Fyzika zakřiveného prostoročasu a gravitace

Kapitola 2
OBECNÁ TEORIE RELATIVTITY
- FYZIKA GRAVITACE
2.1. Zrychlení a gravitace z hlediska speciální teorie relativity
2.2. Univerzálnost - základní vlastnost a klíč k pochopení podstaty gravitace
2.3. Lokální princip ekvivalence a jeho důsledky
2.4. Fyzikální zákony v zakřiveném prostoročase
2.5. Einsteinovy rovnice gravitačního pole
2.6. Deviace a fokusace geodetik
2.7. Gravitační vlny
2.8. Specifické vlastnosti gravitační energie
2.9.Geometrodynamická soustava jednotek
2.10. Experimentální ověřování teorie relativity a gravitace

2.4. Fyzikální zákony v zakřiveném prostoročase
   Gravitaci je možno zkoumat v podstatě dvojím způsobem :
1. Buďto uvažovat "fyzikální" gravitační pole v rovinném prostoročase (v rámci STR);
a nebo :
2. Zavést zakřivený prostoročas bez gravitace.
   V prvním způsobu univerzálnost gravitační interakce pokládáme za náhodu, avšak její důsledné uplatnění v rovnicích gravitačního pole nakonec vede k nelineárním Einsteinovým rovnicím a k nutnosti zobecnění speciální teorie relativity, jak bylo zmíněno v §2.1. Druhý přístup, který od samého začátku vyvozuje patřičné důsledky z univerzálnosti gravitačního působení, ztotožnuje gravitační pole s geometrickými vlastnostmi prostoročasu. Gravitační síla je důsledkem "prohlubní" a pokřivení ve vesmírné struktuře prostoru a času.
   Realizace tohoto postupu tvoří vlastně náplň obecné teorie relativity. Podle klasické Newtonovy fyziky planety obíhají kolem Slunce po kruhové (eliptické) dráze proto, že jsou k němu bezprostředně přitahovány gravitační silou, která vyvolává dostředivé zrychlení, zakřivující dráhy, které by jinak byly přímé. Podle obecné teorie relativity však mezi Sluncem a planetami žádná gravitační síla nepůsobí - dráhy planet jsou zakřiveny proto, že samotný prostor a čas, v němž se pohybují, je přítomností masívního Slunce zdeformován (zakřiven) a automaticky nutí planety pohybovat se po příslušné "geodetické" dráze.
   Z hlediska obecné teorie relativity je pohyb testovací částice v gravitačním poli inerciální (částice je volná) a jeho případné zvláštnosti jsou způsobeny nikoliv "gravitační silou" působící na částici, ale metrikou prostoročasu; podobně je to se všemi fyzikálními jevy za přítomnosti gravitace.
   Gravitační pole nám tím "zmizelo", místo něho zde zůstal obecně zakřivený Riemannovský prostoročas. A problém nalezení fyzikálních zákonů řídících přírodní jevy v gravitačním poli se tak převádí na otázku stanovení fyzikálních zákonů v zakřiveném Riemannově prostoročase (bez gravitace).

Pomocí principu ekvivalence je možno zobecnit všechny fyzikální zákony speciální teorie relativity (kde je rovinný Minkowskiho prostoročas) na zakřivený prostoročas, tj. na přítomnost gravitačního pole. Přímočaře k tomu vede metoda popsaná v předchozím odstavci: rozdělit prostoročas na dostatečně malé oblasti v nichž lze zakřivení zanedbat, v těchto oblastech aplikovat fyzikální zákony rovinného prostoročasu (tj. STR formulovanou pro obecné vztažné soustavy) a nakonec tuto "mozaiku" složit ve výslednou globální situaci.

Tento obecný postup si můžeme ilustrovat na jednoduchých příkladech. Mějme testovací částici (hmotnosti m, která se zde však explicitně neuplatňuje) pohybující se v daném gravitačním poli, která se v časovém okamžiku t nachází ve světobodě P. Zavedeme-li v bodě P lokálně inerciální vztažnou soustavu S^~ s kartézskými prostoročasovými souřadnicemi x^~i souvisejícími s vlastním časem t testovací částice vztahem dt² = - (1/c²) h_ikdx^~i dx^~k, bude v této soustavě v okamžiku t v okolí testovací částice "stav beztíže" bez gravitačního pole a lokálně zde bude platit speciální teorie relativity. Rovnice pohybu testovací častice v této lokálně inerciální soustavě proto budou (rovnoměrný přímočarý pohyb)

Přejdeme-li stejně jako v §2.1 od soustavy S^~ k obecné neinerciální vztažné soustavě S s prostoročasovými souřadnicemi xⁱ souvisejícími s vlastním časem vztahem

ds²   =   - c²dt²   =   g_ik dxⁱ dx^k   ;   g_ik(x ^j)   =   h_lm.(¶x^~l/¶xⁱ).(¶x^~m/¶x^k)   ,      

pohybová rovnice (2.5a) se přetransformuje na tvar rovnice geodetiky

(2.5b)

kde G_kⁱ_l = (1/2) g^im (¶g_mk/¶x^l + ¶g_ml/¶x^k + ¶g_kl/¶x^m), jak bylo ukázáno v §2.1, rovnice (2.2a,b). Tuto proceduru můžeme udělat v každém bodě světočáry testovací částice a vždy dostaneme rovnici tvaru (2.5b). Rovnice (2.5b) je tedy obecná rovnice pohybu testovací částice v gravitačním poli (v zakřiveném prostoročase), která je invariantní (kovariantní) vzhledem k libovolné transformaci prostoročasových souřadnic. Zde nám tato rovnice geodetiky slouží jen jako příklad obecného postupu nalezení fyzikálních zákonů za přítomnosti gravitace; k jejímu fyzikálnímu významu se ještě vrátíme níže.
   Jako druhý příklad si vezmeme diferenciální zákon zachování energie a hybnosti, který má ve STR tvar T^ik_,k ş ¶T^ik/¶x^k = 0 (viz §1.6). Stejné znění bude mít i v každé lokálně inerciální vztažné soustavě S^~ pohybující se volně v gravitačním poli: ¶T^ik(x^~)/¶x^~k = 0 . Po transformaci do obecné (neinerciální) vztažné soustavy S tento zákon nabude kovariantní tvar

který představuje formulaci zákona zachování energie a hybnosti v zakřiveném prostoročase, tj. v gravitačním poli. Fyzikální aspekty tohoto zákona budou opět rozebrány níže (v §2.8).
   Z těchto dvou případů již můžeme vyvodit obecné zákonitosti. Podle principu ekvivalence jsou fyzikální zákony v gravitačním poli lokálně stejné jako fyzikální zákony v neinerciálních vztažných soustavách bez gravitace. Neinerciální vztažná soustava je pak po matematické stránce ekvivalentní křivočaré soustavě prostoročasových souřadnic. Lze tedy očekávat, že zobecnění fyzikálních zákonů na přítomnost gravitačního pole (tj. jejich formulace v zakřiveném prostoročase) bude spočívat prostě v tom, že tyto zákony napíšeme v obecných křivočarých souřadnicích. Rozdíl oproti rovinnému prostoročasu (situaci bez gravitace) je pak jen ten, že v plochém prostoročase se lze vhodnou transformací vždy vrátit k zákonům speciální teorie relativity v kartézských souřadnicích globální inerciální soustavy, zatímco pro zakřivený prostoročas to možné není, globální inerciální soustava zde neexistuje, existují pouze "křivočaré" souřadnice.

Paralelní přenos vektorů, konexe, kovariantní derivace
Fyzika studuje průběh přírodních dějů v různých místech prostoru a v různých časech - v různých bodech prostoročasu. Fyzikální děje popisuje příslušnými fyzikálními veličinami v těchto místech, což vede k určitým fyzikálním polím. V běžných situacích Eukleidova prostoru, či Minkowského prostoročasu, se nemusíme starat o odlišnosti geometrických vlastností prostoru v různých místech - ty jsou identické Eukleidovské (či pseudoeukleidovské). V obecné teorii relativity, která implikuje složitější geometrické vlastnosti zakřiveného prostoročasu, však vyvstávají netriviální vztahy mezi různými místy v prostoru a čase, což může ovlivňovat hodnoty fyzikálních polí. Tyto vztahy mezi veličinami v různých bodech prostoru (a prostoročasu) kvantifikuje geometricko-topologický pojem konexe (z lat. connectio = spojení, styk, svázání). Konexe analyzuje, co je potřeba s hodnotami složek vektorů a tenzorů popisujících fyzikální pole udělat - jakou korekci, aby vyjadřovaly objektivní hodnoty polí, nezávisle na lokálních geometrických podmínkách a použité souřadnicové soustavě.
   Fyzikální zákony jsou vyjadřovány diferenciálními rovnicemi mezi vektorovými a tenzorovými poli v prostoročase. Obyčejná parciální derivace vektorového pole Aⁱ podle souřadnic x^k

(2.7)

je obvykle mírou toho, jak se vektorové pole Aⁱ mění s místem (od bodu o souřadnicích x^k k "sousednímu" bodu x^k+Dx^k). Při použití křivočarých souřadnic pro objektivní porovnávání vektorů a tenzorů zadaných v různých bodech prostoročasu však nelze bezprostředně použít jejich složky počítané vzhledem k lokální bázi, protože ta může být v různých bodech různá.
   Složky vektorů a tenzorů (vektorových a tenzorových polí) se za použití křivočarých souřadnic mohou bod od bodu měnit ze dvou důvodů :
a) Jednak proto, že dané vektorové pole se skutečně (fyzikálně) mění s místem.
b) Dále též proto, že v každém místě je jiná vektorová báze, vzhledem k níž jsou složky vektorů a tenzorů stanovovány. 
Obyčejná parciální derivace (2.7) zde pak objektivně nevyjadřuje skutečné změny vektorových a tenzorových polí, protože např. i konstantní vektorové pole bude mít v křivočarých souřadnicích proměnné složky a tedy nenulové parciální derivace svých komponent. Kromě toho se Aⁱ_,k netransformuje jako tenzor, protože je rozdílem vektorů Aⁱ v různých bodech, kde mohou být různé transformační koeficienty.
   Na tyto okolnosti je třeba vzít patřičnou opravu - vzít v úvahu konexi: nejprve vektory přenést paralelně do jednoho společného bodu a pak teprve porovnávat jejich komponenty. Při paralelním přenosu vektoru se jeho složky v kartézské soustavě souřadnic nemění. Za použití křivočaré souřadnicové soustavy se však při paralelním přenosu vektoru Aⁱ z bodu o souřadnicích x^k do blízkého bodu x^k +Dx^k složky tohoto vektoru změní o

kde veličiny G_kⁱ_l (které závisejí na souřadnicové soustavě) jsou Christoffelovy koeficienty afinní konexe, s nimiž jsme se již setkali v §2.1, vztah (2.2b). Je jasné, že veličiny G_kⁱ_l nemohou tvořit tenzor, protože přechodem z kartézské soustavy, kdy jsou všechny rovny nule, ke křivočaré soustavě se stávají nenulovými (a naopak zase při nenulových G_kⁱ_l lze všechny složky anulovat přechodem ke kartézské soustavě v daném bodě). Z požadavku, aby se dAⁱ v zákonu paralelního přenosu (2.8) transformovaly jako vektor, plyne transformační vztah pro koeficienty afinní konexe:

(2.9)

Z toho je vidět, že koeficienty konexe se chovají jako tenzory pouze při lineárních transformacích souřadnic (jako jsou např. transformace mezi kartézskými systémy souřadnic).
   Výsledné složky vektoru Aⁱ(x^k) přeneseného paralelně do bodu x^k+Dx^k budou Aⁱ(x^k)_®xk_+Dxk = Aⁱ(x^k) + dAⁱ. Z požadavku, aby při paralelním přenosu zůstala zachována pravidla tenzorové algebry, plyne z (2.8) pro paralelní přenos obecného tenzoru T ⁱ_r^j_s^._.^._.^._.^. zákon

"Oprava" parciální derivace (2.7) na změnu vektorové báze způsobenou "křivočarostí" souřadnic pak spočívá v tom že při derivování se nejprve provede paralelní přenos vektoru Aⁱ(x^k+Dx^k) z bodu x^k+Dx^k zpět do bodu x^k a pak se teprve udělá příslušná limita :

(2.11)

Je tak dosaženo toho, že se bere rozdíl komponent vektorů počítaných v jediném bodě x^k a tedy vztahovaných ke stejné bázi. Tato tzv. kovariantní derivace (je to parciální derivace "," opravená na konexi - značí se středníkem ";") již vyjadřuje skutečné změny fyzikálních veličin (proměnnost vektorových a tenzorových polí) a má tenzorové transformační vlastnosti [214], [155]. Podle (2.7) a (2.11) je kovariantní derivace vektoru Aⁱ rovna

Nahradíme-li v (2.11) vektor Aⁱ obecným tenzorem T ⁱ_r^j_s^._.^._.^._.^., dostaneme na základě zákona paralelního přenosu (2.10) obecné pravidlo pro kovariantní derivování tenzorů (tenzorových polí):

Stejná je situace i při derivování vektorových a tenzorovýeh polí podél dané křivky (světočáry) C o parametrické rovnici x^k = x^k(l), tj. při derivování vektorových polí podle parametru l :

(2.14)

přičemž Aⁱ(l) ş Aⁱ(x^k(l)) jsou složky vektoru Aⁱ v bodě křivky C daném hodnotou parametru l. Aby tato derivace vyjadřovala skutečné změny vektorového pole podél křivky C, musíme ji rovněž opravit na konexi, čímž vznikne absolutní derivace vektoru Aⁱ podél křivky C (x^k=x^k(l)) :

(2.15)

Je-li vektorové pole Aⁱ definováno nejen na křivce C, ale i okolním prostoru, je vztah mezi absolutní a kovariantní derivací následující:

kde pro jednoduchost již není explicitně vyznačeno, že se počítá v bodě křivky C o parametru l = lo (lze provést v každém bodě). Analogicky pro absolutní derivace tenzorů vyšších řádů.
   Snadno lze odvodit důležitou rovnici

metrický tenzor je kovariantně konstantní, takže např. nezáleží na tom, zda zvedáme a spouštíme tenzorové indexy před provedením nebo po provedení kovariantní derivace.

Symetrie prostoročasu, Killingovy vektory a zákony zachování
V analytické mechanice a teorii pole se ukazuje, že symetrie lagrangiánu fyzikální soustavy vedou k zákonům zachování určitých veličin (integrálů pohybu, především energie a hybnosti). I za použití křivočarých souřadnic a v zakřiveném prostoročase může diferenciální geometrie v určitých případech vyjádřit prostoročasové symetrie, vedoucí k zákonům zachování.
Jedná se o situaci, kdy komponenty metriky g_ik v určité souřadnicové soustavě nezávisí na jedné ze souřadnic x^K, takže derivace ¶g_ik/¶x^K = 0. V takovém případě můžeme libovolnou křivku transformovat pomocí souřadnicového posunu všech jejích bodů o dx^K ve směru souřadnice x^K, přičemž délka nové křivky bude identická délce původní křivky. Tedy žádným geometrickým měřením není možno zjistit, že došlo k posunu ve směru souřadnice x^K - metrický prostor (zde prostoročas) jeví v tomto směru K izometrii. Pro popis této izometrie se v diferenciální geometrii zavádí tzv. Killingův vektor x_K ş ¶/¶x^K, vyjadřující složky nekonečně malé translace, zachovávající délku. Distribuce tohoto vektoru v každém bodě variety tvoří Killingovo vektorové pole infinitesimálních generátorů isometrií. Toto pole splňuje kovariantní Killingovu rovnici x_i;k + x_k;i = 0. Má-li prostoročas určité vlastnosti symetrie (např. sférickou, axiální nebo rovinnou symetrii) vyjádřené existencí příslušných Killingových vektorů x_k, potom lze setrojit vektor Pⁱ = T^ikx_k, pro který díky Killingovým rovnicím platí vztah Pⁱ_;i = T^ikx_k;i = (1/2)T^ik(x_k;i + x_i;k) = 0 vyjadřující zákon zachování Pⁱ, resp. K-té kovariantní hodnoty hybnosti, počítané v souřadnicové bázi. Podle toho zda je Killingův vektor x_k časového nebo prostorového typu to lze interpretovat jako zákon zachování energie nebo hybnosti.

Zakřivení prostoru. Tenzor křivosti.
V diferenciální geometrii hraje důležitou úlohu pojem křivost (curvature), který zobecňuje a formalizuje naši intuitivní zkušenost se zakřivenými předměty - čárami (křivkami) či plochami. Během vývoje diferenciální geometrie bylo zavedeno několik vyjádření křivosti (vnější - vnitřní křivost, je stručně diskutováno v §3.1, část "Konexe-Metrika").
   Složky koeficientů konexe G_kⁱ_l a metrického tenzoru g_ik závisejí na souřadnicové soustavě a na první pohled na nich nepoznáme, zda odpovídají rovinnému prostoru (kde jsou jen použity křivočaré souřadnice) nebo skutečně zakřivenému prostoru. Rozbor vlastností paralelního přenosu však umožňuje nalézt obecné kritérium plochosti prostoru a stanovit kvantitativní veličiny vyjadřující míru zakřivení prostoru (všechny úvahy platí pro obecný prostor s konexí a metrikou, tedy speciálně též pro prostoročas, obyčejný trojrozměrný prostor, nebo třebas dvojrozměrnou plochu).
   Prostor se nazývá Eukleidovský, jestliže v něm platí Eukleidovy axiómy a tedy v něm existuje kartézská soustava souřadnic: metrická forma v obecných souřadnicích ds² = g_ikdxⁱdx^k může být vhodnou transformací uvedena na tvar ds² = S_i(dxⁱ)² "Pythagorovy věty". Obecněji, pod nezakřiveným (rovinným, plochým) prostorem rozumíme prostor, v němž lze metrickou formu patřičnou transformací souřadnic převést na tvar ds² = _iSk_i.(dxⁱ)², kde jednotivé konstantní koeficienty k_i mohou nabývat hodnoty buď +1 nebo -1.

Kritériem nezakřivenosti prostoru je tedy možnost zavedení globální kartézské nebo pseudokartézské soustavy souřadnic. Máme-li v plochém prostoru zavedenu takovou kartézskou souřadnou soustavu, pak vektor přenesený paralelně z jednoho bodu do druhého nemění své komponenty. V křivočaré soustavě se komponenty vektoru při paralelním přenosu mění, avšak z existence kartézské souřadnicové soustavy plyne, že v rovinném prostoru paralelní přenos nezávisí na cestě, po níž se uskutečňuje - změny složek závisejí pouze na počátečním a koncovém bodě. Přeneseme-li tedy vektor podél libovolné uzavřené křivky, pak po návratu do výchozího bodu budou splývat složky přeneseného a původního vektoru. Afinní konexe mající tuto vlastnost se nazývá integrabilní. Lze snadno ukázat, že (při symetrické konexi) integrabilnost afinní konexe je nutnou a postačující podmínkou k tomu, aby prostor byl plochý (nezakřivený).

Obr.2.6. Paralelní přenos v zakřiveném prostoru.
a) V zakřiveném prostoru (např. na kulové ploše) výsledek paralelního přenosu vektoru A z daného bodu A do bodu B závisí na cestě, po níž se přenos uskutečňuje.
b) Tato neintegrabilita afinní konexe v zakřiveném prostoru způsobuje, že vektor přenesený paralelně podél uzavřené křivky C se po návratu zpět do výchozího bodu bude lišit od původního vektoru.

V obecném případě však G_kⁱ_l jsou funkcemi souřadnic a paralelní přenos podle rovnice (2.8) bude záviset na dráze (obr.2.6) - konexe již nebude integrabilní:

kde Aⁱ_(C1) jsou složky vektoru Aⁱ přeneseného paralelně z bodu A do bodu B podél křivky C1, Aⁱ_(C2) je výsledek přenosu mezi těmiže body podél křivky C2. Provedeme-li v tomto případě s daným vektorem paralelní přenos podél uzavřené křivky, vrátíme se do výchozího bodu obecně s jiným vektorem (obr.2.6b). Velikost tohoto vektoru bude stejná (neměnnost velikosti vektoru při paralelním přenosu je základním požadavkem vztahu konexe a metriky v Riemannově prostoru), změní se jeho směr. Odchylka tohoto přeneseného vektoru od původního vektoru (vztažená na jednotku plochy obklopené uzavřenou křivkou podél níž se přenos prováděl), je pak mírou neintegrability konexe a charakterizuje rozdílnost geometrických vlastností od Eukleidových - je tedy mírou křivosti prostoru.
Jiná míra křivosti prostoru vychází z vlasností kružnice, popř. koule. Zkonstruujeme geometrické místo bodů, které mají stejnou vzdálenost r (měřenou po nejkratší možné cestě) od daného pevného bodu O. V dvojrozměrném případě to bude "kružnice" a případná rozdílnost její délky od 2pr je mírou zakřivení prostoru (plochy); pokud je délka vzniklé křivky menší než 2pr, je křivost kladná (např. kulová plocha), v případě že je tato délka větší než 2pr, je křivost záporná ("sedlové" plochy). Analogicky v trojrozměrném prostoru geometrické místo bodů majících vzdálenost r od daného středu tvoří uzavřenou plochu, jejíž obsah srovnáváme s obsahem Eukleidovské koule 4pr²; podobně pro vyšší dimenze. Kritérium založené na paralelním přenosu je však obecnější, protože nepotřebuje metriku, stačí zde konexe.

Změna vektoru při paralelním přenosu vektoru A podél uzavřené křivky C je

Tento křivkový integrál obecně nelze převést na plošný integrál pomocí Stokesovy věty, protože hodnoty složek vektoru Aⁱ v bodech příslušné plochy (uvnitř křivky C) nelze jednoznačně určit - závisejí na cestě, po které při rozšiřování vektorového pole s vektorem Aⁱ k danému bodu přicházíme. Jestliže však křivka C je dostatečně malá (infinitezimální), v limitním přechodu se tato nejednoznačnost neuplatní (příslušná chyba je až druhého řádu) a Stokesova věta dává (proměnnost vektorového pole Aⁱ s místem je zde jen díky konexi, takže ¶Aⁱ/¶x^l = -G_kⁱ_lA^k)

(2.18)

kde DS^lm je tenzor plochy ohraničené nekonečně malou uzavřenou křivkou C. Podrobnější odvození je možno nalézt např. v [214],[166]. Tenzor Rⁱ_klm, který kvantifikuje rozdílnost geometrických vlastností daného prostoru od rovinného (neintegrabilitu ainní konexe), se nazývá Riemannův-Christoffelův tenzor křivosti.

V plochém prostoru je tenzor křivosti všude roven nule, protože lze zvolit kartézskou soustavu souřadnic, v níž všude jsou všechny G_kⁱ_l nulové, takže i Rⁱ_klm = 0 ; díky tenzorovému charakteru Rⁱ_klm to pak platí i v každé jiné (třebas křivočaré) souřadné soustavě. Obráceně, jestliže je všude Rⁱ_klm = 0, je paralelní přenos jednoznačný a nezávislý na cestě, takže lokálně kartézskou souřadnou soustavu zavedenou v jednom bodě lze paralelně přenést a rozšířit do všech ostatních bodů, tj. zkonstruovat globální kartézskou soustavu Ţ prostor je rovinný. Rovnice

je tedy jednoznačným kritériem toho, zda prostor popsaný (při použití libovolné souřadné soustavy) danými poli G_kⁱ_l, popř. g_ik, je plochý nebo zakřivený.

Uvedeme si některé vlastnosti tenzoru křivosti. Z definice tenzoru křivosti obsažené ve vztahu (2.18) je vidět, že tenzor Rⁱ_klm je antisymetrický v indexech l,m :

Navíc je tenzor Rⁱ_klm cyklicky symetrický ve svých třech kovariantních indexech, tj.

Další algebraické vztahy (identity) platí pro kovariantní tenzor křivosti R_iklm = g_ij R^j_klm, získaný snížením indexu i :

podle těchto vztahů jsou ty komponenty tenzoru křivosti, které mají i=k nebo l=m, rovny nule.
Tenzor 4.řádu v N-rozměrném prostoru má obecně celkem N⁴ složek (ve čtyřrozměrném prostoročase je to 256 složek); vzhledem k algebraickým identitám (2.20)-(2.22) však počet algebraicky nezávislých složek tenzoru křivosti činí pouze N²(N²-1)/12 (tj. pouze 20 nezávislých složek ve čtyřrozměrném prostoročase).

Zúžením tenzoru Rⁱ_klm v indexech i a l (což je podle identit (2.20) a (2.22) jediné zúžení dávající nenulový výsledek) dostaneme tzv. Ricciho tenzor křivosti R_ik

který je symetrický. Dalším zúžením dostaneme invariant, který se nazývá skalární křivost R daného prostoru :

Kromě algebraických symetrií splňuje tenzor křivosti též důležité diferenciální vztahy, tzv. Bianchiho identity mezi kovariantními derivacemi tenzoru křivosti :

Zúžením této rovnice v indexech i a l a vynásobením g^jk dostaneme, vzhledem ke kovariantní konstantnosti metrického tenzoru g^jk_;n = 0, vztah (R^j_l - d^j_l R/2)_;j = 0 , což lze zapsat ve tvaru

Tato zúžená Bianchiho identita, podle níž kovariantní čtyřdivergence Einsteinova tenzoru křivosti G_ik se identicky rovná nule, hraje klíčovou roli v rovnicích gravitačního pole, jak uvidíme v §2.5.

Tenzor křivosti figuruje ve všech jevech, při nichž se uplatňuje zakřivení prostoru (prostoročasu). Uvedeme si dvě takové situace. V plochém prostoru jsou druhé parciální derivace vektorů podle souřadnic komutativní (Aⁱ_,k,l = Aⁱ_,l,k), a stejně tak i derivace kovariantní: Aⁱ_;k;l = Aⁱ_;l;k. V obecném případě však podle (2.13) platí

(2.26)

takže kovariantní derivace jsou obecně nekomutativní a mírou této nekomutativnosti je tenzor křivosti Rⁱ_klm.

V rovinném prostoru dvě přímky procházející rovnoběžně dvěma body zůstávají rovnoběžné neustále. V zakřiveném prostoru však dvě geodetiky (hrající zde roli přímek), původně rovnoběžné v jednom místě, se postupně od sebe odchylují vlivem křivosti prostoru. V rovnici této deviace geodetik (2.57) rovněž vystupuje tenzor křivosti, jak uvidíme v §2.6 "Deviace a fokusace geodetik".

Zobecnění fyzikálních zákonů na zakřivený prostoročas
Protože skutečné gravitační pole je vlastně zakřiveným prostoročasem, je zřejmá mimořádná důležitost tenzoru křivosti prostoročasu ve fyzice gravitace, kde tento tenzor křivosti vyjadřuje nehomogenitu gravitačního pole. Již z Newtonovy teorie gravitace víme, že nehomogenita gravitačního pole úzce souvisí se zdroji budícími gravitační pole. V §2.5 uvidíme, že v Einsteinově teorii gravitace rovnice generace gravitačního pole dávají do souvislosti zakřivení prostoročasu s rozložením budících hmot, tj. popisují, jak hmota ve svém okolí zakřivuje prostoročas.

Právě takové "opravy" na konexi jako jsou v (2.11) a v (2.15) jsme vlastně dělali v obou na začátku uvedených příkladech zobecňování fyzikálních zákonů na zakřivený prostoročas. Rovnice pohybu částice (2.5a) d²xⁱ(l)/dl² ş duⁱ(l)/dl = 0 říká, že podél světočáry volné testovací částice je čtyřrychlost uⁱ ş dxⁱ/dl konstantní. V obecných souřadnicích musí být derivace duⁱ/dl nahrazena derivací absolutní (2.15), čímž dostaneme rovnici (2.5b) :

A v rovnici zákona zachování energie a hybnosti T^ik_,k = 0 musí být při přepisu do obecných (křivočarých) souřadnic normální parciální čtyřdivergence nahrazena kovariantní čtyřdivergencí, což vede k rovnici (2.6), kterou podle označení v (2.11) můžeme napsat ve tvaru

Můžeme tedy vyslovit obecné pravidlo vztahu mezi zákony negravitační a gravitační fyziky :

Kromě toho Minkowského tenzor h_ik přechází v obecný metrický tenzor g_ik. Teorém (2.3) se někdy zkráceně formuluje jako pravidlo "čárky zaměnit za středníky".

Vraťme se nyní k fyzikálnímu významu rovnice geodetiky (2.5b). V limitním případě malých rychlostí a slabých polí (ostatně pole musí být slabé, aby v něm částice nezískala velkou rychlost) musejí obecné rovnice pohybu částice v gravitačním poli přejít v příslušné nerelativistické rovnice (1.29b). Pro objasnění fyzikálního významu geometrických veličin prostoročasu porovnáme tedy rovnici (2.5b) s Newtonovou pohybovou rovnicí za situace, kdy gravitační pole je statické a dostatečně slabé. V tomto případě tenzor g_ik nezávisí na časové souřadnici x°, g_oa= 1 (a = 1,2,3) a existuje vztažná soustava, v níž metrický tenzor může být rozložen na

g _ik(x)   =   h _ik   +   h _ik(x)   ,     | h _ik | « 1   ,      

kde h_ik jsou malé odchylky od Minkowského metriky. Taková soustava je v okolí testovací částice přibližně inerciální s kartézskými souřadnicemi. Za předpokladu, že pohyb částice v této vztažné soustavě nebude příliš rychlý (|v| « c, kde v ş v^a = dx^a/dt je rychlost částice), bude vlastní čas t přibližně roven souřadnicovému času t = x°/c, takže v rovnici geodetiky můžeme položit dx^b/dt » dx^b/dt = v^b, dx°/dt » dx°/dt = c . Omezíme-li se na členy prvního řádu v h_ik, budou jedinými nenulovými složkami afinní konexe G^b_oo = G°_bo = -(1/2)¶h_oo/¶x^b (b =1,2,3). V této aproximaci má prostorová část rovnice (2.5b) tvar

d²x^a/dt²  -  (c²/2) ¶h_oo/¶x^a   =   0   .      

Srovnáme-li to s Newtonovou rovnicí pohybu v gravitačním poli (2.4) přepsanou v tvaru

d²x^a/dt²  +  ¶ j /¶x^a   =   0   ,      

vidíme, že Newtonova rovnice pohybu je speciálním případem obecné pohybové rovnice geodetiky (2.5b), přičemž souvislost mezi obvyklým gravitačním potenciálem j a metrickým tenzorem je h_oo = - 2j/c², neboli

Opět je z toho patrné, že složky metrického tenzoru mají fyzikální význam potenciálů gravitačniho pole; Christoffelovy koeficienty afinní konexe pak vyjadřují působící gravitační síly.

Jestliže "testovací částice" má nulovou klidovou hmotnost a pohybuje se rychlostí světla (např. foton), bude její pohyb v lokálně inerciální soustavě dán rovnicemi d²xⁱ/dl² = 0, ds² = c²dt² = h_ikdxⁱdx^k= 0, kde l je afinní parametr nahrazující vlastní čas t (jež zde není použitelný protože je roven nule). V obecném zakřiveném prostoročasu (v gravitačním poli) má rovnice šíření světla tvar

d²xⁱ /dl² + G_kⁱ_l (dxⁱ/dl) (dx^k/dl)   =   0   ,   ds²   =   g_ik dxⁱ dx^k   ,      

kde druhá rovnice se dá napsat též ve tvaru (ds/dl)² = g_ik(dxⁱ/dl)(dx^k/dl) = 0 . Světočáry po kterých se volně pohybují fotony se nazývají světelné, izotropní nebo nulové geodetiky (podél nich je vlastní čas dt a čtyřrozměrná vzdálenost ds rovna nule).

Gravitační elektrodynamika a optika
S použitím pravidla obsaženého v teorému 2.3 lze snadno zobecnit speciálně relativistické rovnice elektrodynamiky (odvozené na konci §1.6) tak, aby platily v zakřiveném prostoročase, tj. v gravitačním poli. Tenzor intenzity elektromagnetického pole F_ik = ¶A^k/¶xⁱ - ¶Aⁱ/¶x^k zde bude definován jako F_ik = A_k;i - A_i;k , avšak snadno lze ukázat, že A_k;i - A_i;k = A_k,i - A_i,k. Vztah mezi čtyřpotenciálem A_i a tenzorem elektromagnetického pole F_ik se tedy nemění. Podobně i první "dvojice" Maxwellových rovnic si zachovává svůj (čtyřrozměrný) tvar :

Nahradíme-li v Lorentzově rovnici pohybu nabité testovací částice (hmotnosti m a náboje q) v elektromagetickém poli mc.(duⁱ/dt) = (q/c) F^ik.u_k derivaci duⁱ/dt absolutní derivací, dostaneme rovnici pohybu nabité částice v elektromagnetickém a gravitačním poli ve tvaru

Rovnice kontinuity jⁱ_,i = 0 bude mít v zakřiveném prostoročase obecný tvar

a druhá část Maxwellových rovnic F^ik_,k = - (4p/c).jⁱ se v gravitačním poli zobecní na

Díky antisymatrii tenzoru F^ik opět z této rovnice plyne rovnice kontinuity (2.31). Čtyřvektor proudové hustoty je ve STR definován jako jⁱ = r.dxⁱ/dt, kde r = dQ/dV je hustota rozložení náboje v prostoru. Po transformaci do křivočarých souřadnic element objemu dV přechází v Ö(g) dV (kde g je determinant prostorového metrického tenzoru g_ab a dV = dx¹dx²dx³) a čtyřproud v obecných rovnicích (2.31) a (2.32) je dán výrazem

Pro ujasnění vlivu gravitace na elektromagnetické jevy je zajímavé rozepsat rovnice (2.29) a (2.32) v trojrozměrném tvaru [166]. Zavedeme-li si veličiny

E_a ş F_oa   ,   D^a ş Ö(g_oo) F°^a   ,   B_ab ş F_ab   ,   H^ab ş Ö(g_oo) F^ab   ,      

budou v nich rovnice (2.29) a (2.32) mít po separaci prostorových a časových složek tvar

(2.29') (2.32')

Jestliže je gravitační pole statické, dají se tyto rovnice přepsat v běžné (trojrozměrné) vektorové symbolice :

(2.29'') (2.32'')

kde vektor H má složky H_a = -(1/2)Ö(g) e_abgH^bg a vektor B má složky B^a = -(1/2Ög)e^abgB_bg. Pohlédneme-li na rovnice (2.29") a (2.32") z hlediska negravitační fyziky, mají tyto rovnice tvar Maxwellových rovnic elektromagnetického pole ne ve vakuu, ale v látkovém prostředí s dielektrickou kontstantou a permeabilitou

Vidíme tak, že gravitační pole (zakřivený prostoročas) má na elektromagnetické pole podobný vliv jako elektricky a magneticky "měkké" látkové - optické prostředí. Elektromagnetické vlnění, které je vlnovým řešením Maxwellových rovnic, se tedy bude v nehomogenním gravitačním poli šířit nerovnoměrně a křivočaře, jak je ostatně vidět i z rovnice nulové geodetiky (2.28) popisující pohyb fotonů. Díky univerzálnosti gravitační interakce zde neexistuje žádná disperze; na rozdíl od běžné optiky látkových prostředí se však v gravitačním poli projevuje frekvenční posuv (viz níže "Gravitační spektrální posun").
  V silných nehomogenních gravitačních polích můžeme proto očekávat zajímavé optické jevy - jakási gravitační "fata morgana" - podobně jako v opticky nehomogenních látkových prostředích. O šíření světla v gravitačním poli černé díry a o efektu "gravitační čočky" se zmíníme v §4.3, část "Gravitační čočky. Optika černých děr".

Prostor a čas v gravitačním poli
Gravitační dilatace času
Zbývá ještě vyjasnit vztah mezi skutečnými časovými intervaly a prostorovými vzdálenostmi událostí v prostoročase a jejich souřadnicemi xⁱ v obecné vztažné soustavě S. Vyjdeme od výrazu pro invariantní prostoročasový interval

ds²   =   - c² dt²   =   g_ik dxⁱ dx^k       

a zavedeme inerciální vztažnou soustavu S^~ takovou, že je momentálně v klidu vůči vztažné soustavě S (vůči jejím hodinám a měřícím tyčím) v daném bodě. Potom jak délky dostatečně krátkých (infinitezimálních) měřících tyčí, tak časové intervaly budou stejné v soustavě S i S^~. V této lokálně inerciální soustavě S^~ se souřadnicemi x^~i je

ds²   =   - c² dt²   =   h_ik dx^~i dx^~k  =  -(dx^~°)² + dx^~a dx^~_a   ,      

přičemž souvislost mezi h_ik a metrickým tenzorem g_ik je dána transformačním vztahem

Inerciální soustava S^~ je lokálně v klidu vůči obecné soustavé S takže ¶x^~a/¶x° = 0 a transformační vztah dx^~i = (¶x^~i/¶x^k)dx^k má separovaný tvar dx^~° = (¶x^~°/¶x^k)dx^k, dx^~a = (¶x^~a/¶x^b)dx^b. Vztah mezi časovou souřadnicí x° a vlastním časem t určíme snadno tak, že vezmeme dvě události, které krátce po sobě nastaly z hlediska referenční soustavy S v tomtéž místě. Interval mezi těmito událostmi pak je ds² = - c²dt² = g_ikdxⁱdx^k, a protože dx^a= 0 , je ds² = - c²dt² = g_oodx^o2, t.j.

Pro slabé gravitační pole s použitím vztahu (2.27) dostaneme

Tedy vlastní čas vzhledem k souřadnicovému času (který odpovídá nulovému gravitačnímu potenciálu) teče tím pomaleji, čím vyšší je hodnota gravitačního potenciálu j v daném místě (gravitační potenciál je záporný). Hodiny umístěné v gravitačním poli se zpožďují vůči stejným hodinám umístěným mimo pole, resp. v místě se slabším polem.

Gravitační dilatace času. Hodiny umístěné v gravitačním poli se zpožďují vůči stejným hodinám umístěným mimo pole (resp. v místě se slabším polem).

V blízkosti hmotných těles (ve srovnání se vzdálenými místy) plyne čas pomaleji *), dochází ke "zpomalování toku času gravitačním polem" - ke gravitační dilataci času. Důsledky tohoto jevu (jako je gravitační rudý posuv zmíněný níže) mají klíčový význam při konečných stádiích gravitačního kolapsu a utváření černých děr (viz §4.2,4.3).
*) Kdybychom se postavili na antropocentrické stanovisko, mohli bychom s trochou nadsázky říci, že "tělesa padají v gravitačním poli proto, že se snaží dosáhnout místa, kde budou nejpomaleji stárnout"..?..
  Tato gravitační dilatace času souvisí s neinerciálními urychlenými vztažnými soustavami, podle principu ekvivalence. Hodnota gravitační dilatace času v daném místě v gravitačním poli je stejná, jako STR dilatace času (1.72) způsobená rychlostí, která se rovná únikové rychlosti z tohoto místa.
Dilatace času uvnitř gravitujících těles 
Běžná gravitující tělesa - planety, hvězdy - mají svou hmotu rozprostřenou v prostoru přibližně kulového tvaru poloměru R s hustotou r(r), kde r je vzdálenost od středu r=0. Pro sféricky symetrické rozdělení je Newtonovská gravitační síla F (intenzita pole - síla působící na jednotku hmotnosti testovací částice) dána zákonem obrácených čtverců (1.1). Vně tělesa (r>R) je jednoduše F(r) = G.M/r², uvnitř (r<R) je F(r) = G.(₀ň^r4pr(r)r²dr)/r². Uvnitř tělesa tedy je v hloubce gravitační síla menší - je dána jen gravitující hmotou obsaženou mezi daným místem r a středem r=0. A ve středu r=0 je gravitační síla nulová - gravitace vnějích vrstev, působící v opačných směrech, se vyruší (bylo diskutováno i v §1.2, pasáž "Gravitující tělesa"). Neplyne z toho však, že by se zde "vyrušila" a vymizela i gravitační dilace času! Gravitační dilatace času totiž nezávisí na gravitační síle, ale na gravitačním potenciálu (2.36'), který je j(r) = - _rň^Ą F(r) dr.  Ačkoli ve středu gravitujícího tělesa není žádná síla, gravitační potenciál tam má naopak maximální velikost - a tedy i gravitační dilatace času tam bude relativně největší! Můžeme si to představit tak, že ze středu k dosažení povrchu je potřeba též určitá rychlost, která se pak sčítá s únikovou rychlostí z povrchu.
  Z hlediska OTR je problematika prostoročasové geometrie vně a uvnitř gravitujících těles analyzována tzv.  vnitřním Schwarzschildovým řešením (3.13b).

Prostorová metrika
Element dl prostorové vzdálenosti nelze obecně stanovit jako interval mezi dvěma nekonečně blízkými událostmi nastalými v tomtéž časovém okamžiku tak, že se ve výrazu pro ds² položí dx° = 0, protože vztah mezi vlastním časem t a časovou souřadnicí x° je v různých místech různý. Pro získání vztahu mezi skutečnými délkami a prostorovými souřadnicemi x^a (a = 1,2,3) musíme proto výraz pro délku elementární měřící tyče v klidové lokálně inerciální soustavě S^~ dl^~2 = _a=1S³(dx^~a)² = dx^~adx^~_a přetransformovat do obecné neinercialní soustavy S. Rozepsáním transformačního vztahu (2.35) pro metrický tenzor dostaneme

Protože ¶x^~a/¶x° = 0, je ¶x^~°/¶x^a = - g_oa/Ö-g_oo; pro vlastní délku nekonečně krátké měřící tyče pak dostáváme vztah *)

(2.37)

a pro interval vlastního času dostáváme dt² = - (1/c²) g_oodx°² ve shodě s (2.36). Výraz v závorce (2.37) udává tedy metriku trojrozměrného prostoru za přítomnosti gravitace (resp. v neinerciální vztažné soustavě), tj. trojrozměrnou metriku g_ab "indukovanou" metrikou prostoročasu g_ik.
*) Jiné odvození vztahu (2.37) pomocí analýzy šíření světelných signálů ("radiolokační" vzdálenost) je uvedeno v [162],[135],[166].

Oddělením prostorových členů v identitě g_ikg^ik = 0 lze odvodit vztahy mezi metrikou prostoru a prostoročasu :

kde g je determinant sestavený z g_ik a g determinant ze složek g^ab.
  Aby vztažná soustava odpovídající metrickému tenzoru g_ik mohla být fyzikálně realizovatelná (pomocí reálných těles), musí být trojrozměrná metrická forma (2.37) pozitivně definitní a dále podle (2.36) musí být g_oo< 0. Tyto podmínky, vyjádřené pomocí determinantů a subdeterminantů metrického tenzoru, se nazývají Hilbertovy podmínky [162] :

Statické a stacionární gravitační pole
Jestliže existuje vztažná soustava, v níž složky metrického tenzoru g_ik nezávisí na časové souřadnici x°, nazývá, se příslušné gravitační pole stacionární. Jestliže ve stacionárním poli navíc existuje vztažná soustava v níž všechny "smíšené" komponenty metrického tenzoru g_oa jsou rovny nule, jedná se o statické gravitační pole, ve kterém jsou oba směry toku času ekvivalentní. Z Newtonova (stejně jako z obecného Einsteinova) gravitačního zákona plyne, že statická gravitační pole jsou buzena statickým rozložením hmoty; v §3.4 však bude ukázáno, že gravitační pole sféricky symetrického tělesa ve vakuu je statické i tehdy, když toto těleso radiálně pulzuje (expanduje nebo kolabuje). Stacionární gravitační pole může být v praxi buzeno pouze kompaktním izolovaným tělesem, protože v soustavě několika volných těles jejich gravitační interakce způsobí vzájemné pohyby a výsledné gravitační pole bude proměnné. Příkladem stacionárního pole je gravitační pole kolem axiálně symetrického tělesa rovnoměrně rotujícího kolem své osy; toto pole ale není statické, protože oba směry toku času zde nejsou ekvivalentní (při obrácení směru času se mění znaménko úhlové rychlosti rotace tělesa). A skutečně, podle Einsteinových rovnic rotace zdrojového tělesa zanechává na metrice okolního prostoročasu "stopy" ve formě nenulových složek g_oa metrického tenzoru, viz §2.5. Některé zajímavé efekty probíhající v gravitačním poli rotujících objektů (především v okolí rotujících černých děr) budou rozebírány v §4.4.

Gravitační spektrální posun
Uvedeme si ještě jeden významný důsledek gravitační dilatace času, vztahu mezi intervalem vlastního a souřadnicového času (2.36) - gravitační spektrální posun, o němž jsme se již výše zmínili. Podle vztahu (2.36) ve dvou místech s různým gravitačním potenciálem budou témuž intervalu souřadnicováho času odpovídat různé intervaly vlastního času. Nechť ve stacionárním gravitačním poli se v bodě P1 nachází zdroj světla, který vyšle dva světelné impulsy oddělené intervalem Dt(P1) vlastního času; souřadnicový časový interval mezi těmito událostmi pak bude Dt(P1) = (1/c)Dx°(P1) = (1/c)Ö(-g_oo(P1)).Dt(P1). Tyto světelné signály se budou šířit prostorem a budou zachyceny pozorovatelem v bodě P2. Protože ve stacionárním gravitačním poli složky metrického tenzoru nezávisí na časové souřadnici, bude interval souřadnicového času Dt(P2) mezi okamžiky přijetí obou impulsů stejný jako v bodě vyslání, tj. Dt(P2) = Dt(P1). Protože Dt(P2) = Ö(-g_oo(P2)).Dt(P2), bude

(2.40)

Stejně bude-li ve stacionárním gravitačním poli v bodě P1 probíhat periodický proces vysílající záření (např. excitované atomy vysílající světlo), pak počet kmitů za jednotku souřadnicového času bude stejný ve všech bodech trajektorie šířícího se záření a poměr mezi periodami T(P1) a T(P2) záření v místech P1 a P2 bude dán opět vztahem (2.40). Poměr frekvencí proto bude

(2.41)

Ve slabém gravitačním poli je g_oo(P) » -(1 + 2j(P)/c²), takže

(2.41')

Jestliže světlo přichází z místa o větším gravitačním potenciálu do místa s nižším potenciálem, jeho frekvence se snižuje - jedná se o gravitační rudý posuv. Naopak, při šíření záření z míst o nižším gravitačním potenciálu do míst se silnějším gravitačním polem dochází k modrému posuvu - frekvence světla se zvyšuje.
  Takto vyplývá gravitační frekvenční posuv z geometrické interpretace gravitačního pole v obecné teorii relativity. Ke stejnému závěru včetně vztahu (2.41') však lze dojít i elementárnějšími postupy. První z těchto postupů je kinematická interpretace využívající pricipu ekvivalence: situaci, kdy zdroj světla a přijímač (pozorovatel) se nacházejí v místech s různým gravitačním potenciálem, nahradíme ekvivalentním stavem při němž zdroj světla a pozorovatel jsou umístěni v různých místech rovnoměrně zrychlené vztažné soustavy (třebas v kabině rakety jako je na obr.2.3b). Od okamžiku t=0 vyslání světla z bodu P1 do okamžiku Dt = Dl/c jeho zaregistrování přijímačem nacházejícím se ve vzdálenosti Dl ve směru zrychlení, získá tento přijímač relativní rychlost v = a.Dl/c. Proto vlivem Dopplerova jevu se vlnová délka přijatého světla bude jevit odlišná od vlnové délky l záření vycházejícího ze zdroje, přičemž tato odchylka vyjádřená pomocí frekvence w bude v prvním řádu

Dw / w   »   v / c   =   a . Dl / c²   .      

Vrátíme-li se nyní k výchozí situaci s gravitačním polem, pak veličina a.Dl znamená rozdíl gravitačních potenciálů Dj mezi zdrojem a přijímačem, takže při překonání rozdílu potenciálu gravitačního pole Dj = a.Dl se vlnová délka světla změní o Dj /c² ve shodě se vzorcem (2.41').
Podobně, gravitační dilataci času můžeme podle principu ekvivalence v rovnoměrně zrychlené vztažné soustavě stanovit jako STR dilataci času, když do vztahu (1.70) v §1.6 dosadíme shora zmíněnou relativní rychlost pohybu v = a.Dl/c :
                                                             Dt'   =   Dt / Ö(1 - a²Dl²/c⁴)   .
Touto dilatací času vzniklá změna frekvence Dw/w bude v přiblížení prvního řádu ~ a.Dl/c², což vyjádřeno pomocí rozdílu potenciálů opět dá Dj /c².
  Gravitační frekvenční posuv je možno též snadno odvodit jako důsledek zákona zachování energie při pohybu fotonů v klasickém gravitačním poli. Světlo o vlnové délce l a frekvenci w považujeme za proud fotonů o energii E = h.w = h.c/l a hmotnosti m = E/c². Při překonání rozdílu potenciálů Dj v gravitačním poli se energie fotonů změní o DE = Dj .m = Dj .E/c², takže relativní změna vlnové délky opět činí Dj /c².

Poundův-Rebkův experiment
I když gravitační frekvenční posuv je v pozemských podmínkách zcela nepatrný a v praktickém životě se neuplatňuje, podařilo se i v tíhovém poli Země gravitační rudý posuv experimentálně prokázat a změřit. R.V.Pound a G.A.Rebka [208] k tomu v r.1960 použili Mössbauerův jev *) rezonanční jaderné absorbce g-záření o energii 14,4 keV vzbuzené hladiny jádra železa ⁵⁷Fe. Zdroj - b+g radioisotop ⁵⁷Co s mechanickým posuvem (pomocí elektro-mechanického pohybu membrány reproduktoru) a přijímač (absorbér ⁵⁷Fe se spektrometrickým detektorem záření g) byly umístěny ve vodárenské věži v Harvardu s výškovým rozdílem pouhých 22,5 metrů. Byla provedena dvě měření při vzájemné výměně poloh vysílače a přijímače (tj. byl změřen jak rudý, tak modrý posuv) pro vyloučení negravitačních posuvů spektrální čáry. Změřené hodnoty relativního frekvenčního posunu cca 2,5.10^-15 souhlasily se vzorcem (2.41') původně s přesností asi 10%, ve zdokonalené variantě Pounda a Snydera se souhlas zlepšil na 1% [209].
*) Mössbauerův jev je podrobněji popsán v knize "Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření", §1.6 "Ionizující záření", část "Interakce záření gama", pasáž "Rezonanční jaderná absorpce - Mössbauerův jev".

Gravity Probe A
S ještě podstatně větší přesností byl gravitační frekvenční posuv změřen v r.1976 na silně excentrické eliptické dráze (aby sonda prošla co největším rozdílem gravitačního potenciálu) jednorázové družice Gravity Probe A (maximální výška suborbitální dráhy, tj. bod obratu 10 000km nad Zemí, doba letu 55min, konec dráhy v Atlantiku). Na družici byly instalovány přesné hodiny osazené vodíkovým MASERem, stejný MASER byl umístěn v řídícím středisku na povrchu Země. Srovnáním registrovaných údajů byl změřen gravitační červený posuv, který s relativní přesností 2.10^-4 souhlasil s OTR.

Astronomická měření gravitačního rudého posuvu
Kromě toho existují astronomická ověření gravitačního rudého posuvu. Světlo vysílané atomy z povrchu Slunce přichází na Zemi podle vztahu (2.41') s rudým posuvem Dw/w @ 2.10^-6, což činí několik procent šířky Fraunhoferových čar. Tento efekt je dobře měřitelný spektroskopickými metodami, avšak kromě korekce na Dopplerův posun způsobený relativním radiálním pohybem Země a Slunce se zde výrazně projevuje proudění horkých plynů na povrchu Slunce. Horké plyny stoupají vzhůru, při povrchu chladnou a klesají zpět. Hodnota rudého posuvu odpovídající relativistickému vzorci (2.41') se přímo změří pouze z oblastí na okraji slunečního "disku", kde radiální proudy zářících horkých plynů pozorujeme kolmo. Naproti tomu rudý posuv záření ze středové oblasti slunečního kotouče je velmi malý a spektrální čáry jsou vlivem Dopplerova posuvu stoupajících horkých a klesajících chladnějších proudů zářícího plynu rozšířené a asymetrické, přičemž jejich střední poloha je posunuta k vyšším frekvencím. Použitím podrobné analýzy tvaru píků těchto spekter [216] se podařilo odkorigovat vliv Dopplerova efektu radiálních proudů horkých plynů na povrchu Slunce a ukázat, že gravitační rudý posuv je ve všech místech slunečního kotouče přibližně stejný a shoduje se dobře se vztahem (2.41') (přesnost asi 5%).
  Podstatně vyšší rudý posuv lze čekat u masivních kompaktních hvězd jako jsou bílí trpaslíci (viz §4.2), na jejichž povrchu je gravitační potenciál o jeden až dva řády silnější. Pro změření a srovnání s relativistickou předpovědí se hodí jen jasní bílí trpaslíci, kteří jsou součástí dvojhvězd, aby bylo možno určit jejich hmotnost. Poloměr bílého trpaslíka o známé hmotnosti však nelze stanovit přímo, ale jen na základě teorie struktury bílých trpaslíků; proto změření rudých posuvů bílých trpasliků lze považovat spíše za test teorie jejich vnitřní struktury, než za ověřování relativistického vztahu pro gravitační rudý posuv. Např. pro Sirius B, který má hmotnost přibližně stejnou jako Slunce, vychází teoretický poloměr asi 10^-2 slunečního poloměru a rudý posuv tedy 2.10^-4; přesnému měření však překáží silné prozařování světla z blízkého Siria A. Poněkud příznivější situace je u dvojhvězdy 40 Eridani s větší vzdáleností obou složek, kde pro bílý trpaslík B měření vede ke shodě asi 20% s teoretickou hodnotou rudého posuvu [207].
  Složitější efekty frekvenčních posuvů lze očekávat u reliktního záření, které při své dlouhé cestě rozlehlými vesmírnými prostory prochází oblastmi s velkým nahromaděním hmoty v kupách galaxií a naopak rozsáhlými oblastmi "prázdnoty". Tyto fluktuace gravitačního potenciálu a metriky prostoročasu mohou drobně modulovat anizotropii reliktního mikrovlnného záření (viz §5.4, část "Mikrovlnné reliktní záření", pasáž "Vliv gravitačních fluktuací metriky ve vesmíru na reliktní záření - Sachs-Wolf efekt").

2.3. Lokální princip ekvivalence		2.5. Einsteinovy rovnice gravitačního pole

Vojtěch Ullmann