Rovinný prostoročas a vlastnosti nekonečna

AstroNuklFyzika ® Jaderná fyzika - Astrofyzika - Kosmologie - Filosofie

Kapitola 3
GEOMETRIE A TOPOLOGIE PROSTOROČASU
3.1. Geometricko-topologické vlastnosti prostoročasu
3.2. Minkowského rovinný prostoročas a asymptotická struktura
3.3. Cauchyova úloha, příčinnost a horizonty
3.4. Schwarzschildova geometrie
3.5. Reissnerova-Nordströmova geometrie
3.6. Kerrova a Kerrova-Newmanova geometrie
3.7. Prostoročasové singularity
3.8. Hawkingovy a Penroseovy teorémy o singularitách
3.9. Nahé singularity a princip "kosmické cenzury"

3.2. Minkowského rovinný prostoročas a asymptotická struktura

Nejdůležitější skupinou prostoročasů jsou asymptoticky rovinné prostoročasy, které (jak jsme si řekli v §3.1) dobře modelují skutečnost téměř všude s výjimkou kosmologie. Nejjednodušším takovým prostoročasem je rovinný (všude, nejen asymptoticky) Minkowskiho prostoročas. Na Minkowského prostoročase si jednoduše ukážeme jeho asymptotické vlastnosti; získané poznatky o této asymptotické struktuře pak budou platit pro každý asymptoticky plochý prostoročas a budeme je tedy v dalším často využívat.

Minkowskiho rovinný prostoročas, který je prostoročasem speciální teorie relativity, je nejjednodušším triviálním řešením Einsteinových gravitačních rovnic (bez kosmologického členu) pro vakuum při nulových okrajových podmínkách. V Minkowskiho prostoročase existuje globální inerciální (Galileovská) vztažná soustava, ve které má metrika v kartézských souřadnicích tvar

ds² = - (dx^o)² + (dx¹)² + (dx²)² + (dx³)² ş -dt² + dx² + dy² +dz² .

(3.3)

Metrický tenzor je zde tedy

g^ik =	/	-1	0	0	0	\	ş h^ik ;	(3.3')
	\|	0	1	0	0	\|
	\|	0	0	1	0	\|
	\	0	0	0	1	/

všechny složky tenzoru křivosti Rⁱ_klm jsou rovny nule. Geodetikami jsou přímky, slapové síly jsou nulové, gravitace v obvyklém smyslu zde neexistuje.

Při použití sférických prostorových souřadnic r, J, j nabývá metrika (3.3) Minkowskiho prostoročasu tvar

ds² = -dt² + dr² + r²(dJ² + sin²J dj²) .

(3.4)

Prostoročasový diagram Minkowskiho prostoročasu v těchto souřadnicích je na obr.3.6. Dva rozměry spojené s J a j jsou vynechány; rozměr j by se však dal získat rotací kolem osy t. Při radiálním pohybu jsou izotropní (nulové, světelné) geodetiky přímky svírající úhel 45° se svislou časovou osou t, geodetiky časového typu jsou rovněž přímky svírající s osou t úhel menší než 45° (leží uvnitř světelného kuželu).

Obr.3.6. Prostoročasový diagram Minkowskiho prostoročasu ve sférických souřadnicích t,r,J,j s vypuštěnými J a j. Šipky směřují do jednotlivých typů nekonečna.

Oblasti nekonečna v prostoročase

Pokud předpokládéme obvyklou eukleidovskou topologii, můžeme při asymptotické analýze oblasti nekonečna t ®±Ą, r ®Ą Minkowskiho prostoročasu považovat za množinu limitních ("koncových") bodů kongruence geodetik jdoucích od r=0 na všechny strany (budou to tedy geodetiky všech tří typů - časové, izotropní i prostorové). Rovnice takových radiálních geodetik budou mít tvar r = |v.t + C|, kde v ł 0 je "rychlost" a C ł 0 je konečná konstanta udávající, jakým r prochází daná geodetika v čase t=0. Pro v < 1 se jedná o geodetiku časového typu, pro v=1 o izotropní (nulovou čili světelnou) geodetiku a při v > 1 je to myšlená geodetika prostorového typu. Asymptotické chování těchto geodetik budou určovat limity veličin r, r+t a r-t při t®±Ą .

Pro dostatečně velké kladné t (vzdálená budoucnost) můžeme psát

r = v.t + C , r + t = (v+1).t + C , r - t = (v-1).t + C , (t >>0)

a pro dostatečně velké záporné t (vzdálená minulost) je

r = -v.t - C , r+ t = (1-v).t - C , r- t = -(1+v).t - C . (t << 0)

Pro světočáry časového typu (0 < v < 1) bude .

t ® Ą Ţ r®Ą , r + t ®Ą, r - t ®-Ą ;
t®-Ą Ţ r®Ą , r + t ®-Ą, r - t ®Ą ;

pro speciální případ v=0 platí totéž, jen místo r®Ą je r=C. Pro světočáry prostorového typu (v > 1) :

t ® Ą Ţ r®Ą , r + t ®Ą, r - t ®Ą ;
t®-Ą Ţ r®Ą , r + t ®Ą, r - t ®Ą .

Pro izotropní geodetiky (v=1) bude

t ® Ą Ţ r®Ą , r + t ®Ą , r - t = C ;
t®-Ą Ţ r®Ą , r + t = -C, r - t®-Ą .

V souvislosti s tím můžeme při asymptotické analýze oblasti nekonečna Minkowskiho prostoročasu (stejně jako každého jiného asymptoticky plochého prostoročasu) rozdělit na tři základní typy, jak je šipkami naznačeno na obr.3.6:

a) Časové nekonečno budoucnosti I⁺ a minulosti I^-, kde r+t®Ą, r-t®-Ą, resp. r+t®-Ą, r-t®Ą . Můžeme si představit, že z I^- přicházejí částice po světočárách časového typu a odcházejí do I⁺.
b) Prostorové nekonečno I°, což j e oblast, kde r®Ą, r-t®Ą, r+t®Ą (není rozlišeno prostorové nekonečno "minulosti" a "budoucnosti"). Je to oblast, kam sahají hyperplochy prostorového typu.
c) Izotropní (nulové, světelné) nekonečno budoucnosti Á⁺ a minulosti Á^-, což jsou oblasti, kde r+t®Ą při konečné hodnotě r-t, resp. kde r-t®-Ą při konečné hodnotě r+t. Z Á^- přicházejí a do Á⁺ se šíří nulové geodetiky, např. fotony (světelné paprsky), gravitony a další částice s nulovou klidovou hmotností.

Protože každý asymptoticky plochý prostoročas má asymptotickou strukturu shodnou s prostoročasem Minkowského, bude uvedená klasifikace oblastí nekonečna platit obecně pro asymptoticky rovinné prostoročasy.

Pro přehledné znázornění asymptotické struktury Minkowskiho prostoročasu je užitečné použít Penroseovu konformní metodu zmíněnou v §3.1. Provedeme konformní transformaci pomocí funkce arkustangens aplikované na veličiny t+r a t-r, určující typ asymptotických oblastí:

h = arctg(t+r) + arctg(t-r) , c = arctg(t+r) - arctg(t-r) .

(3.5)

Jedná se o transformaci z původních časových t a prostorových radiálních r souřadnic na nové souřadnice h a c, které mají konečné hodnoty i pro nekonečné t a r. Po tomto konformním zobrazení má metrika (3.3) tvar

ds² = {1/(4cos²[(h+c)/2].cos²[(h-c)/2])} (dc² - dh² ) + r²(dJ² + sin²J dj²) ,

(3.6)

kde r(h,c) = (1/2) [tg (h+c/2) - tg (h-c/2)] .

Obr.3.7. Konformní (Penroseův) prostoročasový diagram Minkowskiho prostoročasu s vynechanými souřadnicemi J a j.
a) Souřadnicové čáry ve vztahu k původním souřadnicím t a r.
b) Tvary světelných kuželů a izotropní i časové geodetiky.
c) Konformní obraz Minkowskiho prostoročasu na válcové ploše (která může reprezentovat statický Einsteinův model vesmíru).

Konformní prostoročasový diagram Minkowskiho prostoročasu v souřadnicích h a c je znázorněn na obr.3.7. Celý nekonečný Minkowskiho prostoročas je zobrazen na konečnou oblast omezenou trojúhelníkem (ve skutečnosti tedy "dvojkuželem") s vrcholy h = ± p, c = p. Jednotlivé oblasti nekonečna jsou zobrazeny na vrcholy a strany trojúhelníka (tj. na vrcholy a pláště kuželů) - hranice konformního obrazu :

I⁺ ş (c = 0, h = p) , I^- ş (c = 0, h = -p) , I° ş (c = p, h = 0)
Á⁺ ş (c , h | c+h = p, -p < h - c < p)
Á^- ş (c , h | c-h = -p, -p < h + c < p) .

(3.7)

Strukturu uvedeného konformního obrazu Minkowskiho prostoročasu ještě lépe zachycuje obr.3.7c ve formě dvou trojúhelníků podle obr.3.7a,b takových, že jejich vrcholy I° jsou ztotožněny. Kdyby totiž nebyly na souřadnice h a c kladeny omezující podmínky -p < h + c < p, -p < h - c < p, mohli bychom považovat rovnici (3.6) za rovnici válce. Příslušná omezení pak znamenají, že se jedná o část válcové plochy tak, jak je znázorněno na obr.3.7c.


3.1. Geometricko-topologické vlastnosti prostoročasu		3.3. Cauchyova úloha, příčinnost a horizonty

Gravitace, černé díry a fyzika prostoročasu :
Gravitace ve fyzice	Obecná teorie relativity	Geometrie a topologie
Černé díry	Relativistická kosmologie	Unitární teorie pole
Antropický princip aneb kosmický Bůh
Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření
AstroNuklFyzika ® Jaderná fyzika - Astrofyzika - Kosmologie - Filosofie

Vojtěch Ullmann