Lokální princip ekvivalence a jeho důsledky

AstroNuklFyzika ® Jaderná fyzika - Astrofyzika - Kosmologie - Filosofie

Jak jsme si ukázali v předchozím odstavci, Einstein plně pochopil a zobecnil univerzálnost gravitačního působení na všechny fyzikální jevy v principu ekvivalence, který je základem obecné teorie relativity:

Gravitační pole v každém místě je lokálně ekvivalentní (pro všechny fyzikální děje) situaci, kdy není žádné gravitační pole, ale vztažná soustava (pozorovatel) v tomto bodě se pohybuje s příslušným zrychlením - je neinerciální.

Homogenní gravitační pole lze beze zbytku "imitovat" kinematickým polem setrvačných sil v neinerciální vztažné soustavě; přitom je vždy možno nalézt takovou vztažnou soustavu, v níž se volná tělesa pohybují jako kdyby pole nebylo. Pro skutečná (nehomogenní - permanentní) gravitační pole toto již možné není, protože neexistuje vztažná soustava anulující intenzitu takového pole ve všech bodech. Avšak v dostatečně malém okolí každého bodu lze gravitační pole libovolného původu a struktury považovat za homogenní, a tedy za kinematické.

Jinými slovy, gravitační a setrvačné síly mají stejné fyzikální vlastnosti. Záhadné gravitační síly se tak podařilo popsat pomocí zdánlivých setrvačných sil, se kterými si již může poradit speciální teorie relativity (jak bylo ukázáno v §2.1). Lokální princip ekvivalence je tak spojovacím můstkem mezi gravitační a negravitační fyzikou.

Přímým důsledkem univerzálnosti gravitačního působení je možnost vždy a v každém místě zavést lokálně inerciální soustavu - vztažnou soustavu spojenou s tělesem volně "padajícím" v gravitačním poli (např.kabina volně se pohybující družice) - ve které panuje stav "beztíže" pro všechny fyzikální děje. A to v jakkoli silném gravitačním poli, dokonce třebas uvnitř černé díry! Velikost této lokálně inerciální soustavy ovšem závisí na tom, jak homogenní je dané gravitační pole, abychom mohli s požadovanou přesností zanedbat vliv jeho nehomogenit v příslušném místě. Pro zcela homogenní pole je tato velikost neomezená - lokálně inerciální soustava je zároveň globální inerciální soustavou. Homogenní gravitační pole udílející všem tělesům všude totéž zrychlení proto není fyzikálně rozlišitelné od zdánlivého pole vznikajícího bez přítomnosti gravitace v rovnoměrně zrychlené vztažné soustavě, není tedy vůbec pozorovatelné *). Naopak, v silně nehomogenním gravitačním poli (např. hluboko uvnitř černé díry v blízkosti singularity) může být lokálně inerciální soustava již tak malá, že neobsáhne ani rozměry elementární částice. A konečně v samotné singularitě prostoročasu (viz §3.7) nelze již zavést lokálně inerciální soustavu, protože zde neexistují žádné regulární vztažné soustavy, nelze zde provádět žádná fyzikální měření, neexistuje vůbec regulární prostoročas. To je též jediný případ omezující použitelnost principu ekvivalence.
*) Je to podobné jako u potenciálu v elektrostatice, kde elektrické pole mající všude stejný nenulový potenciál je nulové, a změna potenciálu ve všech místech o stejnou hodnotu nijak nezmění existující elektrické pole; skutečná intenzita pole je dána gradientem potenciálu. Podobně skutečné gravitační pole se od čistě kinematického pole "zdánlivých sil" liší svojí nehomogenitou.

Můžeme tedy vyslovit na první pohled poněkud paradoxně znějící tvrzení: "Existence stavu beztíže je základní charakteristickou vlastností tíže". Je to však skutečně tak, protože u žádného jiného fyzikálního pole se s ničím podobným nesetkáváme. Jelikož v lokálné inerciální soustavě je v nekonečně malém okolí jejího počátku dokonalý stav beztíže a gravitační síly zde neexistují pro žádný fyzikální děj, budou v ní všechny fyzikální jevy lokálně probíhat podle zákonů negravitační fyziky, tj. podle zákonů speciální teorie relativity bez gravitačního pole. To je vlastně jinými slovy vyjádřený princip ekvivalence.

Postup jak nalézt fyzikální zákony za přítomnosti gravitačního pole podle této koncepce tedy sestává z následujících čtyř etap :

a) Rozdělit prostoročas na dostatečně malé oblasti, v jejichž rámci lze gravitační pole považovat za homogenní.

b) Pro každou takovou oblast zavést lokálně inerciální vztažnou soustavu a podle principu ekvivalence v ní použít zákonů speciální teorie relativity.

c) Vhodnou transformací prostoročasových souřadnic v těchto zákonech přejít k příslušné neinerciální vztažné soustavě, v níž vzniklé "fiktivní" síly budou lokálně totožné se skutečnými gravitačními silami v daném místě (pro danou výchozí vztažnou soustavu).

Jinými slovy, problém stanovení vlivu gravitace na fyzikální děje se rozloží na řadu lokálních problémů, které lze na základě principu ekvivalence řešit v rámci speciální teorie relativity. Jak se tento program realizuje v praxi pro jednotlivé fyzikální zákony bude nastíněno v následujícím odstavci. Zde si jen ukážeme, k jakým souvislostem mezi gravitací a vlastnostmi prostoročasu princip ekvivalence vede.

Protože dráha tělesa v gravitačním poli vůbec nezávisí na hmotnosti, tvaru ani struktuře tělesa, je tato trajektorie charakteristikou spíše daného (obklopujícího) prostoročasu než sledovaného tělesa. Princip ekvivalence ukazuje, že gravitační pole lze vyčerpávajícím způsobem (pro všechny fyzikální jevy) lokálně popsat pomocí kinematiky. Pojmem, který nám vyjadřuje univerzální pohybové vlastnosti těles (kinematiku) a průběhu fyzikálních dějů vůbec, je prostoročas, jeho geometrické vlastnosti. Tvrzení "každé těleso ve svém okolí prostřednictvím gravitace ovlivňuje univerzálně všechny fyzikální děje" je ekvivalentní výroku: "toto těleso ve svém okolí ovlivňuje vlastnosti prostoročasu". Jinak řečeno, všechno bude vypadat úplně stejně, když místo gravitačního pole a vyšetřování jeho vlivu na fyzikální zákony budeme uvažovat geometrickou strukturu prostoročasu bez gravitačního pole a sledovat souvislosti fyzikálních zákonů s vlastnostmi prostoročasu. Logický řetězec gravitace ® kinematika ® prostoročas tak vede k interpretaci gravitace jako projevu geometrických vlastností prostoročasu, vlastně ke ztotožnění obou pojmů *).
*) S takovým ztotožněním někteří fyzikové (a filosofové) [185] nesouhlasí a zakřivení prostoročasu považují jen za jeden z projevů gravitace. Důsledné vyvození závěrů z principu ekvivalence však ukazuje, že gravitační pole opravdu není ničím jiným než zakřiveným prostoročasem (viz též "dodatek B" o unitární teorii pole).

V Minkowskiho prostoročase STR platí zákony (pseudo)Eukleidovy geometrie, je to prostoročas rovinný (plochý). Existují zde globální inerciální soustavy, které se vůči sobě pohybují rovnoměrně přímočaře; každá lokálně inerciální vztažná soustava je automaticky i globálně inerciální. V nehomogenním gravitačním poli (kolem gravitujícího tělesa) se však lokální inerciálnosti dosahuje v každém bodě zrychlením obecně jiné velikosti a směru, takže takové lokálně inarciální soustavy nelze spojit v globálně inerciální vztažnou soustavu.

Souvislosti mezi globálně inerciální, neinerciální a lokálně inerciální soustavou za přítomnosti gravitace může názorně ukázat jednoduchý myšlený experiment podle obr.2.5. Z "inerciální" soustavy S vyšleme dvě rakety A a B, které se po vypnutí motorů budou dále pohybovat setrvačností. Někde ve velké vzdálenosti raketa A nechť samovolně (třebas vlivem poruchy palubní elektroniky) spustí boční regulační motor a nechá jej zapnutý, takže raketa se bude pohybovat nerovnoměrně - po kruhové dráze. Raketa B nechť se někde daleko od místa svého startu dostane do gravitačního působení velmi hmotného tělesa M (třebas planety nebo vyhaslé hvězdy), kolem něhož začne obíhat po kruhové dráze. Pozorovatel z "inerciální" soustavy S (o níž si myslí, že je globálně inerciální) zpozoruje, např. pomocí analýzy radiových signálů, že obě rakety se začaly pohybovat neinerciálně - po uzavřených drahách. Poletí se za nimi podívat.

Obr.2.5. Ke vztahu mezi inerciální, neinerciální a lokálně inerciální vztažnou soustavou.
Rakety A a B, které v myšleném pokusu odstartují z "inerciální" vztažné soustavy S se vzhledem k ní po čase začnou pohybovat neinerciálně. U rakety A je příčinou zapnutí bočního motoru, raketa B je zachycena na oběžnou dráhu kolem gravitujícího tělesa M. Vztažná soustava S_A je neinerciální, ale soustava S_B je lokálně inerciální; proto za přítomnosti gravitujících těles ani soustavu S nelze považovat za globálně inerciální.

Nejdříve přiletí k raketě A, vstoupí do ní a snadno pochopí příčinu jejího nerovnoměrného pohybu: zapnutý boční motor, který působí silou "tahu" kolmo na směr pohybu. Vztažná soustava S_A spojená s touto raketou je neinerciální (volná tělesa se vůči ní budou pohybovat se zrychlením); totéž by platilo kdyby příčinou nebyl zapnutý motor, ale třebas velmi silně elektricky nabité těleso, kolem něhož by opačně nabitá raketa obíhala - zde by se tělesa se specifickým nábojem odlišným od specifického náboje rakety pohybovala vzhledem k ní se zrychlením. Potom pozorovatel přiletí k raketě B a vstoupí do ní. Zde však žádnou příčinu nerovnoměrného pohybu neuvidí a s překvapením zjistí, že soustava S_B spojená s touto raketou je (lokálně) inerciální: je zde "stav beztíže", všechna volná tělesa v kabině rakety se pohybují rovnoměrně, akcelerometr ukazuje nulovou hodnotu. Je to důsledkem univerzálnosti gravitačního působení tělesa M, jak bylo ukázáno v minulém odstavci.

Případ rakety A je v pořádku, příčinou nerovnoměrného pohybu je neuniverzální síla, vztažná soustava S_A spojená s raketou A je neinerciální, zatímco soustavu S můžeme nadále považovat za inerciální. Jinak je tomu s raketou B. S ní spojená vztažná soustava S_B je lokálně inerciální, avšak pohybuje se vůči původní "inerciální" soustavě S nerovnoměrně! V globální inerciální soustavě se ale všechny lokálně inerciální soustavy (jež jsou zároveň i globálně inerciální) musejí pohybovat vzhledem k sobě rovnoměrně. Vidíme tedy, že žádná vztažná soustava S ve které jsou gravitující tělesa, již nemůže být globálně inerciální, protože jednotlivé lokálně inerciální soustavy se zde vůči sobě mohou pohybovat se zrychlením. Globální inerciální soustava zde neexistuje. To, že v nehomogenním gravitačním poli nelze jednotlivé lokálně inerciální vztažné soustavy spojit v globálně inerciální soustavu ukazuje, že prostoročas zde již není rovinný (jako ve STR), ale je zakřivený.

V §2.1 bylo ukázáno, že pole fiktivních setrvačných sil vznikajících v neinerciálních vztažných soustavách lze popsat metrickým tenzorem g_ik, který pak vystupuje v obecně invariantních fyzikálních zákonech. Rozdíl mezi polem "zdánlivých" setrvačných sil (např. odstředivých a Coriolisových sil v rotující vztažné soustavě) a "pravým" gravitačním polem je jen v tom, že v prvním případě je prostoročas plochý a vhodnou transformací se lze vrátit ke globální inerciální soustavě, zatímco v druhém případě nikoliv. To je rozdíl pouze globální, lokálně žádný rozdíl neexistuje. A protože fyzikální zákony mají lokální charakter, můžeme z toho usoudit, že i skutečné gravitační pole zároveň s polem "fiktivních" setrvačných sil v libovolné vztažné soustavě je plně určeno a popsáno metrickým tenzorem prostoročasu g_ik.

Obdobný postoj ke zdánlivě zásadnímu rozdílu mezi setrvačnými silami (které vznikají zrychleným pohybem vztažné soustavy - a zase zanikají při přechodu k vhodné inerciální soustavě) a skutečnými gravitačními silami které nelze v celém prostoru zrušit transformací vztažné soustavy, má těsnou analogii v magnetismu. Magnetické pole kolem permanentních magnetů nebo vodičů s elektrickým proudem nelze v celém rozsahu anulovat transformací souřadné soustavy; v tomto smyslu se takové magnetické pole podobá gravitačnímu poli v okolí hmotných těles. Naproti tomu magnetické pole vznikající pohybem nabitého tělesa vymizí při přechodu ke vztažné soustavě pohybující se spolu s tělesem (zde zůstává pouze elektrostatické pole). Rovněž magnetické pole vyvolané konvekčním proudem stejně rychle se pohybujících nábojů lze globálně anulovat přechodem ke vztažné soustavě pohybující se stejnou rychlostí jakou proudí náboje. Pro magnetická pole buzená konvekčními proudy i pro magnetická pole kolem permanentních magnetů a proudů kondukčních však platí stejné zákony a proto není důvodu je považovat za fyzikálně odlišné. Stejně tak není příčin fyzikálně rozlišovat "zdánlivé" pole setrvačných sil od "skutečného" gravitačního pole kolem hmotných těles.

Když to shrneme, v libovolném gravitačním poli lze zavést řadu lokálně inerciálních vztažných soustav (v každém bodě) v nichž je stav beztíže a všechny fyzikální děje v nich probíhají lokálně podle zákonů speciální teorie relativity bez gravitace. Ve skutečném (nehomogenním) gravitačním poli budou mít jednotlivé lokálně inerciální soustavy různá zrychlení a tím i proměnné vzájemné rychlosti, takže podle Lorentzových transformací budou v různých místech odlišné prostorové relace a jiný běh času. Přitom jednotlivé lokální inerciální soustavy obecně nelze spojit v jednu globální inerciální soustavu - prostoročas již není rovinný Eukleidovský, ale zakřivený Riemannovský. Univerzálnost gravitačního působení vyjádřená v principu ekvivalence tak vede k hlubokým souvislostem mezi gravitací a geometrií:

Gravitace, černé díry a fyzika prostoročasu :
Gravitace ve fyzice	Obecná teorie relativity	Geometrie a topologie
Černé díry	Relativistická kosmologie	Unitární teorie pole
Antropický princip aneb kosmický Bůh
Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření
AstroNuklFyzika ® Jaderná fyzika - Astrofyzika - Kosmologie - Filosofie


2.2. Univerzálnost gravitace		2.4. Fyzikální zákony v zakřiveném prostoročase

Princip ekvivalence – gravitační pole je projevem křivosti prostoročasu