Gravitace elektricky nabitého tělesa

Kapitola 3
GEOMETRIE A TOPOLOGIE PROSTOROČASU
3.1. Geometricko-topologické vlastnosti prostoročasu
3.2. Minkowského rovinný prostoročas a asymptotická struktura
3.3. Cauchyova úloha, příčinnost a horizonty
3.4. Schwarzschildova geometrie
3.5. Reissnerova-Nordströmova geometrie
3.6. Kerrova a Kerrova-Newmanova geometrie
3.7. Prostoročasové singularity
3.8. Hawkingovy a Penroseovy teorémy o singularitách
3.9. Nahé singularity a princip "kosmické cenzury"

3.5. Reissnerova-Nordströmova geometrie

Předchozí sféricky symetrický případ je možno poněkud zobecnit při zachování sférické symetrie tím, že budící těleso budeme uvažovat elektricky nabité s nábojem Q. Pro zachování sférické symetrie musí být distribuce tohoto elektrického náboje též sféricky symetrická, protože gravitační pole je buzeno nejen hmotou zdrojového tělesa, ale i tenzorem energie-hybnosti elektromagnetického pole. Nesymetrické rozložení náboje by vedlo k nesymetrickému elektrickému poli, které by budilo nesymetrické gravitační pole.
  Element prostoročasového intervalu bude mít opět stejný sféricky symetrický základní tvar (3.10)

ds²   =   g_ttdt² + g_rrdr² + r²(dJ² + sin²J dj²)   .    

Rozdíl oproti předchozímu Schwarzschildovu řešení je nyní v tom, že vnější řešení nebude řešením Einsteinových rovnic bez pravé strany, ale pravou stranou zde bude tenzor energie-hybnosti elektromagnetického pole T_ik^elmag (1.118). V tomto případě se jedná o Coulombovské centrálně symetrické elektrostatické pole o intenzitě E = E(r).e_r, kde e_r je jednotkový bázový vektor radiálního směru. Protože Schwarzschildova radiální souřadnice r si zachovává ten význam, že plocha koule se středem v bodě symetrie, mající poloměr r, je rovna 4pr², podle Coulombova zákona (Gaussovy věty) je E(r)= Q/r². Tenzor energie-hybnosti tohoto elektrického pole potom je (nediagonální složky jsou nulové)

T_tt^elmag = -T_rr = T_JJ = T_jj = E(r)²/8p = Q²/8p.r ⁴   ;    

ten dosadíme do Einsteinových rovnic R_ik - (1/2)g_ikR = 8pT_ik^elmag a pro sféricky symetrickou metriku (3.10) dostaneme podobným postupem jako při odvozování Schwarzschildova řešení opět dvě nezávislé diferenciální rovnice

dg_tt/dr = (1/r) g_tt (1 + g_rr - g_rr.Q²/r²) ,   dg_rr/dr = - (1/r) g_rr (1 + g_rr - g_rr.Q²/r²) . 

Řešení této soustavy je

g_tt = C₁(1 - C₂/r + Q²/r²) ,   g_rr = (1 - C₂/r + Q²/r² )^-1   ,    

kde ze stejných důvodů jako ve Schwarzschildově případě musí být integrační konstanty C₁=1 a C₂=-2M. Konečný výraz pro element prostoročasového intervalu sféricky symetrického gravitačního pole buzeného sféricky symetrickým tělesem o celkové hmotnosti M a elektrickém náboji Q má tedy tvar

(3.32)

v geometrodynamických jednotkách; v běžných jednotkách je to

(3.32')

Tato geometrie se nazývá Reissnerova-Nordströmova geometrie (R-N). Parametr M zde má opět význam celkové hmotnosti, parametr Q význam celkového elektrického náboje měřeného vzdáleným pozorovatelem pomocí Gaussových integrálních toků vektoru E, popř. pomocí analýzy pohybu nabitých testovacích částic. V případě 0<Q²<M² by R-N pole mohlo teoreticky popisovat elektricky nabitou černou díru (§4.4 "Rotující a elektricky nabité Kerrovy-Newmanovy černé díry").

Odvození gravitačně-elektrického řešení z principu nejmenší akce
Obecné odvození struktury prostoročasu za přítomnosti kombinovaného gravitačního + elektromagnetického pole se někdy provádí pomoci variačního principu nejmenší akce s použitím kombinovaného Lagrangiánu gravitačního L_G a elektrodynamického L_EL :
            L = L_G + L_EL = (R - 2L) - F_ikF^ik ...... ,
kde R je Ricciho skalární křivost, L kosmologická konstanta, F_ik je tenzor elektromagnetického pole.
Variační princip nejmenší akce pak dává Einsteinovy-Maxwellovy rovnice gravitačního a elektromagnetického pole :
            G_ik + Lg_ik = 1/2 g_ik...................., .............................
............... ...................

Vlastnosti Reissnerova-Nordströmova pole
R-N geometrie s prostoročasovou metrikou (3.32) je statickým sféricky symetrickým řešením Einsteinových-Maxwellových gravitačních rovnic. Tato geometrie je asymptoticky rovinná a její horizont má sférickou topologii. Je charakterizována hmotností M a elektrickým nábojem Q a je singulární v počátku r=0 radiální souřadnice.
  Podle vzájemného poměru hodnot M a Q můžeme v Reissnerově-Nordströmově prostoročase rozlišovat čtyři význačné případy lišící se globální geometrickou strukturou :
a) Při Q = 0, M > 0 dostáváme Schwarzschildovu geometrii z předchozího §3.4 ;
b) 0 < Q² < M² ;
c) 0 < Q² = M² ;
d) Q² > M² > 0 .
  Nejprve rozebereme případ 0 < Q² < M², který je fyzikálně nejzajímavější.
 Vnější a vnitřní horizont
Reissnerova-Nordströmova metrika (3.32) je značně podobná Schwarzschildově metrice (3.13), avšak liší se tím, že výraz

1 - 2 M r + Q²/r²       

je v případě 0 < |Q| < M roven nule pro dva "kořeny" r= r_g⁺ a r = r_g^- :

V obyčejných jednotkách jsou to hodnoty

V R-N geometrii tedy existují dva "horizonty", kde metrika (3.32) není regulární - "vnější" horizont r=r_g⁺ a "vnitřní" horizont r=r_g^-. Vnější horizont r=r_g⁺ má podobný význam jako Schwarzschildova sféra ve Schwarzschildově prostoročase je to horizont událostí, oddělující příčinně vnitřní oblast od vnější; z (3.33) vidíme, že za přítomnosti elektrického náboje je gravitační poloměr r_g⁺ menší než rg =2M ve Schwarzschildově případě. Pod r=r_g⁺ jsou světelné kužely obráceny dovnitř směrem k r=0 (protože gtt > 0) a zdálo by se, že každý objekt jež se tam dostane nutně skončí v singularitě r=0. Avšak na vnitřním horizontu r=r_g^- se světelné kužely opět začínají napřimovat (časová složka metrického tenzoru opět mění znaménko: g_tt < 0) - je zde tedy možný pohyb částice tak, aby se vyhnula singularitě (obr.3.20). Nemůže se však dostat přes vnější horizont (tj. horizont událostí) zpět do původního prostoročasu, ale nutně do "jiného vesmíru", který leží vzhledem k původnímu v absolutní budoucnosti (viz níže).

Obr.3.20 Kerrův prostoročasový diagram Reissnerovy-Nordströmovy geometrie (podobně bude situace vypadat i v Kerrově a Kerrově-Newmanově geometrii - §3.6). Vnější horizont r= rg+ je horizontem událostí (světelné kužely pod ním jsou obráceny dovnitř směrem k r=0). Pod vnitřním horizontem r= rg- se však světelné kužely začínají opět "napřimovat", takže světočára tělesa, které proniklo pod horizont r=rg+, nemusí nutně skončit v singularitě r=0.

Singulární chování metriky (3.32) ve standardních souřadnicích na těchto horizontech je opět jen zdánlivé a může být odstraněno přechodem k vhodnějším souřadnicím podobným Kruskalovým. S pomocí modifikované souřadnice r*

(3.34)

podobně jako při extenzi Schwarzschildovy geometrie zavedeme izotropní souřadnice p = t + r*, q= t - r*. Ty potom za účelem odstranění singulárního koeficientu v metrice dále přetransformujeme :

(3.34')

Po zavedem nových časových a prostorových souřadnic u = (q' - p')/2 a v = (q' + p')/2 má Reissnerova-Nordströmova metrika tvar

(3.35)

Po konformní transformaci (analogické (3.5) v §3.2) za účelem názornější prezentace asymptotické struktury bude Reissnerova-Nordströmova geometrie popsána intervalem

(3.35´)

Obr.3.21. Penroseův konformní prostoročasový diagram úplné extenze Reissnerovy-Nordströmovy geometrie pro případ Q²<M².
a) Souřadnicová síť - hyperplochy r=const. a t=const.
b) Globální geometrická struktura - nekonečně mnoho periodicky se opakujících vnějších oblastí ("vesmírů") A_{...,-1,1,2,..}, vnitřních oblastí B_{...,-1,1,2,..} a C_{...,-1,1,2,..}, horizontů a singularit.

Cestování do jiných vesmírů ?
Prostoročasový diagram konformního obrazu R-N geometrie pro fyzikálně nejpravděpodobnější případ 0 <|Q|< M je na obr.3.21. Geometrická struktura této úplné extenze Reissnerova-Nordströmova řešení je neočekávaně složitá. Objevuje se zde nekonečné množství periodicky se opakujících "vesmírů" (samostatných asymptoticky rovinných vnějších oblastí A_{…,-1,1,2,…}), horizontů a singularit. Oproti Schwarzschildově geometrii (obr.3.19), kde singularity jsou prostorového typu (a tedy pro každý objekt v oblasti B nevyhnutelné), jsou singularity Reissnerovy-Nordströmovy geometrie podle obr.3.21 časového typu - jsou takříkajíc "časově omezené" a lze se jim vyhnout.

Obr.3.22. Pozorovatel O pohybující se ve vnější asymptoticky rovinné oblasti A1 Reissnerova- Nordströmova prostoročasu má tři možnosti. Buďto se bude neustále pohybovat v A1 (plná čára), takže se v limitě dostane do I+ nebo do Á+. Pokud však pozorovatel pronikne pod horizont r=rg+ (čárkovaná tra jektorie) do vnitřní oblasti B1, projde i horizontem vnitřním r=rg- do oblasti C1, kde má dvě možnosti: buď narazí na singularitu (tečkovana dráha) kde je pohlcen a zničen, nebo se může vyhnout singularitě (čerchovaná trajektorie) a dostane se do další asymptoticky rovinné vnější oblasti A2. Situace v tomto dalším "vesmíru" A2 přitom není zcela určena počátečními podmínkami na Cauchyho hyperploše S, jak je vidět např. v bodě pÎA2.

Sledujme osud pozorovatele (jak je naznačeno na obr.3.22), který při svém pohybu Reissnerovým-Nordströmovým prostoročasem pronikl pod vnější horizont r = r_g⁺. Protože se dostal pod horizont událostí, nemůže se již nijak vrátit do původního vnějšího prostoru (oblasti A1) a má v podstatě dvě možnosti. Jednak doletět do singularity, kde jeho světočára (a tedy i jeho existence v rámci uvažované variety) definitivně skončí. To však není (na rozdíl od Schwarzschildova prostoročasu) nevyhnutelné, pozorovatel se může singularitě vyhnout a pohybovat se dále, až se objeví v druhé asymptoticky rovinné oblasti A₂, v druhém "vesmíru", který leží vzhledem k výchozímu A₁ v absolutní budoucnosti. Vidíme tedy, že reálný hmotný objekt pohybující se v R-N geometrii v rámci světelného kuželu může v principu "cestovat" mezi jednotlivými "vesmíry" *), aniž by musel projít singularitou (na rozdíl od Schwarzschildovy geometrie, kde Einsteinovým-Rosenovým mostem by se dalo projít pouze nadsvětelnou rychlostí).
*) Je třeba upozornit, že toto "cestování mezi různými vesmíry" (a samotná existence těchto dalších vesmírů) je možné pouze teoreticky v krajně idealizovaném modelu asymptoticky rovinného vesmíru bez jiných těles a polí, s přesnou Reissnerovou-Nordströmovou nebo Kerrovou geometrií. Kritické posouzení podobných možností bude v §4.4, část "Černé díry - mosty do jiných vesmírů?".
  Podíváme-li se na kauzální vztahy tohoto druhého vesmíru vzhledem k původnímu, vidíme, že vnitřní horizonty r=r_g^- jsou zároveň Cauchyovými horizonty. Vezmeme-li si nějakou událost P v oblasti A₂ a sledujeme, čím může být principiálně ovlivňována, vidíme, že sice může být ovlivňována geodetikami (např. G₁) přicházejícími z oblasti A₁ (a danými tedy počátečními podmínkami na vhodné Cauchyho hyperploše v A₁), avšak mohou tam rovněž "nekontrolovaně" přicházet nové informace geodetikami (např. G₂, G₃, G₄) z oblastí nekonečna minulosti I^-, Á^- a ze singularity, která je odtud "vidět". Tyto informace mohou narušit každou předpověď učiněnou na základě počátečních podmínek v oblasti A₁. Pozorovatel se tedy vynořil v oblasti prostoročasu (jiném "vesmíru"), který není jednoznačně určen počátečními podmínkami na žádné Cauchyho hyperploše v původní oblasti A₁.
  Zkonfrontujme to s deterministickou ideou klasické (nekvantové) fyziky, kterou zformuloval již Laplace: Kdybychom v určitém okamžiku zjistili všechny fyzikální veličiny ve všech místech vesmíru (tj. okamžitý stav vesmíru - úplný soubor počátečních podmínek na Cauchyho hyperploše) a znali fyzikální zákony, kterými se všechny tyto veličiny řídí, mohli bychom neomezeně předpovídat evoluci vesmíru, tj. jeho stav kdykoliv v budoucnosti (nebo i minulosti). V úplné extenzi Reissnerovy-Nordströmovy geometrie však toto není splněno, existují zde Cauchyho horizonty (a tedy neexistují globální Cauchyovy hyperplochy) a jsou zde proto oblasti, jejichž stav není jednoznačně určen žádným souborem počátečních podmínek. Pouze ve vnější asymptoticky rovinné oblasti lze jednoznačně "předvídat" budoucnost z parciálních Cauchyho hyperploch. Tedy i v klasické fyzice (na níž je Reissnerova-Nordströmova geometrie jakožto řešení Einsteinových rovnic založena) může být možnost předvídat budoucnost omezena nejen praktickou nedostupností fyzikálních veličin ve všech místech vesmíru v určitém časovém okamžiku, ale principiálně též globální geometricko-topologickou strukturou prostoročasu.
 Nestabilita vnitřního Cauchyova horizontu vůči perturbacím; "Mass inflation" ?
Shora uvedený scénář možnosti cestování pozorovatele skrze vnitřní Cauchyův horizont do jiného asymptoticky plochého vesmíru předpokládá, že tento vnitřní horizont je stabilní při zhruba neměnných parametrech černé díry (zde hmotnosti a náboje). Pertubační analýza však ukázala, že může vykazovat nestabilitu a dokonce divergenci. Již prostá analýza dopadajících radiovln ukazuje, že tyto vlny se při cestě do nitra černé díry zahustí a vykazují silné gravitační a dopplerovské frekvenční modré-fialové posuny. Toto zesilování ve směru k vnitřnímu Cauhyho horizontu pokračuje do nekonečna, což vede k její nestabilitě i vůči malé vnější perturbaci. A podrobnější perturbační analýzy potvrdily, že tato exponenciální divergence může vést na singularitu. Padající cestovatel tedy nepřežije setkání a průchod vnitřním Cauchyovým horizontem..?..
  Nebo jiná argumentace: Na obr.3.21 každý bod oblasti B mezi r_g⁺ a r_g^- (kde plochy r=const. jsou prostorového typu) reprezentuje dvojrozměrnou kulovou plochu, která je uzavřenou pohlcující plochou (viz definici 3.10). Pozorovatel O při svém průchodu plochou r=r_g^- (obr.3.22) uvidí celou další historii asymptoticky rovinné vnější oblasti A₁, kterou opouští, za konečný čas. Každé těleso z této oblasti proto bude vidět s neomezeně narůstajícím fialovým posuvem. Z toho plyne, že Cauchyho horizont r=r_g^- je nestabilní vůči perturbacím počátečních podmínek na výchozí prostorové hyperploše S [192]. Je jasné, že "kosmologické" otázky evoluce "vesmíru" A₁, který pozorovatel opouští, budou pro něj velmi důležité. Jestliže vesmír A₁ bude v budoucnu třebas kolabovat, nevyhne se tomuto osudu ani pozorovatel O; na horizontu r=r_g^- se setká s nekonečnou hustotou hmoty~energie, tedy nakonec vlastně se singularitou.
  Tato hmotnostní nestabilita vnitřního Cauchyova horizontu se někdy poněkud zavádějícím způsobem nazývá "Mass inflation", s analogií na inflační expanzi vesmíru.

Obr.3.23. Penroseův konformní prostoročasový diagram úplné extenze Reissnerovy-Nordströmovy geometrie pro případ Q² = M².
a) Hyperplochy (souřadnicové čáry) r = const. a t = const.
b) Globální geometrická struktura - nekonečně mnoho periodicky se opakujících vnějších oblastí A a vnitřních oblastí B.

Extrémní R-N geometrie
Pro případ Q = M má příslušný konformní prostoročasový diagram úplné extenze Reissnerovy-Nordströmovy geometrie tvar znázorněný na obr.3.23. Je vidět opět nekonečně mnoho periodicky se opakujících "vnějších" oblastí A (M<r<Ą) a vnitřních oblastí B (0<r<M). Vnější a vnitřní horizonty splývají (r_g^- = r_g⁺ = M), jedná se o speciální případ extrémní černé díry (viz §4.4).

Obr.3.24. Penroseův konformní prostoročasový diagram Reissnerovy-Nordströmovy geometrie v případě Q²> M².
a) Souřadnicové čáry - hyperplochy r=const. a t=const.
b) Globální geometrická struktura - tvary světelných kuželů a radiální pohyb těles a fotonů. Nejsou zde horizonty, singularita r=0 je "nahá" (je viditelná z kteréhokoliv světobodu).

R-N nahá singularita
V případě Q² > M² není třeba žádnou extenzi hledat, protože prostoročas je nerozšiřitelný již v původních souřadnicích; je všude regulární kromě bodu r=0 - neodstranitelné fyzikální singularity prostoročasu. Konformní prostoročasový diagram pro tento případ je na obr.3.24. Horizont událostí zde není, jedná se o nahou singularitu (viz §3.9 a §4.4).

Zobecněné Reissnerovo-Nordströmovo řešení v nelineární elektrodynamice
V §1.6, závěrečné pasáži "Nelineární elektrodynamika", byla diskutována teoretická možnost, že elektrické pole by se při extrémně vysokých intenzitách nemuselo chovat přesně lineárně podle zákonitostí standardní Maxwellovy elektrodynamiky, ale mohla by existovat fundamentální hranice - maximálně možná intenzita elektrického pole E_max. Tato alternativní možnost by se mohla výrazně (se zajímavými důsledky) uplatnit v Reissner-Nordströmově řešení, jakož i v Kerr-Newmanově geometrii (§3.6) - a obecně v černých dírách (příp. i v dalších kompaktních objektech jako jsou neutronové hvězdy a jejich speciální případy magnetary) s velmi silnými elektrickými a magnetickými poli (§4..., §.....) .......
  Nahradíme-li při odvozování statického sféricky symetrického Reissner-Nordströmova elektro-gravitačního řešení (3.32), kterému je věnován tento §3.5, standardní Maxwellovu elektrodynamiku nelineární Born-Infeldovou elektrodynamikou (1.120) - buď s použitím lagrangiánu (1.119) nebo tenzoru energie hybnosti elektromag. pole, dostaneme zobecněné Reissner-Nordströmovo řešení :

(3.36)

Funkce f(r,Q) vyjadřuje vliv elektrického pole na metriku. Intenzita elektrického pole v B-N elektrodynamice závisí na radiální souřadnici r podle zákona E(r) = Q/Ö(r⁴ + Q².b²). Při b=0, t.j. bez elektrické nelinearity, je f(r,Q) = Q²/r² - dostáváme základní R-N geometrii (3.32) s Coulombovskou elektrickou intenzitou E(r) = Q/r².
  Integrál obsažený ve funkci f(r,Q) lze explicitně vyjádřit pomocí dvou druhů speciálních funkci

(3.36´)

kde "F(...)" je Legenderova eliptická funkce 1.druhu a "₂F₁(...)" je je tzv. hypergeometrická funkce (složitější mocninná řada z Q²b²/r⁴). Konkrétní hodnoty těchto složitých funkcí lze pro fyzikální výpočty nalézt ve speciálních tabulkách, v poslední době pro ně existují i počítačové programy.
  Tento prostoročas zobecněného R-N řešení s metrikou (3.36), který je řešením Einstein-Born-Infeldových rovnic, je charakterizován třemi parametry: hmotností M, nábojem Q a Born-Infeldovým parametrem nelinearity "b" (jehož inverzní hodnota udává konečnou hodnotu intenzity elektrického pole v počátku souřadnic r=0). I při b>0 ve větších vzdálenostech r>0 asymptoticky přechází v R-N řešení.
......................
Je zajímavé, že v řešení nelineární elektrodynamiky představují nulové (izotropní) geodetiky jen dráhy (hypotetických-modelových) gravitonů, obecně však nikoli fotonů! Dráhy fotonů zde mohou být totiž ovlivňovány "samointerakcí" s nelineárním elektromagnetickým polem... ........... ...........
....... .. ..................

3.4. Schwarzschildova geometrie		3.6. Kerrova a Kerrova-Newmanova geometrie

Vojtěch Ullmann