Zákony dynamiky černých děr

Kapitola 4
ČERNÉ   DÍRY
4.1. Úloha gravitace při vzniku a evoluci hvězd
4.2. Konečné fáze hvězdné evoluce. Gravitační kolaps
4.3. Schwarzschildovy statické černé díry
4.4. Rotující a elektricky nabité Kerrovy-Newmanovy černé díry
4.5. Teorém "černá díra nemá vlasy"
4.6. Zákony dynamiky černých děr
4.7. Kvantové vyzařování a termodynamika černých děr
4.8. Astrofyzikální význam černých děr
4.9. Úplný gravitační kolaps - největší katastrofa v přírodě

4.6. Zákony dynamiky černých děr

Všimněme si nyní některých obecných zákonitostí při fyzikálních jevech s účastí černých děr, tj. při interakci černých děr s okolní hmotou a vzájemně mezi sebou. Na základě analýzy konkrétních fyzikálních dějů s použitím fyzikálních zákonů gravitace, mechaniky, elektřiny a ostatních polí, jakož i geometricko-topologickými metodami studia struktury prostoročasu, byly odvozeny obecné zákony globálního charakteru platné pro všechny procesy s účastí černých děr. Tyto obecné zákony určují chování některých důležitých globálních veličin popisujících černou díru a okolní hmotu. Vzhledem k velmi těsné analogii se zákony termodynamiky (jak bude ukázáno níže) jsou tyto zákony většinou nazývány "zákony dynamiky černých děr", popř. "zákony mechaniky černých děr".
   V následujícím §4.7 o kvantových procesech v okolí černých děr si ukážeme, že tato nápadná podobnost zákonů dynamiky černých děr a zákonů termodynamiky není náhodná, ale má hluboký fyzikální význam.

Fyzikální význam druhého a třetího členu ve vztahu (4.50) je práce dodaná (popř. odebraná) černé díře na změnění jejího rotačního momentu hybnosti J a elektrického náboje Q. Význam prvního členu je jiný a vyplyne až v souvislosti s druhým zákonem dynamiky černých děr a z analogie s termodynamikou.

První zákon dynamiky černých děr je tedy prostě zákonem zachování nejdůležitějších fyzikálních veličin slučitelných s teorémem "černá díra nemá vlasy" (pro černé díry totiž neplatí jiné zákony zachování, než zákon zachování energie-hybnosti, momentu hybnosti a elektrického náboje *). Veličiny hmotnost-energie, hybnost, moment hybnosti a náboj se přitom měří pomocí svých gravitačních a elektromagnetických účinků v asymptoticky rovinném prostoročase obklopujícím studovanou soustavu (s použitím Gaussovy věty pro integrální toky polí nebo rozborem trajektorií testovacích částic).
*) Poznamenejme, že např. zákon zachování baryonového náboje (čísla) při procesech s černými děrami neplatí!

Prvního zákona mechaniky černých děr lze s výhodou použít při výpočtech pohybu a interakcí černých děr, podobně jako je výhodné použít zákonů zachování energie a hybhybnosti při výpočtech srážek těles v mechanice. Přitom je však nutno zahrnout energii, hybnost a moment hybnosti odnášené gravitačními vlnami. Například při srážce a splynutí dvou černých děr s hmotnostmi M₁ a M₂ bude mít výsledná černá díra hmotnost M = M₁ + M₂ - M_vln, kde M_vln je energie-hmotnost odnášená gravitačními vlnami během procesu přibližování a splynutí obou děr; analogicky pro hybnost a moment hybnosti.

K druhému zákonu mechaniky černých děr, který hraje fundamentální úlohu ve fyzice černých děr, dospěli různými metodami na jedné straně Hawking [120],[121], na druhé straně Carter [43], Christotolou [53], Bardeen [9] a Ruffini [54]. Christodolou a Ruffini studovali, jak se změní parametry černé díry při interakci s okolní hmotou a poli, např. když jsou do ní vrhány malé hmotné objekty. Pohlcením takového malého tělíska se změní hmotnost M, moment hybnosti J a náboj Q černé díry o dM, dJ a dQ. Na základě rozboru trajektorií těchto těles v poli Kerrovy-Newmanovy černé díry dospěli Christodolou a Ruffini k závěru, že změny dM, dJ, dQ nemohou být vůči sobě libovolné, ale uskutečnitelné jsou pouze takové, které vyhovují nerovnosti plynoucí z relace (4.36) :

(4.51)

Tělesa, která mají na jednotku hmotnosti příliš velký moment hybnosti (vzhledem ke středu černé díry) nebo příliš velký elektrický náboj, černá díra prostě "nepřijme" - proletí mimo aniž protnou horizont, nejsou zachyceny. Pokusíme-li se do maximálně rotující extrémní černé díry vrhnout těleso, které by tuto černou díru ještě více roztočilo, odstředivé síly zabrání tomuto tělesu přiblížit se k horizontu a spadnout do černé díry.

Nerovnost (4.51) lze též napsat ve tvaru

kde M_ired = (1/2).Ö(r_g⁺²+ a²) je ireducibilní hmotnost černé díry, která byla zavedena vztahem (4.48) v §4.4. Protože podle vztahu (4.48) je plocha horizontu úměrná čtverci ireducibilní hmotnosti (A = 16pM_ired²), platí dA ł 0. Nerovnost (4.52), podle které se při pohlcení žádného tělesa ireducibilní hmotnost černé díry nemůže zmenšit, je speciálním případem 2.zákona dynamiky černých děr; je odtud též vidět původ názvu "ireducibilní hmotnost".

Obecný matematický důkaz druhého zákona dynamiky černých děr však přísluší S.Hawkingovi [120],[121]. Podle Penroseova teorému 3.1 je horizont generován izotropními (nulovými) geodetikami, které se nikde neprotínají a nemají v budoucnu koncové body. V důsledku energetické podmínky R_ikVⁱ V^k ł 0 platí pro konvergenci C geodetik (a tedy i nulových geodetik generujících horizont) relace: dC/dl ł C² ł 0 (viz §2.6). Jestliže by C bylo v nějakém bodě (udalosti) P kladné, zůstalo by dC/dl neustále kladné a nejméně tak velké jako v bodě P, takže za konečný interval afinního parametru l by bylo dosaženo fokálního bodu, v němž by se izotropní geodetické generátory začaly protínat (§2.6). Tak by vznikly události, přes které prochází více než jeden nulový generátor, což odporuje Penroseově větě 3.1. Konvergence izotropních generátorů horizontu musí být tedy menší nebo rovna nule C ł 0 (jejich divergence musí být nezáporná). Z toho plyne, že se plocha dvojrozměrných průřezů, jimiž procházejí izotropní generátory, nemůže s časem zmenšovat. Protože zároveň podle teorému 3.1 žádné nulové geodetiky generující horizont nemohou zanikat (mohou pouze vznikat nové - pohlcováním černou dírou), vede to k závěru, že celková plocha horizontu černé díry se s časem nikdy nemůže zmenšovat. Nezbytným předpokladem je zde ovšem platnost principu kosmické cenzury jež zaručuje, že se horizont nemůže setkat s (nahou) singularitou, která by pohlcovala a předčasně ukončovala (jinak v budoucnu nekonečné) nulové geodetiky generující horizont.

Pro obecnou Kerrovu-Newmanovu černou díru je plocha horizontu A rovna

ve speciálním případě Schwarzschildovy černé díry je A = 16pM². Celkovou hmotnost M černé díry je možno na základě výrazu (4.49) rozložit na tři části:

kde M_ired je výše zmíněná ireducibilní hmotnost, M_elmag = Q²/4M_ired je elektromagnetický příspěvek a M_rot = J/2M_ired je rotační příspěvek k celkové hmotnosti.

V souvislosti s 2.zákonem dynamiky černých děr můžeme rozdělit fyzikálně možné procesy s černými dírami na dvě skupiny (podobně jako děje v termodynamice) :

• a) Vratné změny, při kterých se změní hmotnost, náboj a moment hybnosti takovým způsobem, že velikost povrchu A černé díry zůstává stejná. Takové procesy je možno v principu obrátit a černá díra může přejít zpět do svého původního stavu.
• b) Nevratné změny, při nichž se spolu se změnou hmotnosti, náboje a momentu hybnosti zvětší (zmenšit se nemůže!) i velikost povrchu černé díry. Takovéto procesy nelze obrátit a černá díra se již nikdy nemůže vrátit zpět do svého výchozího stavu.

Skutečně probíhající procesy s černými děrami jsou nevratné; vratný proces je jen určitou idealizací, ke které se lze pouze přiblížit. Situace je zde úplně stejná jako v termodynamice.

Obr.4.21. Schématické znázornění procesů pohlcování hmotných teles černou dírou a splynutí dvou černých děr. Při všech podobných procesech se celková plocha horizontu zvětšuje.

Druhý zákon dynamiky černých děr potvrzuje (vedle konkrétních výpočtů různých druhy procesů) mimořádnou stabilitu černých děr - černá díra se nemůže "rozdvojit" ani jinak rozpadnout, je zcela nezničitelná; může se pouze zvětšovat pohlcováním další hmoty (obr.4.21). Neuvažujeme zde však zatím kvantové procesy - viz §4.7.

Zajímavý rozdíl v růstu výsledných povrchů černých děr a materiálních těles
Zákon zvětšování výsledých povrchů horizontů černých děr (podle 2.zákona) se liší od chování běžných látkových objektů. Jestliže vezmeme např. dvě stejné kuličky z plasteliny, spojíme je dohromady a uhněteme z nich novou větší kuličku, její povrch bude asi o 20% menší než součet povrchů obou původních kuliček (objem koule je V = (4/3) p.r³, povrch koule S = 4pr², --> S = 2^2/3.V^2/3).
   U horizontů černých děr však díky enormnímu zakřivení prostoru bude po sloučení výsledný horizont větší než součet obou původních děr.

Jak plyne opět ze vztahu (4.51), s momentem hybnosti J vzroste vždy patřičně i hmotnost M - extrémní černá díra je nedosažitelná, lze se k ní jen přiblížit. Kdyby bylo možno dosáhnout J=M² konečným počtem kroků, potom bychom již jediným dalším takovým krokem dosáhli J > M² - vznikla by Kerrova nahá singularita ve sporu s principem kosmické cenzury. 3.zákon dynamiky černých děr tedy ukazuje, že pomocí černých děr nelze kosmickou cenzuru porušit.

Mezi zákony dynamiky černých děr se někdy rovněž počítá následující tvrzení :

Tento "nultý" zákon mechaniky černých děr byl odvozen Bardeenem, Carterem a Hawkingem [9]; viz též vztah (4.47), kde k nezávisí na souřadnicích j a J . Situaci zde můžeme srovnat s běžnými gravitujícími tělesy jako jsou planety, kde povrchová gravitace se na různých místech povrchu může lišit vlivem různé distribuce hustoty hmoty uvnitř tělesa (§1.2, pasáž "Povrchová gravitace").

Zákony dynamiky černých děr (především druhý zákon ve spojení se zákony zachování tvořícími náplň 1.zákona) kladou zásadní omezení na velikosti změn fyzikálních veličin při interakci černých děr s okolní hmotou a mezi sebou.

Mějme Kerrovu černou díru o hmotnosti M₁ a momentu hynosti J₁ = a₁.M₁. Nechť tato černá díra během určitého časového intervalu interaguje s látkou, tělesy a zářením, čímž výsledná černá díra bude mít parametry M₂ a J₂ = a₂.J₂. Podle 2.zákona dynamiky černých děr se horizont musí zvětšit, takže mezi oběma stavy černé díry musí platit nerovnost

přičemž M a J jsou určeny vzhledem k asymptotické rovinné oblasti, kde platí zákony zachování celkové energie a hybnosti. V případě a₁ > 0 (tj. když původní černá díra rotovala) může být nerovnost (4.55) splněna i tehdy, když M₂ bude menší než M₁.

Z rotující černé díry je tedy možno v principu "vyextrahovat" určité množství energie~hmoty související s rotací. Jednou z možností jak to uskutečnit je využít efektu strhávání inerciálních soustav rotací černé díry: kolem černé díry se umístí vhodná soustava těles a pomocí patřičného uspořádání se dosáhne toho, aby síly strhávání vykonávaly práci. Příklad takového mechanismu byl na obr.4.20a, kde sice tuhý rám vyzařoval gravitační vlny, avšak při vhodném uspořádání by mohl vykonávat i mechanickou práci. Druhou metodou extrakce rotační energie z rotující černé díry je v §4.4, obr.4.17, popsaný Penroseův proces (popř. jeho superradiační analogie), při kterém těleso vletí do ergosféry, tam se rozdělí na dvě části, z nichž jedna je pohlcena a druhá část vyletí z ergosféry ven s větší energií než mělo původní těleso. Podobnými procesy je možno v principu černé díře odejmout všechnu rotační energii (a₂=0); limita energie, která se přitom získá, je dána nerovností (plynoucí z (4.55) pro a₂=0)

(4.56)

Mějme nyní dvě Kerrovské černé díry s parametry M₁,a₁ a M₂,a₂, které jsou zpočátku od sebe natolik vzdálené, že jejich vzájemnou interakci lze zanedbat. Plochy jejich horizontů budou A₁= 8pM₁[M₁ + Ö(M₁² - a₁²)], A₂= 8pM₂[M₂ + Ö(M₂² - a₂²)]. Jestliže se tyto dvě černé díry budou pohybovat směrem k sobě tak, že dojde k jejich "srážce" a splynutí, vyzáří se během tohoto procesu určité množství energie ve formě gravitačních vln a nakonec se ustabilizuje výsledná černá díra s parametry M₃ a a₃ a plochou horizontu A₃= 8pM₃[M₃ + Ö(M₃² - a₃²)]. Podle 2.zákona mechaniky černých děr musí být A₃ ł A₁ + A₂, tj.

M₃[M₃ + Ö(M₃² - a₃²)]    ł    M₁[M₁ + Ö(M₁² - a₁²)]  +  M₂[M₂ + Ö(M₂² - a₂²)] .

Přitom energie odnesená gravitačními vlnami je (podle 1.zákona - zákona zachování) rovna E_vln = M₁ + M₂ - M₃ ; mohli bychom si definovat "účinnost" přeměny hmotnosti na gravitační záření h = (M₁+M₂-M₃ )/(M₁+M₂). Uvedená nerovnost (tj. 2.zákon dynamiky černých děr) klade základní horní mez na velikost této vyzářené energie. Například při čelné srážce dvou nerotujících černých děr o hmotnostech M₁ =M₂=M/2, kdy i výsledná černá díra bude nerotující (a₁=a₂=a₃=0), dostáváme M₃ł MÖ2, takže celková vyzářená energie E_vln < M(1 - Ö2) @ 0,293.M a účinnost přeměny hmoty na energii gravitačních vln je h < 1 - Ö2 @ 0,293 .

Zákony dynamiky černých děr tak, jak jsme si je zde zformulovali, jsou již na první pohled podobné zákonům termodynamiky. Abychom si tuto podobnost jasně ukázali a zkonkretizovali, srovnáme spolu příslušné zákony mechaniky černých děr a zákony termodynamiky v přehledné tabulce:

Podobnost mezi zákony mechaniky černých děr a zákony termodynamiky je velmi těsná, přičemž povrchová gravitace k je analogická teplotě T a celková plocha horizontu A je podobná entropii S. Již zde je možno vidět, že analogie mezi entropií S v termodynamice a plochou horizontu A v mechanice černých děr není jen ryze formální podobností některých zákonů, kterými se tyto veličiny řídí. Tyto veličiny mají totiž též podobnou úlohu: tak, jako v termodynamice zákon růstu entropie zakazuje úplnou přeměnu tepelné energie zahřátého tělesa na užitečnou práci, zákon růstu plochy horizontu černé díry znemožňuje přeměnu veškeré hmotnosti černé díry na užitečnou práci. V následujícím odstavci uvidíme, že díky kvantovým procesům v poli černých děr má analogie mezi zákony mechaniky černých děr a zákony termodynamiky hluboký fyzikální význam a černé díře lze skutečně připsat termodynamickou teplotu a entropii.

4.5. Teorém "černá díra nemá vlasy"		4.7. Kvantové vyzařování a termodynamika černých děr

Vojtěch Ullmann