvalitativních úvahách planetární představa atomu užívá.
"Kosmografické mystérium" ? 
Vedle základních Keplerových zákonů se astronomové snažili vysvětlit i konkrétní vzdálenosti planet (poloměry oběhu) a dalších těles Sluneční soustavy. Již Kepler se v práci "Mysterium Cosmographicum" pokusil vysvětlit vzdálenosti planet od Slunce pomocí "Platónových mnohostěnů" opsaných sférám jednotlivých planet. V novější době, na základě inspirace Bohrovým modelem atomu (a Balmerovy série spektrálních čar atomu vodíku), se Titus, Bode a Mohorovič (a po nich další autoři) pokusili nalézt "kvantovou zákonitost" pro vzdálenosti (poloměry oběhu) planet ve Sluneční soustavě. Nyní víme, že tyto zákonitosti jsou jen zdánlivé - struktura Sluneční soustavy je, vedle zákonů gravitace a mechaniky, produktem složitých a často náhodných procesů jejího formování (včetně kolizí a různých rezonančních jevů) a s kvantovými zákonitostmi nemá nic společného. Žádný "fundamentální zákon" pro vzdálenosti či poloměry oběhu planet neexistuje, snahy o jeho nalezení vyúsťují v pouhou "numerologii". "Kosmografické mystérium" je jen fikce...

Regulární a chaotický pohyb v gravitačně vázaných systémech
Výše uvedená analýza pohybu v Newtonově gravitačním poli byla prováděna pro zjednodušené případy, které se daly převést na pohyb v centrálním poli. Vysoký stupeň symetrie vede na integrovatelnou úlohu s regulárním řešením, budou platit zákony zachování pohybových integrálů. Dvě gravitačně vázaná tělesa budou věčně obíhat kolem společného těžiště po stabilních eliptických drahách (zanedbáváme zde vyzařování gravitačních vln, v případě sluneční soustavy též např. tlak záření ze Slunce a pod.). Ve složitějších případech tří a více těles se budou oběžné dráhy vzájemně ovlivňovat gravitačními poruchami - symetrie se poruší. Výpočty a počítačové simulace ukazují, že u takových složitých systémů malá změna d_o počátečních podmínek způsobí, že původně blízké trajektorie se s časem t od sebe exponenciálně rozbíhají: d = d_o.e^-l.t. Systém se po uplynutí dostatečně dlouhého času nakonec stává chaotickým. Míru lineární stability či nestability - "chaotičnosti" takového systému lze charakterizovat tzv. Ljapunovovým časem T_L = 1/l, za který se systém odchýlí 2,7-krát (tímto faktorem se zvětší každá počáteční odchylka); parametr l = 1/T_L se někdy nazývá Ljapunovův exponent. Pro vnitřní planety Sluneční soustavy (mimo Merkur) se Ljapunovův čas odhaduje T_L » 5.10⁶let. Vysoká hodnota tohoto času vysvětluje neobyčejnou přesnost astronomických předpovědí pohybů planet v časových horizontech stovky a tisíce let. V časových intervalech stovky miliónů až miliard let by se však chaotičnost drah planet projevila již rozhodujícím způsobem; některá z planet by mohla dokonce vázaný systém sluneční soustavy opustit. Z obecného hlediska je chování chaotických systémů nastíněno v §3.3, část "Determinismus - náhoda - chaos ?".

Fyzikální význam Newtonova gravitačního zákona
Před Newtonovým zákonem se fyzika setkávala se silovým působením mezi tělesy pouze při jejich mechanickém styku - nárazu nebo tření. Newton svým gravitačním zákonem poprve zavedl do fyziky koncepci přímého působení těles na dálku ("actio in distans") v prázdném prostoru *). Jak Newton sám, tak i jeho následovníci nebyli však s touto představou spokojeni a snažili se nalézt "prostředí" přenášející gravitační silové účinky a tím i vysvětlit podstatu gravitace (§1.3). Pozdější vývoj fyziky ukázal, že představa přímého působení na dálku přes prázdný prostor je správná, žádné prostředí není třeba, avšak nemůže se jednat o působení okamžité (jak předpokládá Newtonův zákon), nýbrž vždy patřičně retardované (viz §2.1).
*) Rozvoj koncepce fyzikálního pole ukázal, že i když se dvě tělesa fyzicky nedotýkají, "dotýkají" se, ba vzájemně prolínají, jejich pole. A to způsobuje jejich vzájemné silové působení.
  Kromě svého bezprostředního praktického přínosu má Newtonův gravitační zákon též velký význam unitarizační. Gravitační zákon popisuje stejně pád kamene k zemi, pohyb planety kolem Slunce nebo třebas pohyb hvězdy v galaxii. Tím byla poprvé překonána propast, která (v chápání lidí) dříve existovala mezi Zemí a vesmírem. Ukázalo se, že ve sluneční soustavě, a zřejmě i v celém vesmíru, platí tytéž fyzikální zákony. Newtonova synthéza Keplerovy kinematiky planetárních pohybů se svojí a Galileiho dynamikou pohybu pozemských těles je tak v historii prvním případem procesu, který se později při rozvoji vědy vícekrát opakoval a který pokračuje dodnes: sjednocování dříve nezávislých fyzikálních oborů ukazující, že zákony přírody jsou jednotné a navzájem skloubené - viz Dodatek B "Unitární teorie pole a kvantová gravitace".
  Přes všechny úspěchy Newtonovy teorie však jedna anomálie zůstala v rámci Newtonova gravitačního zákona nevysvětlena. Jednalo se o zvláštnosti oběhu u planety nejbližší Slunci, Merkuru. Oběh této planety, jejíž dráha je značně excentrická (a proto se poměrně dobře stanovuje perihélium), se znatelně liší od Keplerových zákonů. Kdyby se jednalo o pohyb jediného tělesa v centrálně symetrickém Newtonově gravitačním poli, musel by Merkur obíhat po ideální stálé elipse se Sluncem v ohnisku. Pozorovaná rychlost precese perihélia činí asi 5600" za 100 let, přičemž ovšem rozhodující část (asi 5026") má kinematický původ - je způsobena pohybem vztažné soustavy. Zbývajících 575"/100 let je skutečný precesní pohyb perihélia ukazující, že eliptická dráha Merkura se zvolna otáčí. Téměř všechen tento posuv je možno vysvětlit rušivým vlivem ostatních planet, především Venuše. Po odečtení gravitačního vlivu všech známých planet od pozorované dráhy Merkura se však nedostane ideální elipsa, ale zůstává určitý velmi malý anomální posun perihélia asi 43"/100 let. Tento anomální posuv perihélia zůstal v rámci Newtonovy teorie nevysvětlen (snahy o jeho vysvětlení např. pomocí vlivu další neznámé planety mezi Merkurem a Sluncem nebyly úspěšné); teprve později jej vysvětlila zdokonalená gravitační teorie - obecná teorie relativity.

Distribuce kinetické a potenciální energie. Viriálový teorém.
Jestliže se soustava těles nebo částic pohybuje v silovém poli, nabývají určitých hodnot kinetické energie E_kin pohybu a potenciální energie E_pot v silovém poli; vnitřní energie U je daná součtem kinetické a potenciální energie systému. Je-li tímto silovým polem gravitační přitažlivost, kde vzájemně působící síla mezi jednotlivými částicemi je nepřímo úměrná čtverci jejich vzdálenosti F~r^–2, pak mezi střední hodnotou celkové kinetické energie <E_kin> a střední hodnotou potenciální energie <E_pot> platí vztah :
        2 <E_kin> + <E_pot>  =  0  , neboli   <U>  =  <E_kin> + <E_pot>  =  ¹/₂ <E_pot>  =  – <E_kin>   .
Tedy součet potenciální energie a dvojnásobku kinetické energie stacionární soustavy těles je roven nule. Neboli celková energie gravitačně vázaného systému (za stavu rovnováhy) je rovna polovině střední hodnoty potenciální energie systému (nebo záporně vzaté celkové střední kinetické energii). Tato důležitá zákonitost, kterou lze odvodit v rámci klasické mechaniky [165], se nazývá věta o viriálu či viriálový teorém (lat. vires,virium = síla,energie). Tento poznatek hraje důležitou úlohu v astrofyzice - vznik a evoluce hvězd (§4.1, pasáž "Vznik hvězd"), chování galaxií a kup galaxií (§5.6, pasáž "Skrytá-temná hmota v galaxiích a kupách galaxií").

Modifikace Newtonova gravitačního zákona
Drobné potíže v nebeské mechanice (ať již byly skutečné nebo jen zdánlivé) vyvolávaly různé pochybnosti o přesnosti zákona obrácených čtverců v Newtonově gravitačním zákoně (1.1). Proto byly v průběhu 18. a 19. století činěny pokusy o "zpřesnění" a modifikaci Newtonova gravitačního zákona zavedením různých malých oprav v zákonu obrácených čtverců, např.

kde a a b jsou malé konstanty (opravy) patřičně modifikující původní zákon obrácených čtverců tak, aby odpovídal pozorovaným anomáliím. Jiná modifikace gravitačního zákona má svůj původ ve známém Seeligerově "gravitačním kosmologickém paradoxu" vznikajícím při snaze použít Newtonův gravitační zákon v nekonečném eukleidovském prostoru (vesmíru) zaplněném hmotou s konstantní nenulovou hustotou. Gravitační zákon ve tvaru (1.1) v takovém případě dává nekonečnou hodnotu gravitačního potenciálu a nekonečné gravitační síly (uspokolivé řešení se získá pouze tehdy, kdyby hustota rozložení hmoty ve všech směrech od daného bodu klesala rychleji než r^-2). Aby se stal gravitační zákon slučitelný s představou nekonečného statického vesmíru homogenně zaplněného kosmickou hmotou, byla navržena modifikace Newtonova zákona pomocí dodatečného exponenciálního faktoru :

kde e je malá kladná konstanta. Tato modifikace může být dána do souvislosti s hypothézou o "pohlcování" gravitace prostředím ležícím mezi gravitujícími tělesy. Gravitační zákon uvažující pohlcování gravitace by skutečně měl tvar F = -G(m.M/r²). e ^{-m r r}, kde r je hustota prostředí mezi tělesy M a m (pro jednoduchost se předpokládá homogenní) a m je absorbční koeficient. Pokusy snažící se prokázat pohlcování (odstiňování) gravitace nevedly k přesvědčivým výsledkům. Pohlcování gravitace by kromě toho vedlo k porušení úměrnosti mezi setrvačnou a tíhovou hmotností, což by vedlo k nepřípustnému narušení 3.Keplerova zákona. Efekt pohlcování gravitace by dále na zemském povrchu způsoboval příslušné variace gravitačního zrychlení (s periodou 24 hodin), způsobované odstiňováním gravitačího působení Slunce a Měsíce Zemí. Při pokusech s kyvadly žádný podobný efekt pozorován nebyl, stejně jako vlastnosti mořského přílivu způsobeného gravitačním působením Měsíce a Slunce nevykazují žádné pozorovatelné anomálie, které by bylo možno připsat změnám slapového zrychlení pramenícím z pohlcování gravitace.
  Všechny podobné pokusy o modifikaci Newtonova zákona měly charakter formálních hypothéz ad hoc, nebyly podloženy hlubšími fyzikálními důvody a nakonec nedokázaly uspokojivě vysvětlit jedny pozorované anomálie bez vzniku jiných nežádoucích efektů a anomálií odporujících výsledkům pozorování.
  Potíže s posuvem perihélia Merkura však nebyly natolik závažné, aby mohly vážněji Newtonovu teorii ohrozit; některé hypothézy, např. že Slunce je mírně zploštělé a gravitační pole proto není přesně sféricky symetrické, by mohlo podobné efekty vysvětlit. Newtonova teorie má však některé závažnější koncepční nedostatky, které se projevily při konfrontaci s novějším poznáním zákonitostí přírody. Z hlediska hloubky poznání lze za nedostatek považovat to, že Newtonův gravitační zákon nijak nevysvětluje přesnou rovnost (úměrnost) tíhové a setrvačné hmotnosti. Tato rovnost je zde čistě empirická a má charakter náhody (podrobněji viz §2.1).
Rychlost gravitace 
Hlavní slabinou Newtonovy teorie gravitace je ale již zmíněný předpoklad o okamžitém a bezprostředním gravitačním působení "na dálku". V Newtonově gravitačním zákoně (1.1) totiž nijak nevystupuje čas; podle něj změna polohy jednoho tělesa se gravitačně projeví okamžitě na ostatních tělesech, byť sebevzdálenějších - gravitace má nekonečnou rychlost.
  Tento předpoklad se ukázal být neslučitelným s poznatky získanými při výzkumu jevů elektromagnetických a zobecněnými v Einsteinově speciální teorii relativity (viz §1.6 a 2.1). Vznikla tak potřeba modifikovat Newtonův zákon zavedením časového faktoru - retardace odrážející konečnou rychlost šíření gravitační interakce *). Tento postup skutečně vede k uspokojivé a důsledné teorií gravitace - Einsteinově obecné teorii relativity (kapitola 2) - která nejen že začlenila gravitaci do kontextu moderní fyziky, ale dokonce dospěla k ideji o určující roli gravitace pro všechny fyzikální zákony, ke ztotožnění gravitace s vlastnostmi prostoru a času. Kromě svého hlubokého koncepčního významu obecná teorie relativity zcela přirozeně vysvětluje rovnost setrvačné a tíhové hmotnosti, anomální posun perihélia Merkura, zakřivování světelných paprsků v gravitačním poli a další jevy a skutečnosti ležící mimo možnosti Newtonovy teorie. Podle obecné teorie relativity se rozruch v gravitačním poli šíří rychlostí světla c, ve formě gravitačních vln (§2.7 "Gravitační vlny").
*) Rychlostí gravitační interakce se budeme zabývat v §2.5 "Einsteinovy rovnice gravitačního pole" a hlavně v §2.7 "Gravitační vlny", kde v pasáži "Jak rychlá je gravitace?" budou diskutovány i obecné otázky rychlosti šíření změn v gravitačním poli a možnosti jejího experimentálního stanovení.

Galaktické modifikace Newtonova gravitačního zákona - MOND
Newtonův gravitační zákon, v koprodukci s ostatními 3 zákony mechaniky, je fenomenálně úspěšný při analýze všech mechanických dějů zde na Zemi, pohybů planet a ostatních těles ve sluneční soustavě, dynamiky formování a evoluce hvězd (s výjimkou závěrečných stádií), pohybů hvězd v binárních a vícenásobných systémech. Selhává pouze v krajních situacích silných gravitačních polí u gravitačně zhroucených kompaktních objektů v závěrečných fázích evoluce masívních hvězd (§4.2 "Konečné fáze hvězdné evoluce. Gravitační kolaps. Vznik černé díry.") a při analýze struktury a evoluce vesmíru v kosmologických měřítcích (§5.4 "Standardní kosmologický model. Velký třesk. Formování struktury vesmíru."). Zde musí být zobecněn Einsteinovým gravitačním zákonem v obecné teorii relativity (§2.5 "Einsteinovy rovnice gravitačního pole").
  Překvapivý nesoulad se však objevil při astronomickém měření rychlostí pohybu - oběhu - hvězd a plynu v okrajových částech galaxií a rychlostí pohybu galaxií v galaktických kupách: tyto rychlosti se jevily vyšší, než se očekávalo na základě Newtonovské mechaniky a gravitace (rychlosti pohybu a intenzity gravitačního pole jsou zde přitom relativně malé - nerelativistické). Viditelná hmota v galaxiích a jejich kupách je nedostatečná pro dynamiku pohybu při analýze pomocí Newtonových zákonů. Tento paradox se v astrofyzice vyřešil hypotézou, že dynamika galaxií je určována dodatečnou masívní neviditelnou - skrytou temnou hmotou (§5.6, část "Budoucí vývoj vesmíru. Skrytá-temná hmota.").
  Hypotetickou temnou hmotu se však zatím nedařilo explicitně objevit - objasnit z čeho je složena, detekovat její částice. Alternativní hypotézou, jak vysvětlit pozorovanou dynamiku pohybu v galaxiích, je vhodná modifikace Newtonovy teorie - tzv. MOND (Modified Newtonian Dynamics). Pozorovaná astronomická měření dynamiky pohybu hvězd v galaxiích a galaxií v kupách galaxií, které jsou obecně přičítány gravitačnímu účinku temné hmoty, se snaží vysvětlit pomocí upraveného tvaru gravitačního zákona. Takovou modifikaci MOND navrhl v r.1983 M.Milgrom, v níž Newtonův gravitační zákon F=G.M.m/r² modifikuje hypotézou, že vedle hmotnosti a vzdálenosti gravitační síla F_MOND závisí i na hodnotě zrychlení :
         F_MOND  =  G . M . m /[f(a/a_o) . r²]  ,
kde G je gravit.konstanta, M je gravitující hmotnost, m hmotnost testovacího tělesa, r je vzdálenost. Modifikace klasického Newtonova zákona je dána empirickou funkcí f závisející na hodnotě a zrychlení testovacího tělesa, v poměru k určité empirické konstantě a_o (udávající měřítkový přechod mezi Newtonovskou a MOND dynamikou). Funkce f se obvykle volí ve tvaru f(a/a_o) = 1/(1+a_o/a), nebo f(a/a_o) = 1/Ö[1+(a_o/a)²]. Aby takto modifikovaný gravitační zákon vysvětloval pozorované rychlostní křivky v galaxiích, byla pro konstantu a_o fitací stanovena hodnota a_o » 1,2×10^-10 m.s^-2.
Pozn.: V MOND se jedná o jinou (a jinak motivovanou) úpravu gravitačního zákona, než jsou "Modifikace Newtonova gravitačního zákona" zmíněné výše!
  MOND je tedy ad hoc empirický vzorec, který účelově upravuje Newtonovskou dynamiku pro velmi malá zrychlení tak, aby odpovídala měřeným rotačním křivkám spirálních galaxií. Na tyto snahy se názory odborníků různí - jak koncepce temné hmoty, tak MOND jsou hypotézy ad hoc. Milgromova MOND se svou akcelerační závislostí je umělou a ne příliš přesvědčivou úpravou teorie gravitace. Proč by měla gravitační síla záviset na zrychlení - a k tomu dokonce na velmi malém zrychlení? To nemá fyzikální logiku... Většina astrofyziků se přiklání spíše ke koncepci temné hmoty, v rámci které může být dynamika galaxií vysvětlena fyzikálně více opodstatněnými způsoby (ani není dokonce vyloučeno, že může být jen chybou modelu rozložení standardní baryonické hmoty v galaxiích a kupách galaxií..?..).

Entropická hypotéza původu gravitace (Verlinde)
Původně se jedná o další novější pokus o alternativní objasnění - vyloučení - temné hmoty. V této hypotéze (pocházející z r.2016) E.Verlinde prohlásil entropii za primární zcela základní veličinu, jejíž růst způsobuje vznik "entropické síly", která je podstatou gravitace. Tedy žádná gravitace neexistuje! - pozorujeme ji jen jako zdánlivou sílu, makroskopický projev růstu entropie při náhodném statistickém chování mikroskopických systémů částic-kvant polí. Tato entropická síla způsobuje pohyb těles a vykonává mechanickou práci. Tato značně bizarní a rozhodně velmi nepravděpodobná hypotéza je popsána v §B-5, pasáž "Entropická hypotéza podstaty gravitace".

Mechanistická hypotéza původu gravitace (LeSage)
je nejstarší snaha o jednoduché vysvětlení původu gravitace, již dávno opuštěná - viz následující §1.3 "LeSageova hypotéza".

Einsteinův gravitační zákon - obecná teorie relativity
Nejdokonalejší a daleko neúspěšnější zdokonalení a zobecnění Newtonova zákona je Einsteinovů gravitační zákon v rámci obecné teorii relativity - §2.5 "Einsteinovy rovnice gravitačního pole". Ten budeme používat v převážné většině výkladu této knihy.
  V závěrečných kapitolách B-1 až B-7 uvedeme i některé pokusy o unitární a kvantová zobecnění (např. "Smyčková teorie gravitace" či "Sjednocování fundamentálních interakcí. Supergravitace. Superstruny.").

1.1.Vývoj poznatků o přírodě, vesmíru, gravitaci		1.3.LeSageova hypotéza

Vojtěch Ullmann