Centrálně symetrické gravitační pole

Kapitola 3
GEOMETRIE A TOPOLOGIE PROSTOROČASU
3.1. Geometricko-topologické vlastnosti prostoročasu
3.2. Minkowského rovinný prostoročas a asymptotická struktura
3.3. Cauchyova úloha, příčinnost a horizonty
3.4. Schwarzschildova geometrie
3.5. Reissnerova-Nordströmova geometrie
3.6. Kerrova a Kerrova-Newmanova geometrie
3.7. Prostoročasové singularity
3.8. Hawkingovy a Penroseovy teorémy o singularitách
3.9. Nahé singularity a princip "kosmické cenzury"

3.4. Schwarzschildova geometrie

Jak bylo řečeno již v §2.5, problém řešení Einsteinových rovnic se značně zjednoduší, když si předepíšeme vysoký stupeň symetrie; tím se sníží počet neznámých funkcí (metrických koeficientů) a rovnic. Skutečně, první přesné (a zároveň netriviální) řešení Einsteinových gravitačních rovnic bylo nalezeno hned v r.1916 K.Schwarzschildem pro sféricky symetrický případ. V §4.3 uvidíme, že toto řešení popisuje sféricky symetrickou černou díru.

Centrálně symetrické Schwarzschildovo řešení
Pro centrálně symetrické rozložení hmoty předpokládáme, že i vzbuzované gravitační pole bude centrálně symetrické. Nejprve budeme uvažovat případ, kdy centrálně symetrické rozložení hmoty se s časem nemění a gravitační pole je statické (níže však uvidíme, že tento předpoklad není nutný, výsledek bude stejný i pro nestatický případ při zachování centrální symetrie). Potom všechny fyzikální veličiny budou funkcí pouze vzdálenosti od středu symetrie. Dále budeme předpokládat, že prostoročas je asymptoticky rovinný - v dostatečně velkých vzdálenostech přechází postupně v rovinný Minkowskiho prostoročas.

Vztažnou soustavu v tomto případě je přirozené spojit se středem symetrie a použít sférické prostorové souřadnice (r, J, j) s počátkem r=0 rovněž ve středu symetrie. Element prostoročasového intervalu lze potom hledat ve tvaru

takže metrické koeficienty

jsou funkcemi pouze vzdálenosti r od středu symetrie. Souřadnice tohoto typu se nazývají Schwarzschildovy souřadnice. Jsou to v podstatě sférické souřadnice (r, J, j) prostorové, kde radiální souřadnice r je definována jako vlastní délka příslušné kružnice (se středem v centru symetrie r=0) o poloměru r dělená 2p, popř. odmocnina z vlastní plochy koule dělená 4p. Souřadnicový čas t je měřen vzhledem ke vzdálené, asymptoticky rovinné oblasti.

Předpokládejme dále, že zdrojové těleso je prostorově omezené a sahá jen do vzdálenosti R; při r > R je již vakuum (T^ik=0). Nejdříve budeme hledat tzv. vnější řešení, tj. metriku prostoročasu pro r > R vně tělesa - ve vakuu. Je tedy třeba řešit vakuové Einsteinovy rovnice R_ik = 0. Christoffelovy koeficienty konexe v metrice (3.10) jsou

(3.12)

Einsteinovy rovnice R_ik = 0 pak po úpravě dávají jen dvě nezávislé diferenciální rovnice

dg_tt/dr = (1/r) g_tt (1 + g_rr) ,   dg_rr/dr = - (1/r) g_rr (1 + g_rr) ,    

které mají řešení

g_tt = C₁ . (1 + C₂/r) ,   g_rr = (1 + C₂/r)-1 ,    

kde C₁ a C₂ jsou integrační konstanty. Konstantu C₁ volíme měřítkem škály časové souřadnice t (transformací t = C₁.t se konstanty C₁ zbavíme). Z limitního přechodu k Newtonovu zákonu (g_tt ~ (1 - M/r) pro r®Ą) dostáváme, že konstanta C₂ musí být rovna -2M, kde M je hmotnost zdrojového tělesa (tj. celková hmotnost uzavřená v kouli o poloměru r při r®Ą). Dostáváme tak přesné řešení Einsteinových rovnic ve vakuu pro sféricky symetrické gravitační pole; v této tzv. Schwarzschildově geometrii má element prostoročasového intervalu tvar

(3.13)

v geometrodynamických jednotkách; v běžných jednotkách je to

(3.13')

Komponenty metrického tenzoru g_ik ve Schwarszchildově geometri jsou tedy (v geometrodynamických jednotkách) :

Zatím jsme uvažovali statický případ a předpokládali, že gravitační pole bude statické. Kdybychom tento předpoklad vypustili a připustili možnost závislosti metrických koeficientů (3.11) na čase při zachování sférické symetrie, tj. g_tt = - g_tt(r,t), g_rr = g_rr(r,t), z Einsteinových rovnic R_ik= 0 dostaneme po úpravě, že ¶g_rr/¶t = 0 (takže g_rr nezávisí na čase) a g_tt = f(t)/g_rr, kde f(t) je funkce pouze času. Protože pro r®Ą přechází vyšetřovaná metrika v metriku Minkowského, kde je g_tt=-1 a g_rr=1, musí být f(t)=const. a na čase tedy nezávisí ani g_tt. Dospíváme tak k výsledku, že centrálně symetrické gravitační pole ve vakuu musí být automaticky statické, a to i tehdy, kdyby se budící těleso smršťovalo, expandovalo nebo radiálně pulzovalo (ovšem při zachování přesné sférické symetrie). Získané výsledky můžeme shrnout do nasledujícího tvrzení :

Tento poznatek je velmi důležitý při studiu gravitačního kolapsu a vlastností černých děr (kap.4) - je to vlastně speciální případ teorému 4.1 "černá díra nemá vlasy" (odvozeného v §4.5 "Teorém "černá díra nemá vlasy"").

Vnitřní metrika centrálně symetrického statického tělesa
Jak je tomu uvnitř běžného tělesa (hvězdy, planety) budícího gravitační pole? Ve zjednodušeném případě nerotujícího tělesa hmotnosti M a poloměru R, sestávajácího z nestlačitelné látky s konstatní hustotou (ideální nestlačitelné kapaliny) s nulovým tlakem na povrchu, je geometrie prostoročasu dána poněkud složitějším tzv. vnitřním Schwarzschildovým řešením, které zde uvádíme bez odvození :

Tato metrika je všude regulární. Pro r>R plynule přechází ve vnější Scharzschildovu geometrii (3.13).

Schwarzschildova geometrie prostoročasu - pohyb těles 
Rozeberme si vlastnosti (vnější) Schwarzschildovy geometrie. Protože nás bude zajímat celé Schwarzschildovo vnější řešení, budeme předpokládat, že budící hmota je soustředěna ve středu r=0 a všude jinde je vakuum. Podíváme-li se na prostoročasový element Schwarzschildovy geometrie (3.13), je na první pohled vidět, že není všude regulární. Při r®2M časová složka metrického tenzoru g_tt®0 a prostorová radiální složka g_rr®Ą. Poloměr

se nazývá gravitační neboli Schwarzschildův poloměr a příslušná sféra r = r_g = 2 M Schwarzschildova sféra. Metrika (3.13) je samozřejmě singulární rovněž pro r=0. Abychom si vyjasnili povahu těchto "singularit" Schwarzschildovy metriky (a uvidíme, že mezi oběma případy je principiální rozdíl), podívejme se nejprve na vlastnosti pohybu testovacích částic ve Schwarzschildově prostoročasu.

Pohyb volné testovací částice ve Schwarzschildově poli je dán rovnicí geodetiky (2.5b)

kde koeficienty konexe Gⁱ_kl vypočítáme ze složek metrického tenzoru v (3.13) :

(3.15)

ostatní složky jsou buď s nimi symetrické nebo jsou rovny nule. Sférická symetrie nám umožňuje pro rovinu pohybu položit J = p/2 (sledovat pohyb v ekvatoriální rovině), čímž rovnice pro souřadnici J odpadá. Zbývající rovnice jsou

(3.16)

Vydělení první rovnice dt/dt dá

neboli

kde integrační konstanta K souvisí s rychlostí částice (viz níže). Analogická úprava druhé rovnice dává ln (dj/dt) + 2.ln r = const., z čehož dostaneme rovnici

vyjadřující zákon zachování momentu hybnosti `L. Z třetí rovnice (3.16) pak dostaneme

Radiální pohyb částice
Mějme nyní částici padající radiálně ve Schwarzschildově poli ve směru ke středu r=0. V rovnici (3.19) bude nyní `L = r²dj/dt = 0, takže (dr/dt)² = 1/K² - 1 + 2M/r. V limitě r®Ą dostáváme (dr/dt)² = 1/K² - 1, takže 1/K² - 1 je rovno čtverci vlastní rychlosti v_Ą, kterou by měla částice v nekonečně velké vzdálenosti od středu. Tedy

což je shodou okolností stejný výsledek jako v Newtonově teorii. Z této rovnice můžeme vypočítat interval vlastního času t, který potřebuje částice aby se dostala z nějaké (konečné) vzdálenosti r=r₂ do vzdálenosti r=r₁ od středu :

(3.21)

Tento interval vlastního času je vždy konečný, a to i pro r₁=0. Tedy volně padající testovací částice dosáhne jak "kritického" poloměru r=2M, tak dokonce i bodu r=0, za konečný vlastní čas.

Abychom stanovili tomu odpovídající interval souřadnicového času t (který je vlastním časem pozorovatele v nekonečnu), použijeme rovnic (3.19) a (3.17), což dává :

Limitní přechod r®Ą ukazuje, že 1-K² zde má význam souřadnicové rychlosti v_Ą v nekonečnu. Interval souřadnicovího času potřebného pro pohyb ze vzdálenosti r₂ do vzdálenosti r₁ je pak roven

(3.23)

Interval souřadnicového času potřebného k dosažení bodu r=r₁ se blíží nekonečnu při r₁®2M *).
*) Skutečně nekonečně dlouhý čas?
Je třeba upozornit, že z fyzikálního hlediska je tento výsledek nekonečně dlouhého času jen "matematickou fikcí" - platí pro idealizovaný případ "nehmotné" testovací částice bodových rozměrů (která nijak neovlivní studovaný prostoročas). Pohyb takových částic je vhodné analyzovat pro studium geometricko-topologických vlastností daného prostoročasu a používaných souřadnicových soustav.
  Pro skutečná hmotná tělesa padající na černou díru bude situace poněkud odlišná. Při přiblížení takového tělesa k černé díře bude vzájemnou gravitací docházet k deformaci horizontu, který bude (vzniklým hrbolkem či výstupkem) dopadajícímu tělesu "vycházet vstříc". Extrémní případ takového procesu při fúzi černých děr je znázorněn ve zvětšených výřezech na obr.4.13-GW v §4.8, pasáž "Binární gravitačně vázané systémy černých děr. Srážky a splynutí černých děr". Skutečný efektivní čas pohlcení tělesa černou dírou, či splynutí dvou černých děr v jedinou, je tedy konečný.

Vztahy (3.21) a (3.24) můžeme zjednodušeně zrekapitulovat :
Částice pohybující se ze vzdálenosti r₀ > r_g radiálně ve Schwarzschildově prostoročasu směrem ke středu (k horizontu, k černé díře) překročí horizont událostí r = r_g za konečný interval vlastního času t = (2r_g/3c). [(r₀/r_g)^3/2 -1]; pak bude pokračovat v pohybu až do středové singularity r=0, přičemž tuto dráhu urazí rovněž za konečný vlastní čas. Z hlediska měření vnějším pozorovatelem se každý interval vlastního času Dt dilatací času prodlužuje na interval Dt = Dt/(1-r_g/r)^1/2 ; čím více se částice blíží k horizontu, její pohyb se z pohledu vnějšího pozorovatele zpomaluje a na horizontu r = r_g se úplně zastaví, na nekonečně dlouhý čas "zamrzne". Tato rozdílná časová dynamika radiálního pohybu částic při vnějším a vnitřním pohledu je způsobena efektem gravitační dilatace času v obecné teorii relativity (diskutovali jsme ji v §2.4 "Fyzikální zákony v zakřiveném prostoročase", pasáži "Prostor a čas v gravitačním poli").
  Přicházíme tedy k poznatku, že z hlediska vnějšího pozorovatele se každá částice při přiblížení k poloměru r=2M zpomaluje a potřebuje k jeho dosažení nekonečně dlouhý souřadnicový čas (s uvážením shora uvedené výhrady "Skutečně nekonečně dlouhý čas?"). Naproti tomu z hlediska pozorovatele padajícího spolu s částicí je poloměru r=2M dosaženo za konečný interval vlastního času, tímto místem částice volně projde a posléze za konečný vlastní čas dosáhne i středu r=0. A stejným způsobem se bude chovat povrch gravitačně kolabující hvězdy do černé díry, jak bude analyzováno v §4.2, pasáži "Dva různé pohledy na gravitační kolaps - vnější a vnitřní".

Singularita souřadnicová a fyzikální
Vypočítáme-li na základě koeficientů konexe (3.15) komponenty Riemannova tenzoru křivosti ve Schwarzsehildově prostoročase a přetransformujeme je do vztažné soustavy padajícího pozorovatele, budou (ty z nich, jež jsou nenulové) úměrné M/r³, např.

takže na Schwarzschildově sféře dosahují hodnot řádu 1/M²; podobně skalární invarianty (např. R= R_iklmR^iklm= 48M²/r⁶) tenzoru křivosti, které nezávisí na souřadné soustavě. Křivost prostoročasu, a tedy i gradienty gravitačních sil (slapové síly), jsou na Schwarzschildově sféře konečné - a tím menší, čím je hmotnostní parametr M větší.

Dospíváme tak k závěru, že singulární chování Schwarzschildova prostoročasového elementu (3.13) pro r=2M nemá svůj původ v singulárním charakteru geometrie prostoročasu na Schwarzschildově sféře, ale je způsobeno použitými Schwarzschildovými souřadnicemi, které se zde nehodí. Přechodem k jiné vhodné vztažné soustavě, např. k soustavě spojené s volně padajícími testovacími částicemi, tato pseudosingularita na Schwarzschildově sféře zmizí.

To, jakým způsobem může nevhodná souřadnicová soustava způsobovat zdánlivou singularitu, si můžeme názorně ilustrovat na jednoduchém příkladě podle obr.3.15. Sledujeme-li kulovou plochu pomocí souřadnic udávajících "zeměpisnou" šířku a délku J a j (obr.3.15a), budou se všechny "poledníky" sbíhat v bodech "severního" a "jižního" pólu, takže pro tyto body není zeměpisná délka definována, metrický tenzor g_jj je zde roven nule. Nebo podobně, děláme-li mapu zeměkoule pomocí válcové projekce podle obr. 3.15b, budou se obrazy P' pólu P nacházet v nekonečnu a metrický tenzor g_JJ®Ą. Přitom však samotná geometrie kulové plochy v těchto pólech je zcela normální - stačí pootočit kouli o určitý úhel a body, které se v dřívější souřadnicové soustavě jevily singulární, budou naprosto regulární a singulárními se budou zdát jiné body, nové "póly".

Obr.3.15. Příklad pseudosingularity způsobené nevhodnou souřadnicovou soustavou. a) Bod P na kulové ploše (pól) se zdánlivě jeví jako singulární, protože v použitých souřadnicích pro něj není definována "zeměpisná délka". b) Zhotovujeme-li mapu zeměkoule pomocí válcové projekce, bude se pól P zdát singulární, protože jeho obraz P' bude v nekonečnu.

Geometrie samotného prostoročasu je na Schwarzschildově sféře zcela regulární, pozorovatel může přes Schwarzschildovu sféru volně projít během konečného intervalu vlastního času, nezjistí zde lokálně ani nic zvláštního a bude pokračovat dále ve svém pohybu. Zvláštnost prostoročasové geometrie na Schwarzschildově sféře nespočívá tedy v nějakých nenormálních lokálních vlastnostech, ale jak uvidíme dále, má význačnou globální vlastnost - je horizontem událostí.

Jinak je to s druhým singulárním místem v metrice (3.13) - bodem r=0. Zde jak složky tenzoru křivosti (3.24), tak i jeho skalární invarianty dosahují nekonečných hodnot, jsou zde tedy nekonečně velké gradienty gravitačních sil. Částice, která se dostane do bodu r=0 již ve svém pohybu nemůže pokračovat dále, je těmito nekonečnými slapovými silami rozdrcena, doslova přestane existovat v rámci daného prostoročasu. Zde se jedná o skutečnou, fyzikální singularitu geometrie prostoročasu, kterou nelze odstranit žadnou volbou vztažné soustavy. Vlastnostem prostoročasových singularit a posouzení možností jejich existence jsou věnovány §3.7 a 3.8.

Pohyb světla ve Schwarzschildově poli 
Nebudeme zde již dále pokračovat v rozboru pohybu testovacích částic ve Schwarzschildově poli, odsuneme to do §4.3, kde tento rozbor bude mít bezprostřední fyzikální souvislost s vlastnostmi černých děr. Zde se soustředíme spíše na geometrické vlastnosti Schwarzschildova řešení. Za tím účelem si ještě ukážeme některé vlastnosti šíření světla ve Schwarzschildově poli (pro geometricko-topologické vlastnosti Schwarzschildova gravitačního pole je důležité šíření světla v radiálním směru). Souřadnicovou rychlost c_r světla v radiálním směru dostaneme, jestliže ve výrazu pro prostoročasový interval (3.13) položíme ds²=0 při dj = dJ = 0

 Na Schwarzschildově sféře je souřadnicová rychlost světla v radiálním směru rovna nule. Čas, který potřebuje světlo aby se dostalo z bodu o souřadnici r=r₁ do bodu r=r₂ bude podle (3.25)

(3.26)

Pro r₁®r_g = 2M se tento čas blíží nekonečnu pro libovolnou hodnotu cílového r₂ > r₁. Světlo vyzářené ze Schwarzschildovy sféry r=r_g potřebuje nekonečně dlouhý čas k tomu, aby se dostalo do kteréhokoliv místa více vzdáleného od středu. Z míst o souřadnicích r < r_g - z pod Schwarzschildovy sféry - se proto žádný objekt nemůže dostat ven, protože se odtud nemůže dostat ani světlo (a žádný objekt se nemůže pohybovat rychleji než světlo). Žádná událost, která probíhá uvnitř Schwarzschildovy sféry, se tedy nijak nemůže projevit vně a nemůže být z vnějšku nijak pozorovatelná. Schwarzschildova sféra je proto horizontem událostí, který ve smyslu příčinnosti odděluje vnitřní oblast od ostatního prostoročasu (viz §3.3).
Pozn.: Tento horizont událostí se též někdy označuje jako Killingův horizont, neboť Killingovo vektorové pole x_o ş ¶/¶t (zavedené v §2.4), jeho časová složka, zde mění prostoročasový chrakter: vně horizontu je časového typu, zatímco uvnitř horizontu nabývá prostorový charakter.
  Pro gravitační spektrální posuv (rudý posuv) světla v radiálním směru ve Schwarzschildově metrice vyplývá jednoduchý vzorec w_Ą = w_r .(1 - 2M/r)^1/2, kde w_r je frekvence signálu vyslaného statickým pozorovatelem ze vzdálenosti r od středu černé díry a w_Ą je frekvence tohoto signálu detekovaná vzdáleným pozorovatelem (v nekonečnu). Tento vzdálený pozorovatel bude detekovat tento signál s menší hodnotou frekvence w_Ą způsobenou tím, že tento signál ztrácí energii při překonávání gravitačního pole černé díry. Pokud by signál libovolné frekvence w_r byl vyslán ze Schwarzschildovy sféry r=2M, bylo by w_Ą=0 - nebyl by detekován žádný signál... Z obecného relativistického hlediska je problematika gravitačního spektrálního posuvu diskutovaná v §2.4, pasáži "Gravitační spektrální posun".
  V oblasti Schwarzschildova horizontu mění složky metrického tenzoru g_rr =(1 - 2M/r)-1 a g_tt= -(1 - 2M/r) svá znaménka: pro r > 2M je g_rr > 0 a g_tt< 0, zatímco při r< 2M je g_rr < 0 a g_tt > 0. Lze říci, že časová t a radiální prostorová r souřadnice si v jistém smyslu vzájemně vymění úlohy. Uvnitř horizontu úlohu toku času do budoucnosti přejímá neustálé zmenšování r. Prostoročasové světelné kužely jsou zde zcela obráceny dovnitř, takže každé reálné těleso se zde bude pohybovat tak, že r se neustále zmenšuje - musí tedy "padat" směrem ke středu r=0 (obr.3.16). Katastrofální důsledky tohoto jevu si ukážeme v kapitole 4 o gravitačním kolapsu a černých dírách.

Obr.3.16. Prostoročasový diagram radiálního pohybu testovacích částic a fotonů ve Schwarzschildově prostoročasu za použití obyčejných Schwarzschildových souřadnic.

Zakřivování světelných paprsků - efekt gravitační čočky
Pro analýzu geometricko-topologických vlastností Schwarzschildova gravitačního pole, kterou se zde zabýváme, je důležité šíření světla v radiálním směru. Z astrofyzikálního hlediska jsou však důležitější vlastnosti šíření elektromagnetického záření (a tedy i světla) v azimutálním směru - gravitační ohyb dráhy fotonů a zakřivování světelných paprsků při průchodu kolem gravitujících těles a sytémů.. O tomto šíření světla v gravitačním poli a o efektu "gravitační čočky" bude podrobněji pojednáno v §4.3, část "Gravitační čočky. Optika černých děr".

Analytická extenze Schwarzschildovy geometrie 
Protože zdánlivá singularita na horizontu Schwarzschildovy geometrie je způsobena jen charakterem použité vztažné soustavy (Schwarzschildových souřadnic), nabízí se sledovat Schwarzschildův prostoročas pomocí souřadnic, které nemají tuto nepříjemnou vlastnost. Nejjednodušší co do realizace by byla vztažná soustava spojená s radiálně padajícími testovacími částicemi. Taková soustava sice nemá souřadnicovou singularitu, avšak není vhodná pro studium globálních geometrických vlastností (příliš složité a nepřehledné transformačni vztahy). Pro sledování geometrických vlastností Schwarzschildova prostoročasu je velmi výhodná tzv. Kruskalova-Szekeresova souřadnicová soustava [160], která vznikla spojením dříve zavedené Eddingtonovy-Finkelsteinovy smršťující se a rozšiřující se souřadnicové soustavy [76],[84]. Pro tento účel se nejprve zavádí modifikovaná souřadnice r*

(3.27)

[ rÎ(0, +Ą) Ţ r*Î(-Ą, +Ą) ] a dále izotropní souřadnice p a q :

Význam těchto souřadnic je ten, že světelné geodetiky směřující ven jsou dány rovnicí q = const. a geodetiky směřující dovnitř rovnicí p = const. Schwarzschildova metrika v souřadnicích (q,r,J,j) má pak tvar

ds²   =   - (1- 2M/r)dq² + 2dqdr + r²(dJ² + sin²J dj²)   ;    

tato tzv. smršťující se Eddingtonova-Finkelsteinova souřadnicová soustava dobře (bez pseudosingularity) popisuje pád částic směrem pod gravitační poloměr, nikoliv však v opačném směru. Rozšiřující se Eddingtonova-Finkelsteinova souřadnicová soustava používá místo r a t souřadnice r a p, takže výraz pro metriku zde je

ds²   =   - (1- 2M/r)dp² + 2dpdr + r²(dJ² + sin²J dj²)   ;    

zde je naopak dobře popsán pohyb částic směrem ven, zatímco při pádu částic pod gravitační poloměr se objevuje pseudosingularita. Pro odstranění pseudosingularit a získání úplné extenze Schwarzschildovy geometrie se nabízí spojit obě tyto soustavy, tj. vyloučit r a použít souřadnice (p,q,J,j). Prostoročasový element Schwarzschildovy geometrie pak má tvar

ds²   =   - (1- 2M/r)dpdq + r²(dJ² + sin²J dj²)   ;    

Pro odstranění singulárního koeficientu 1-2M/r je dále třeba provést vhodnou transformaci p' = p'(p), q' = q'(q). Takovou transformaci nalezl Kruskal ve tvaru

p' = e ^p/4M ,   q' = e ^-q/4M   .    

V těchto nových souřadnicích má metrika tvar

ds²   =   - (16.M²/r).e^-r/2M dp'dq' + r²(dJ² + sin²J dj²)   .    

Abychom dostali tuto metriku v obvyklém tvaru se separovanými časovými a prostorovými členy, zavedeme nakonec místo izotropních souřadnic p' a q' časovou u a prostorovou v souřadnici:

u = (q' - p')/2 ,   v = (q' + p')/2   .    

V Kruskalově soustavě jsou tedy souřadnice t a r nahrazeny bezrozměrnými časovými a radiálními prostorovými souřadnicemi u a v pomocí transformace

a analogicky pro r < 2M se záměnou "cosh" za "sinh" a naopak. Jsou to tedy ve skutečnosti dvě navazující souřadnicové mapy (podobně jako např. u rovinného zobrazení zeměkoule). Prostoročasový element Schwarzschildovy geometrie má potom v Kruskalových souřadnicích tvar

kde r jako funkce u a v je dáno rovnicí

Z (3.30) je vidět, že metrika Schwarzschildovy geometrie v Kruskalových souřadnicích je regulární všude s výjimkou středu r=0 (kde se jedná o skutečnou fyzikální singularitu neodstranitelnou žádnou transformací souřadnicové soustavy).

Obr.3.17. Kruskalův prostoročasový diagram Schwarzschildovy geometrie.
a) Souřadnicová síť ve vztahu ke Schwarzschildovým souřadnicím r a t.
b) Celková struktura prostoročasu a pohyb testovacích částic a fotonů. A je vnější asymptoticky rovinná oblast, B je vnitřní oblast pod horizontem.

Některé základní rysy Schwarzschildovy geometrie v Kruskalových-Szekeresových souřadnicích jsou schématicky znázorněny na Kruskalově diagramu (což je prostoročasový diagram v Kruskalových souřadnicích u a v) na obr.3.17b, který můžeme srovnávat s odpovídajícím diagramem ve Schwarzschildových souřadnicích na obr.3.16. Především singularita r=0 je zde dána vztahem v²-u² = 1, což popisuje dvě oddělené singularity tak, jak je hyperbolami znázorněno na obr.3.17. Horizont r=2M je zde tvořen dvěma přímkami u = ± v. Vnější oblast r > 2M je vyjádřena nerovností u² > v², což opět popisuje dvě vnější oblasti. Pro radiální nulové (izotropní) geodetiky ds=0 dostáváme du = ± dv; tyto radiální světelné geodetiky jsou tedy přímky pod úhlem 45° k osám Kruskalovy soustavy. Tato vlastnost je velmi výhodná, protože světelné kužely vypadají úplně stejně jako v diagramu Minkowskiho rovinného prostoročasu STR. Reálná hmotná tělesa se tedy mohou v tomto Kruskalově diagramu pohybovat pouze pod úhlem menším než 45° od svislé osy v (uvnitř prostoročasových světelných kuželů). Rozbor geometrických vlastností Schwarzschildova prostoročasu a sledování přičinných vztahů a pohybu hmotných objektů je zde proto daleko snadnější a názornější než v obyčejných Schwarzschildových souřadnicích (srovnáme-li obr.3.16 a 3.17b vidíme, že pohyb testovacích částic i fotonů vypadá daleko přehledněji na Kruskalově diagramu.

Velmi podivné je to, že z původního Schwarzschildova řešení obsahujícího jen jednu asymptoticky rovinnou vnější oblast r®Ą, jeden horizont r=2M a jednu singularitu r=0, jsme přechodem ke Kruskalovým souřadnicím dostali prostoročas se dvěma vnějšími oblastmi, dvěma horizonty a dvěma singularitami. Vysvětlení je v tom, že prostoročas získaný přechodem ke Kruskalovým souřadnicím je úplnou analytickou extenzí původní Schwarzschildovy geometrie, tedy příkladem procedury zmíněné v závěru §3.1. Skutečný prostoročas M, který je řešením Einsteinových rovnic pro ostrovní sféricky symetrický případ, je rozsáhlejší varietou, než by se dalo očekávat z původního řešení (3.13) ve Schwarzschildových souřadnicích. Schwarzschildovy souřadnice jsou schopny obsáhnout jen část této úplné variety, zatímco Kruskalovy souřadnice ji obsáhnou celou.

Obr.3.18. a) Znázornění geometrické struktury řezu (prostorové hyperplochy) v = t = 0, J = p/2 Schwarzschildovým prostoročasem ve formě vnoření do pomocného trojrozměrného eukleidovského prostoru. Tento pomocný trojrozměrný prostor nemá fyzikální význam (je pouze prostředkem pro znázornění); význam má pouze vnitřní geometrie vnořené plochy, která ukazuje dvě asymptoticky rovinné oblasti A a A' spojené Einsteinovým-Rosenovým mostem. b) Topologický tunel mezi dvěma místy téhož vesmíru. c) "Červí díra" mezi dvěma místy téhož vesmíru.

Jestliže oblast A na obr.3.17 je původní vnější asymptoticky rovinnou oblastí Schwarzschildovy geometrie ("náš vesmír"), objevuje se ještě jedna zrcadlově obrácená asymptoticky rovinná oblast A' na druhé straně diagramu, jakýsi "druhý vesmír". Vezmeme-li si řez Kruskalovým diagramem podél osy u (tedy řez t=0 podle obr.3.16), vidíme, že kulové plochy r=const. s ubývajícím r nejprve normálně zmenšují svoje plochy, avšak ne k nule, ale k minimální hodnotě 16pM², a potom znovu rostou, jako kdyby se rozšiřovaly do druhého asymptoticky rovinného prostoru. Názorně je tato situace zachycena na obr.3.18a, který je vnořením řezu t=0 s jedním vynechaným rozměrem do pomocného trojrozměrného prostoru. Úplná geometrie obsahuje v časovém řezu určitý "most", zvaný Einsteinův-Rosenův most, spojující dva různé asymptoticky rovinné vesmíry *). Jak je jasně vidět z Kruskalova diagramu, Einsteinovým-Rosenovým mostem nemůže nikdo proniknout do druhého (zrcadlově obráceného) vesmíru, protože by se musel pohybovat nadsvětelnou rychlostí aby stačil uniknout singularitě.
*) Za předpokladu obvyklé eukliedovské globální topologie; při složitější topologii by takový most mohl spojovat i dvě různá místa jednoho vícenásobně souvislého vesmíru- obr.3.18b,c.

Další zajímavou vlastností Schwarzschildova řešení, která je vidět z Kruskalova diagramu, je to, že v oblasti r < 2M má geometrie dynamický charakter. Sledujeme-li časové řezy (rovnoběžné s osou u) Kruskalovým diagramem postupně od velkých záporných hodnot v až do velkých kladných hodnot v (tj. v postupu časové evoluce), budeme vidět zpočátku dva nesouvisející asymptoticky rovinné vesmíry, z nichž každý má svou singularitu r=0. Jakmile řez přestane procházet dolní (minulou) singularitou, objeví se mezi oběma vnějšími oblastmi Einsteinův-Rosenův most. Tento most se bude rozšiřovat (maximální bude v řezu t=0) a pak zase zužovat, až nakonec při dotyku řezu s horní singularitou zanikne a opět zbudou dva nesouvisející vesmíry se svými singularitami. Lze říci, že most zanikne tak rychle, že jím žádný reálný objekt nemůže proniknout do druhého vesmíru (skončí vždy v singularitě). Geometrie Schwarzschildova řešení má v oblasti r < 2M dynamický charakter vlivem toho, že zde v důsledku výměny úloh časových a prostorových metrických komponent úlohu časové evoluce přebírá "evoluce" prostorová.

Důsledným rozborem Schwarzschildovy geometrie se nám tak objevuje úplně jiná globální topologie, než by se dalo očekávat z "nevině vyhlížejícího" Schwarzschildova výrazu (3.13). Je na první pohled vidět, že topologie nebude eukleidovská v bodě r=0 kde je singularita; mohlo by se ale zdát, že toto je jediný rozdíl od obyčejných topologických vlastností. Úplná extenze však ukazuje zcela jinou globální topologii - dva různé asymptoticky rovinné "vesmíry" spojené "mostem", který má dynamický charakter.

Některé vlastnosti Schwarzschildovy geometrie v Kruskalových souřadnicích jsou stejné jako u Minkowskiho prostoročasu (stejné tvary světelných kuželů). Proto ze stejných důvodů jako jsme to v §3.2 udělali pro Minkowskiho prostoročas, je výhodné Kruskalův diagram ještě dále "vylepšit" zavedením konformní transformace převádějící oblasti nekonečna do konečných souřadnic. Vhodný transformační vztah bude opět podobný jako (3.5) :

c = arctg(v + u) - arctg(v - u) ,   h = arctg(v+ u) + arctg(v- u)   .    

Vzniklá metrika má potom tvar

(3.31)

Příslušný konformní Penroseův prostoročasový diagram úplné analytické extenze Schwarzschildova řešení je znázorněn na obr.3.19. Vlastnosti geometrie, pohyb částic a příčinné vztahy mezi jednotlivými částmi Schwarzschildova prostoročasu jsou zde vidět ještě názorněji než na Kruskalově diagramu.

Obr.3.19. Penroseův-Kruskalův konformní prostoročasový diagram úplné extenze Schwarzschildovy geometrie.
a) Souřadnicové čáry ve vztahu ke Schwarzschildovým souřadnicím (hyperplochy r=const. a t=const.).
b) Tvary světelných kuželů a radiální geodetiky časového a světelného typu.

Kritická poznámka: Dvojí řešení v analytické extenzi - realita nebo fikce?
Neobvyklé vlastnosti analytických extenzí Schwarzschildovy, a zvláště pak Reissnerovy-Nordströmovy a Kerrovy-Newmanovy geometrie (§3.5 a 3.6), vzbuzují časté diskuse a rozdílné názory mezi odborníky i širší odbornou veřejností. Odrážejí fyzikální realitu? - nebo se jedná jen o umělé matematické konstrukce, které se v přírodě a vesmíru nikdy a nikde neuplatňují?
   Na jedné straně se jedná o přesná řešení osvědčených Einsteinových gravitačních rovnic, takže bychom se k nim měli stavět zcela vážně, alespoň na teoretické úrovni. Na druhé straně však máme i z jiných oblastí aplikací matematiky ve fyzice a přírodovědě zkušenost, že pokud použité (správné) rovnice mají dvě nebo několik řešení, nemusí některá tato řešení být použitelná - neodpovídají zadání, nedávají smysl, např. jsou záporná či imaginární.
   Jednoduchým příkladem může být použití kvadratických rovnic v geometrických úlohách stanovení rozměrů geometrických útvarů (např. vztahů obvodů, ploch a úhlopříček pozemků). Tyto rovnice mají zpravidla dva kořeny, přičemž jen jeden z nich vyhovuje zadání úlohy a je použitelný, zatímco druhý bývá často záporný či imaginární. Tomuto druhému výsledku nemůžeme přikládat technický či přírodovědný význam. V samotné teorii rovnic je však nutno uvažovat všechna řešení...
   Podobně některá rozšířená řešení Einsteinových rovnic, i když jsou matematicky korektní, pravděpodobně neřeší žádnou skutečnou situaci v přírodě (ve vesmíru). Z (astro)fyzikálního hlediska jsou tyto otázky podrobněji diskutovány v §4.4 "Rotující a elektricky nabité Kerrovy-Newmanovy černé díry", část "Černé díry - mosty do jiných vesmírů? Červí díry".

3.3. Cauchyova úloha, příčinnost a horizonty		3.5. Reissnerova-Nordströmova geometrie

Vojtěch Ullmann