Gradienty gravitačních sil – fokusace geodetik

Kapitola 2
OBECNÁ TEORIE RELATIVTITY
- FYZIKA GRAVITACE
2.1. Zrychlení a gravitace z hlediska speciální teorie relativity
2.2. Univerzálnost - základní vlastnost a klíč k pochopení podstaty gravitace
2.3. Lokální princip ekvivalence a jeho důsledky
2.4. Fyzikální zákony v zakřiveném prostoročase
2.5. Einsteinovy rovnice gravitačního pole
2.6. Deviace a fokusace geodetik
2.7. Gravitační vlny
2.8. Specifické vlastnosti gravitační energie
2.9.Geometrodynamická soustava jednotek
2.10. Experimentální ověřování teorie relativity a gravitace

2.6. Deviace a fokusace geodetik
Nyní, když již máme k dispozici Einsteinovy rovnice gravitačního pole, se ještě na chvíli vrátíme k otázce vlivu gravitačního pole na pohyb těles, kterou jsme načali v §2.4. Homogenní gravitační pole lze v celém prostoru "odfiltrovat" přechodem ke globální inerciální soustavě. I v nehomogenním gravitačním poli lze podle principu ekvivalence zavést lokální inerciální soustavu, v níž budou všechny fyzikální děje probíhat (lokálně) podle zákonů speciální teorie relativity. Protože tedy gravitační pole lokálně neexistuje, vzniká otázka, jakým způsobem vlastně skutečné (nehomogenní) gravitační pole působí na fyzikální děje? Neboli jinak: jak se na fyzikálních zákonech projevuje zakřivení prostoročasu? Jak vůbec rozlišíme efekty gravitace od vlivu vztažné soustavy? Je jasné, že lokálně nijak. Proto je třeba ke studiu vlivu gravitace použít nelokální přístup. Např. místo jedné testovací částice (kterou je možno vždy považovat za lokálně volnou a která nám tedy nic neřekne o zakřivení prostoročasu) budeme sledovat rozdílnost chování dvou testovacích částic.

Gradienty gravitačních sil, deviace geodetik
Mějme dvě testovací částice, z nichž jedna je umístěna v bodě x ⁱ (tu budeme považovat za vztažnou) a druhá v blízkém bodě x ⁱ + e ⁱ, kde e ⁱ je čtyřvektor prostoročasové "odlehlosti" těchto dvou testovacích částic. Jestliže obě blízké testovací částice necháme volně spolu "padat" v gravitačním poli (obr.2.17), budou se pohybovat po světočárách x ⁱ (l) a x ⁱ (l) + e ⁱ(l) (čtyřvektor eⁱ(l) spojuje body obou trajektorií se stejným l), které jsou geodetikami :

Jestliže tyto rovnice od sebe odečteme a vypustíme členy vyššího řádu v eⁱ (máme na mysli limitní přechod eⁱ ® 0), dostaneme

Obr.2.7. Dvě blízké testovací částice volně vedle sebe "padající" v gravitačním poli (zakřiveném prostoročase) se budou pohybovat po geodetikách které nebudou zcela paralelní, ale budou se vzájemně odchylovat (deviace geodetik).

Zajímá nás rozdílnost pohybu obou testovacích částic (deviace obou geodetik), tedy kovariantní derivace jejich odchylky eⁱ. S použitím vztahu (2.15) pro kovariantní (absolutní) derivaci vektoru podél křivky dostaneme konečný výsledek

což je tzv. rovnice deviace geodetik. Podle ní dvě tělesa volně padající vedle sebe v nehomogenním gravitačním poli se budou vůči sobě vzájemně přibližovat nebo oddalovat (jejich geodetiky se budou vůči sobě odchylovat), přičemž vzájemné zrychlení obou částic D²eⁱ/dl² je úměrné tenzoru křivosti Rⁱ_klm. Složky tenzoru křivosti tedy popisují gradienty gravitačních sil (slapové síly). V rovinném prostoročase jsou všechny složky tenzoru křivosti rovny nule - nedochází k deviaci geodetik.

Pro získání úplnějšího obrazu o vlivu gravitace na pohyb hmoty přejděme nyní od dvojice blízkých geodetik k celé kongruenci takových geodetik. Můžeme si to představit tak, že v každém bodě prostoru je umístěna bodová testovací částice a jejich světočáry tvoří v prostoročase tuto kongruenci geodetik - každým bodem (událostí) prostoročasu prochází určitá geodetika. Stanovíme-li pro každou geodetiku v každém jejím bodě jednotkový tečný vektor Vⁱ, dostáváme pro kongruenci geodetik celé pole tečných vektorů Vⁱ(x^k). Rozbíhavost" (divergence), resp. "sbíhavost" (konvergence) C geodetik v dané kongruenci je určena kovariantni čtyřdivergencí vektorového pole Vⁱ :

Konvergence kongruence geodetik časového typu se řídí důležitou Raychaudhuriho diferenciální rovnici [127],[203]

kde s popisuje vzájemný "skluz" geodetik (neuvažujeme zde rotaci; pokud by kongruence geodetik rotovala, byl by na pravé straně ještě člen -2w²). Analogická rovnice platí i pro konvergenci světelných (nulových) geodetik:

kde V ⁱ jsou izotropní tečné vektory.

Energetické podmínky
Všimněme si nyní některých obecných vlastností rovnic (2.59a,b). Poslední dva členy na pravých stranách obou rovnic jsou nezáporné, takže o výsledném znaménku změn konvergence rozhoduje člen R_ikVⁱV^k. Aby i tento člen byl nezáporný, musí být podle Einsteinových rovnic (2.50b) gravitační pole buzeno tenzorem energie-hybnosti splňujícím nerovnost

pro všechny vektory Vⁱ časového typu, resp. nerovnost

pro izotropní vektory Vⁱ (pro něž je g_ikVⁱV^k = 0). Pro tenzor energie-hybnosti tvaru ideální kapaliny (1.108) je to splněno tehdy, když hustota a tlak splňují relace

Tato tzv. slabá energetická podmínka (2.60) je splněna pro všechny dosud pozororované formy hmoty, protože hustota energie je zde nezáporná a k narušení energetické podmínky by bylo třeba velkého záporného tlaku p *) .
*) Slabá energetická podmínka by však nebyla splněna např. pro hypotetické C-pole ve "steady-state" modelu vesmíru (zmíněném v kap.5), které má zápornou hustotu energie T_oo, nebo pro pole "falešného vakua" při inflační expanzi vesmíru (viz §5.5). A rovněž ne pro hypotetickou tzv. exotickou hmotu, používanou pro antigravitační "vystužení" traverzabilních červích děr (.......).
   V praxi je zřejmě splněna ještě o něco silnější podmínka tzv. energodominantnosti: pro každý vektor V_i časového typu je T^ikV_iV_k ł 0 a vektor T^ikV_k je časového nebo izotropního typu, tj. lokální hustota energie je nezáporná a navíc lokální proud energie se děje jen uvnitř nebo na plášti světelného kuželu. Platí tedy T°° >= |T^ik|, tj. energie "dominuje" nad ostatními složkami tenzoru energie-hybnosti. Pro nejobvyklejší typ tenzoru energie-hybnosti (1.108) je to splněno tehdy, když r ł 0, -r Ł p_aŁ r (a= 1,2,3), tj. když tlak nepřevyšuje hustotu energie, rychlost "zvuku" nepřevyšuje rychlost světla.
Pozn.: V literatuře jsou někdy diskutovány celkem 4 energetické podmínky (....., .... , ). Pro naši analýzu geometrie prostoročasu v okolí černých děr, jakož i globální kosmologické geometrie, však vystačíme se slabou energetickou podmínkou a podmínkou energodominantnosti.

Fokusace geodetik
Vidíme tedy, že člen R_ikVⁱV^k v rovnicích (2.59a,b) je při splnění rozumných energetických podmínek (2.60) rovněž nezáporný, takže pro rychlost změny konvergence geodetik platí nerovnost

podle které konvergence monotónně roste podél kongruence geodetik. Můžeme tak vyslovit tvrzení:

Tvrzení o fokusaci geodetik má velký význam pro geometricko-topologickou strukturu prostoročasu - používá se např. při důkazu 2.zákona dynamiky černých děr (§4.6) nebo při důkazu teorémů o existenci singularit prostoročasu (§3.8).

2.5. Einsteinovy rovnice gravitačního pole		2.7. Gravitační vlny

Vojtěch Ullmann