Filtry a filtrace scintigrafických dat v nukleární medicíně

FILTRY a FILTRACE v nukleární medicíně

1. Úvod - podstata a motivace filtrace, filtrace prostorová a časová
2. Metodika filtrace - v prostorové a frekvenční oblasti, Nyquistova frekvence
3. Filtrace u zpětné projekce při tomografické scintigrafii SPECT
4. Druhy filtrů ve frekvenční oblasti
4.1 Dolnofrekvenční (low-pas) filtry - vyhlazovací
4.2 Pásmové filtry - fokusační
5. Filtrománie: Který filtr je nejlepší ?

1. Ú v o d

Co je filtrace ?
Pod filtrací obecně rozumíme proces, při němž se určitá část daného systému propouští a jiná část zadržuje či zeslabuje. Nástroj pro tuto filtraci se nazývá filtr.
  Jednoduchým příkladem může být cezení nudlí, kdy cedník-filtr propouští vodu a zadržuje nudle. V chemii a jiných technických aplikacích se používají různě hrubé či jemné filtry pro různé roztoky - až po mikrofiltry či "molekulová síta", které zadržují i nejjemnější částečky. V politice a sdělovacích prostředcích se běžně "filtrují" (či cenzurují) informace za účelem manipulace veřejného mínění...
  Pod filtrací dat rozumíme nelokální matematický proces, který transformuje data takovým způsobem, že struktury určitého charakteru zesiluje a jiné zeslabuje či potlačuje. Díky zmíněné nelokálnosti zde zpravidla neexistuje inverzní (zpětná) transformace, která by byla schopna z filtrovaných dat plně rekonstruovat data primární - dochází ke ztrátě informace.

Proč filtrovat ?
Scintigrafie, přes všechny své přednosti, se permanentně potýká se dvěma základními problémy:

1. Nedokonalé rozlišení
   Pro záření gama bohužel neexistuje žádná skutečná "optika" (refrakční či reflexní), která by na základě lomu či odrazu paprsků vytvářela optický obraz jak je tomu u viditelného světla; k zobrazení lze použít pouze kolimaci. Otvory v kolimátoru a přepážky mezi nimi nemohou být nekonečně tenké - již z důvodu prozařování záření g. Rovněž vyhodnocení polohy záblesku v tenkém velkoplošném scintilačním krystalu kamery se nedaří s rozptylem menším než asi 3mm. Celkové rozlišení scintilační kamery se tak v praxi pohybuje kolem 6 - 10 mm.
2. Statistické fluktuace (šum)
   Jen velmi malá část záření g (pouze ty fotony, které letí přesně rovnoběžně přes otvory kolimátoru) je využita pro zobrazení, zatímco naprostá většina záření uniká bez užitku. Počet fotonů vytvářejících scintigrafický obraz je tak poměrně nízký, což vzhledem ke kvantově-statistickému charakteru vyzařování a detekce fotonů vede ke statistickým fluktuacím detekovaných impulsů tvořících obraz.

  Scintigrafické obrazy jsou proto (ve srovnání např. s obrazy fotografickými) poměrně nekvalitní - jsou "rozmazané" a "zašuměné". Právě pro aspoň částečnou korekci těchto nepříznivých vlivů se používá filtrace.

Filtrace prostorová a časová
Z prostoročasového hlediska můžeme provádět v zásadě dva druhy filtrace scintigrafických dat :

• Prostorová filtrace - je to vlastní filtrace scintigrafických obrazů v prostorových souřadnicích x,y. Tou se budeme zabývat v této práci.
• Časová filtrace - je to vyhlazování a zprůměrování dat v časovém směru u dynamických studií. Nejjednodušším případem je prosté sečtení dvou nebo několika po sobě jdoucích snímků dynamické studie, kdy na výsledném obraze máme více impulsů a tím menší statictické fluktuace. Dále je to vyhlazování křivek časového průběhu distribuce radioindikátoru v zájmových oblastech s cílem potlačit statistické fluktuace bodů křivek - získat "hladší" křivky. Tímto druhem filtrace se zde zabývat nebudeme.

Prostorová filtrace scintigrafických obrazů má dva základní cíle :

• Vyhlazování - potlačení či snížení statistických fluktuací v obraze. To je naprosto převažující důvod pro vyhlazování.
  Poznámka: Již zde můžeme však zmínit jedno nebezpečí: spolu s potlačením rušivých statistických fluktuací se při silnější filtraci mohou zahladit i některé faktické a diagnosticky cenné detaily obrazu!
• Konstrukční úpravy - zvýšení lokálního kontrastu, zlepšení rozlišení ("rekonstrukce" či fokusace obrazu). Níže uvidíme, že dosažení tohoto cíle je poměrně obtížné - je možné jen při splnění co nejlepší statistické kvality obrazu.

2. Metodika filtrace
Z hlediska matematického postupu filtrační procedury rozeznáváme dvě základní metodiky:

Filtrace v prostorové oblasti
Každý bod obrazu se "zprůměruje" se svými okolními body a takto vzniklá hodnota se uloží zpět do výchozího bodu. Tím se v každém bodě obrazu sníží statistické fluktuace (dané odmocninou z nastřádaného počtu impulsů) - vzniká vyhlazený obraz. Po vyhlazení se hodnota počtu impulsů daného prostředního pixelu částečně přizpůsobí hodnotám v okolních pixelech. Při této proceduře se obsahy jednotlivých elementů obrazu násobí vhodnými váhovými koeficienty (výchozí centrální bod má nejvyšší váhu, váha okolních bodů se snižuje podle jejich vzdálenosti od centrálního bodu), všechny hodnoty se sčítají, výsledek se dělí součtem vah a uloží se zpět do výchozího centrálního bodu. Filtrem pak nazýváme zmíněnou váhovou matici zprůměrování. Typickým příkladem je známé 9-bodové vyhlazení s váhovou maticí:

Filtrace ve frekvenční oblasti
Použití frekvenční oblasti je založeno na Fourierově teorému, podle něhož každá funkce f(x) může být rozložena na součet kosinusových a sinusových harmonických funkcí A.cos(2pnx) (a podobně pro sinus), kde A je amplituda harmonické funkce a n je její frekvence (převrácená hodnota periody). Příslušné grafy a vzorce jsou uvedeny na obr.1a 2.
Filtrace ve frekvenční oblasti sestává ze 3 etap:

1. Obraz se nejprve Fourierovskou transformací převede do frekvenční oblasti - rozloží se na harmonické funkce (používají se většinou kosinové) - vznikne frekvenční spektrum. Graficky je znázorněno křivkou, kde na vodorovné ose je prostorová frekvence (v jednotkách cykl/centimetr či cykl/pixl) a na svislé ose je amplituda příslušné harmonické funkce této frekvence.
2. Ve frekvenční oblasti se toto spektrum obrazu násobí vhodnou funkcí nazývanou filtr, což má za následek lokální zvýšení či snížení (nebo dokonce anulování) amplitud příslušných harmonických funkcí - vznikne zfiltrované spektrum.
3. Toto zfiltrované spektrum se inverzní Fourierovou transformací převede zpět do prostorové oblasti - vzniká filtrovaný obraz.

   Obr.1. Matematický postup filtrace v prostorové a frekvenční oblasti. Horní část: Metodika filtrace v prostorové oblasti konvolucí s filtrem. Dolní část: Metodika filtrace ve frekvenční oblasti násobením filtrem.

  Matematicky lze ukázat (plyne to ze vzorců aplikovaných na obr.1), že oba způsoby filtrace - v prostorové i frekvenční oblasti - jsou ekvivalentní a dávají identický výsledek, pokud multiplikační filtr ve frekvenční oblasti je Fourierovým obrazem konvolučního filtru v prostorové oblasti. Filtrace ve frekvenční oblasti, ač je matematicky složitější (uživatel to ale nepozná - postará se o to počítač!), má některé výhody, které vyplynou z dalšího výkladu. Zde jen uvedeme, že filtry ve frekvenční oblasti se dají prostřednictvím svých form-faktorů flexibilně měnit, přičemž podle tvaru křivky filtru je názorně vidět, jaký bude mít účinek - které šumy či detaily v obraze zahladí.

Frekvenční oblast se někdy též nazývá Nyquistova oblast, podle významného švédsko-amerického odborníka Harryho Nyquista (¶7.2.1889 ve Švédsku, V4.4.1976 v Texasu), který se problematikou filtrace zabýval v oblasti elektrických obvodů - LRC filtry složené z kondenzátorů, indukčností a rezistorů, filtrující elektrické signály v závislosti na frekvenci.

  Přechod z prostorové oblasti do frekvenční oblasti pomocí Fourierovy transformace je podrobněji ukázán na obr.2. Jsou zde schématicky znázorněny obrazy dvou rozdílných struktur : vlevo je velká kompaktní struktura (léze) s pozvolným oblým tvarem, vpravo malá struktura (léze) s ostrým profilem. Pod každým tímto obrazem je znázorněna jeho profilová křivka. Provedeme-li Fourierovu transformaci, budou u velké struktury vlevo dominovat nízké prostorové frekvence harmonického rozkladu, zatímco vysoké frekvence budou zastoupeny jen nepatrně (tj. s nízkou amplitudou). U malé struktury s ostrým profilem (vpravo) bude relativní zastoupení vyšších harmonických frekvencí mnohem vyšší.

Obr.2. Přechod z prostorové oblasti do frekvenční oblasti pomocí Fourierovy transformace pro případ velké kompaktní léze (vlevo) a malé ostré léze (vpravo).

Vyneseme-li graficky zastoupení amplitud jednotlivých harmonických funkcí v závislosti na frekvenci, vznikne spektrum, které ve frekvenční oblasti představuje Fourierovský obraz původní struktury z prostorové oblasti.

Frekvenční K-prostor
V prostorové oblasti, obvyklém eukleidovském prostoru - R-prostoru - je obraz zobrazované veličiny F popsán distribuční funkcí, neboli polem, F(x,y,z). Ve vektorovém zápisu, zavedením prostorového vektoru r, je tato funkce F(r). Obecnou Fourierovou transformací vzniká nová distribuční funkce ^{^}F(k) = ň_V F(r).exp[2pi(k.r)] dr, kde k = (k₁,k₂,k₃) je nový frekvenční vektor, skalární součin k.r = x.k₁+ x.k₂+x.k₃; integruje se přes prostorovou oblast V. Distribuční funkce ^{^}F(k) je definována v novém lineárním 3-rozměrném vektorovém prostoru. Prostorová F(k) i frekvenční ^{^}F(k) distribuční funkce nesou tutéž informaci a souvisejí spolu přímou a inverzní Fourierovou transformací.
  Z matematického hlediska tedy z běžného metrického Eukleidovského R-prostoru Fourierovskou transformací vzniká nový "frekvenční" prostor, označovaný někdy jako K-prostor (K-space - název vznikl podle toho, že po Fourierově transformaci je novou nezávisle proměnnou "vlnový" vektor který je zvykem značit k, obecně je komplexní). Abstraktní K-prostor je v jistém smyslu "reciproční" k obvyklému fyzikálnímu R-prostoru.

  V dolní části obr.2 tedy vidíme, že velká kompaktní léze má spektrum končící u nízkých prostorových frekvencí, zatímco spektrum drobné ostré léze obsahuje i vysoké prostorové frekvence. Tato zákonitost má obecný charakter: čím více jemných detailů je v obraze, tím vyšší frekvence harmonických funkcí jsou zastoupeny ve frekvenční oblasti. Nejjemnějšími detaily ve scintigrafickém obraze jsou statistické fluktuace (šumy) měnící se chaoticky od pixlu k pixlu - těm odpovídají nejvyšší prostorové frekvence v Nyquistově oblasti. Použijeme-li tedy filtr potlačující vysoké frekvence, odstraňujeme tím z obrazu rušivé šumy - v tom spočívá vyhlazování pomocí tzv. low-pass filtrů. Základním "uměním" je zde zvolit takový filtr, který by potlačil rušivé šumy a přitom zachoval co nejvíce užitečných detailů v obraze.

  Jak takové optimální filtrace dosáhnout? Určitým vodítkem nám mohou být zákonitosti znázorněné na obr.3. Odpovídá se zde na otázku: jaké nejvyšší frekvence v Nyquistově oblasti mohou ještě vyjadřovat skutečné detaily distribuce radioindikátoru zobrazené kamerou, a jaké odrážejí již jen rušivé šumy?

Obr.3. K definici Nyquistovy frekvence pro scintigrafický obraz.

Rozlišovací schopnost scintigrafického zobrazení je v principu omezena dvěma faktory.

1. Obrazová matice
Jemnost použité matrice scintigrafického obrazu (zda použijeme matici 64x64, 128x128, 256x256 a pod.) nám limituje, jak jemné detily budeme pomocí ní schopni zobrazit. V levé části obr.3 je ukázáno, že jestliže velikost pixelu použité matice činí d(cm), pak nejvyšší frekvence harmonické funkce, která může být v takové matrici zobrazena, je n_max Ł 1/2d .

2. Rozlišení kamery
Základním faktorem omezujícím rozlišovací schopnost ve scintigrafii, je prostorové rozlišení kamery. Na obr.3 vpravo nahoře jsou znázorněny profilové křivky LSF obrazu bodového radioaktivního zdroje, zobrazeného gamakamerou s výborným rozlišením (čárkovaně), se středním rozlišením (plná čára) a špatným rozlišením (tečkovaná křivka). Rozlišení kamery FWHM je definováno jako pološířka profilové křivky PSF obrazu bodového (nebo čárového) zdroje. Dva body, ležící od sebe v kratší vzdálenosti než je rozlišení FWHM, již kamera nerozliší a na scintigrafickém obraze budou zobrazeny jako jeden bod. Z tohoto hlediska tedy nejvyšší frekvence harmonické distribuce radioaktivity (modelové), kterou by kamera ještě zobrazila, by byla n_max Ł~ 1/FWHM - u vyšších frekvencí by již jednotlivé vlny (ko)sinusovky splynuly.
  Fourierovou transformací profilové křivky PSF(x) obrazu bodového zdroje vzniká spektrální křivka zvaná modulační přenosová funkce MTF(n), která znázorňuje s jakou relativní amplitudou je kamera schopna zobrazit (přenést) modelovou harmonickou distribuci radioaktivity v závislosti na její frekvenci n. Místo, kde MTF klesá k nule nám pak definuje maximální prostorovou frekvenci n_max, kterou je kamera ještě schopna zobrazit.

Můžeme tedy vyslovit následující tvrzení a zároveň definici :

  Nyquistova frekvence je tedy zároveň maximální frekvence ve Fourierově spektru obrazu, která ještě odráží skutečné struktury předmětu. Frekvence nižší než Nyquistova nám v obraze odrážejí skutečnost, zatímco frekvence vyšší než n_max již nemají svůj původ ve skutečnosti - jsou důsledkem statictických fluktuací (šumů) a mohou být odstraněny bez nebezpečí ztráty užitečných detailů v obraze.
  Hodnota Nyquistovy frekvence nám může pomoci při optimalizaci "síly" filtru: pomocí form-faktorů (viz níže) natvarujeme graf filtru tak, aby se blížil k nule právě pro hodnotu Nyquistovy frekvence. Vyšší frekvence nemá smysl v obraze zachovávat, protože nemohou odrážet žádné reálné struktury, vyjadřují pouze rušivý šum.

Wavelet (vlnková) transformace
Fourierova harmonická analýza je základem pro pokročilé zpracování a konstrukční úpravy signálů, měřených závisloszí a obrazů. Pomocí Fourierovy transformace provádí rozklad analyzovaného signálu či obrazu na harmonické funkce sinus a kosinus s různými amplitudami a frekvencemi (obr.1 a 2), které pak vhodně modifikuje a následně zpětně (inverzně) transformuje. Fourierova transformace poskytuje informace o frekvencích které se v signálu nacházejí (a jejich zastoupení), nikoli však o jejich umístění - časové poloze u signálu či v prostorovém (souřadnicovém) místě u obrazu. Je proto vhodná především pro popis stacionárních signálů nebo poměrně uniformních grafů a obrazů bez diskontinuit a ostrých fluktuací. U filtrací pro eliminaci rušivých statatických fluktuací (šumů) je hlavním problémem kompromis mezi mírou potlačení šumu a přitom zachování užitečných detailních informací v obrazech (jak bylo zmíněno výše a bude diskutováno níže v části "Dolnofrekvenční filtry vyhlazovací"). Silnější filtrace sice účinně potlačuje šum, avšak zároveň vede k riziku zahlazení drobnějších detailů v obraze.
   Společným jmenovatelem těchto obtíží je skutečnost, že bázové funkce Fourierovy transformace, sinusovky a kosinusovky, mají nenulové periodické hodnoty v celé prostorové oblasti ("od - do + nekonečna"). Proto se při Fourierovské filtraci každá změna ve frekvenční oblasti projevií v celém obraze (v prostorové doméně): jestliže se při filtraci pokusíme potlačit či odřezat určité vyšší prostorové frekvence za účelem znížení šumu v požadovaném místě obrazu, může se to projevit zhoršením prostorového rozlišení v celém obrazu.
   Výhodným zobecněním a zdokonalením standardní Fourierovy transformace je tzv. wavelet (vlnková) transformace, která místo sinusů a kosinusů pro rozklad analyzovaného signálu používá speciální bázové funkce zvané wavelety neboli vlnky, které jsou více lokalizovány v prostorových souřadnicích a rychle ubývají do nekonečna. Bázové funkce mají omezenou délku - ve srovnání s obsáhlými sinusovkami jsou to jen krátké "vlnky" - a s proměnnou frekvencí (škálou) se mohou přesouvat přes celou prostorovou oblast signálu: analýza může být lokální s různě silnou filtraci v různých místech signálu či obrazu. Byla vytvořena řada waveletových funkcí (některé z nich jsou na obrázku - b,c,d). Např. Morletův wavelet je kosinusová funkce vynásobená Gaussovou funkcí s vhodnou šířkou.

Nahoře: a) Kosinusová bázová funkce Fourierovy transformace. Dole: Wavelety: b) "Mexický klobouk". c) Morletův. d) Meyerův

   Při filtraci scintigrafických obrazů se vlnkové transformace zatím používají jen ojediněle a experimentálně, avšak se slibnými výsledky. V dalším textu se budeme věnovat standardním filtračním procedurám používajícím Fourierovu transformaci.

3. Filtrace u zpětné projekce při tomografické scintigrafii SPECT
Zhora zmíněné obecné zákonitosti mají svá některá specifika při aplikaci na tomografické scintigrafické obrazy SPECT rekonstruované zpětnou projekcí (pojednání "Scintigrafie", část "Tomografická scintigrafie"). Na obr.4 je v levé horní části schématicky znázorněno, jak zpětnou projekcí nefiltrovaného profilu obrazu bodového zdroje, promítnutého pod několika úhly (z nichž byl při SPECTu bodový zdroj snímán), vzniká z projekčních paprsků v okolí výsledného obrazu hvězdicový artefakt.

Obr.4 Filtrace u zpětné projekce SPECT

  Aplikujeme-li na profilovou funkci bodového zdroje v prostorové oblasti vhodný filtr takový, že na obou okrajích křivky je uměle zavedený "zákmit" do záporných hodnot (velikost těchto záporných hodnot je přímo úměrná velikosti a rychlosti pozitivního nárustu), pak při zpětné projekci sbíhající se paprsky se zápornými okraji superponují tak, že v průsečíku opět vytvoří rekonstruovaný "bodový" obraz, avšak v jeho okolí záporné půlvlny lokálně vyruší paprsky star-artefaktu. Ve větších vzdálenostech od obrazu bodového zdroje sice stopy projekčních paprsků zůstávají, tam však v zásadě nevadí - "smíchají" se s ostatními projekčními stopami a vytvoří běžné kontinuální pozadí.
  V pravé části obr.4 je tento druh filtrace znázorněn ve frekvenční oblasti. Filtr, který lokálně potlačuje star-efekt, zde má přímkový tvar a nazývá se RAMP-filtr. RAMP-filtr je nezbytnou implicitní součástí každé procedury pro rekonstrukci SPECT metodou zpětné projekce *), avšak zároveň zesiluje vyšší prostorové frekvence v obrazu - fluktuace, šumy. Aplikujeme-li navíc ještě uživatelský low-pass filtr pro potlačení statistických fluktuací, je výsledný filtr dán součinem RAMP-filtru s uživatelským filtrem (je znázorněno v dolní části obr.4) - takový filtr pak potlačuje star-efekt a zároveň vyhlazuje obraz.
*) U iterativní metody rekonstrukce se RAMP filtr nepoužívá.

Na obr.5 je schématicky znázorněn celý postup akvizice, filtrace a zpětné projekce u scintigrafie metodou SPECT.

Obr.5. Postup akvizice, filtrace a zpětné projekce u scintigrafie metodou SPECT.

  Vyšetřovaný objekt (pacient), jehož příčný řez má distribuci radioindikátoru A(x,y), je kamerou snímán v řadě projekcí pod různými úhly J, čímž vznikají obrazy projekcí p(u). Tyto obrazy se pak Fourierovsky transformují do frekvenční oblasti a vzniklá spektra p(n)) se násobí filtrem složeným z RAMP-filtru a uživatelského filtru.Výsledná zfiltrovaná spektra p_F(n) se pak inverzní Fourierovou transformací převádějí zpět do prostorové oblasti (vznikají filtrované obrazy projekcí p_F(u)), načež se zpětnou projekcí (pod těmi samými úhly J) vytváří výsledý obraz příčného řezu A´_f(x,y).

4. Druhy filtrů ve frekvenční oblasti
Jak plyne z dosavadního výkladu, filtrace obrazu ve frekvenční oblasti spočívá ve vynásobení amplitudy každé harmonické funkce (na něž byl obraz rozložen) f(n) určitým koeficentem, který v závislosti na frekvenci n zeslabí či zesílí její amplitudu. Soubor těchto koeficientů tvoří konkrétní filtr. Každý filtr je realizován určitou matematickou funkcí F(n), která pro každou hodnotu prostorové frekvence n generuje koeficient F(n), kterým se bude násobit amplituda příslušné harmonické ve spektru obrazu f(n). Funkční předpis filtru F(n) zpravidla obsahuje určité volitelné parametry - tz. form-faktory, které spolu s matematickou funkcí určují konkrétní tvar filtru a tím i sílu filtru. Každý druh filtru má své specifické form-faktory, avšak jeden z form-faktorů mají všechny filtry společný: je to tzv. "cutoff", udávající maximální frekvenci, od níž směrem nahoru budou již všechny vyšší harmonické odřezané (anulované).

4.1 Dolnofrekvenční (low-pas) filtry - vyhlazovací
Scintigrafické obrazy, zvláště rekonstruované transverzální řezy SPECT, mají často velký rozptyl (fluktuace) v jednotlivých voxelech - obrazový šum. Pro lepší hodnocení těchto obrazů je žádoucí provést snížení tohoto šumu - vyhlazení obrazu, potlačení statistických fluktuací. Jednotlivé struktury ve scintigrafickém obraze lze v e frekvenční oblasti rozdělit zjednodušeně na tři skupiny :
- Nízké frekvence jsou dány rovnoměrnou aktivitou větších struktur a pozadí.
- Střední frekvence vyjadřují změny počtu impulsů dané různou distribucí radioindikátoru v zobrazovaných orgánech v rozmezí jednotek až desítek pixelů - užitečnou diagnostickou informaci.
- Nejvyšší prostorové frekvence vyjadřují statistický šum - náhodné změny počtu impulsů v sousedních pixelech.
  Ve frekvenční oblasti tedy dosáhneme vyhlazení obrazu (snížení statistických fluktuací) zeslabením či potlačením harmonických funkcí o vysokých frekvencích - vynásobením spektra vhodným filtrem, který pro nízké frekvence má hodnotu blízkou 1 (ponechává změny počtu impulsů odpovídající strukturám zobrazovaného orgánu) a pro vysoké frekvence dosahuje nebo se blíží k nule (potlačuje statistické kolísání změn v sousedních či blízkých pixelech). Takové vyhlazující filtry se nazývají low-pas - propouštějí především nízké frekvence a snižují (potlačují) amplitudu vyšších frekvencí, t.j. statistické kolísání počtu impulsů v sousedních pixelech. V reálných obrazech se však obvykle prostorové frekvence změn pro jednotlivé struktury částečně překrývají, takže potlačení šumu vysoké frekvence může vést k zahlazení reálných jemných struktur, které mají rovněž vyšší prostorové frekvence.
  Jednotlivé filtry jsou charakterizovány frekvenční křivkou, jejíž průběh v různých mástech určuje jejich působení. Na obr.6 jsou uvedeny tvary a rovnice nejčastěji používaných low-pass filtrů. U některých z nich je plnou čarou vyznačen slabší filtr, čárkovaně pak silnější filtr.

Obr.6. Nejčastěji používané vyhlazovací (dolnofrekvenční - low-pass) filtry.

Nejjednodušším filtrem je prosté odřezání (anulování) harmonických funkcí frekvencí vyšších než určitá maximální frekvence n_N zvaná "cutoff". Graf takového filtr má tvar obdélníku - všechny frekvence až do n_N = cutoff ponechává s nezměněnou amplitudou, zatímco všechny harmonické vyšší než "cutoff" odřezává (anuluje). Čím menší hodnotu form-faktoru "Cutoff"=n_N zadáme, tím silnější bude účinek filtru.
  Dále je znázorněn filtr tvaru kosinusové funkce, který od hodnoty F=1 pro nulovou frekvenci n=0 plynule klesá až k hodnotě F=0 pro maximální frekvenci n_N (hodnota "0" je pak přiřazena i všem frekvencím vyšším). Síla filtru je zde opět tím vyšší, čím nižší hodnotu form-faktoru "cutoff"=n_N zadáme.
  Dalšími občas používanými filtry jsou Hamming a Parzen (střední část obr.6). Filtr typu Hamming je modifikovaný kosinový filtr a kromě parametru "cutoff" má ještě jeden parametr a, který reguluje "strmost", s jakou se filtr blíží k nule v okolí frekvencí n ~ n_N. Filtr typu Parzen je kombinací dvou polynomiálních funkcí: do poloviny rozsahu je použita rychleji klesající funkce, na kterou pak plynule navazuje pomaleji klesající část; form-faktorem je zde opět "cutoff".
  Nejčastěji používaným low-pass filtrem je Butterworth znázorněný v dolní části obr.6. Má dva form-faktory - cutoff udávající prostorovou frekvenci odřezání *) a řád ("order") regulující, jak strmě filtr klesá od hodnot blízkých 1 k nule. Právě tato vysoká "tvárnost" činí filtr Butterworth tak oblíbeným.
Poznámka: Hodnota "cutoff" u filtru Butterworrth zde není aritmeticky rovna frekvenci odřezání, jak je tomu u ostatních filtrů. Pro n=cutoff je hodnota filtru rovná 0.5, přesně nulové hodnoty dosahuje filtr Butterworth dokonce až v limitě pro n®Ą. Efektivně se filtr blíží nule pro hodnoty n=2´"cutoff", a to tím více, čím vyšší je "řád" filtru.
Síla filtrace 
Jaké jsou společné zákonitosti použití low-pass filtrů? Co rozhoduje o jejich "síle"? Na obr.7 je tentýž scintigrafický obraz mozku filtrován postupně silnějším a silnějším filtrem.

........bez filtru ........................slabý filtr.........................střední filtr.....................silný filtr...................velmi silný filtr

.........bez filtru ........................Buttw,ord=13,cutoff=0.82. .....Buttw,ord=4,cutoff=0.5........Buttw,ord=4,cutoff=0.26....Buttw,ord=4,cutoff=0.15

Obr.7. Výsledek filtrace obrazu mozku pomocí filtrů různé síly

Čím dříve jde filtr k nule (při čím nižších prostorových frekvencích), tím je účinek filtrace silnější. Platí následující teorém :

Poznamenejme, že je to přesně opačné než v prostorové oblasti, kde síla filtrace je přímo úměrná ploše pod grafem konvolučního filtru !
  V pokročilých rekonstrukčních algoritmech u SPECT a PET se používají i sofistikovanější metody, které provádějí různě silnou filtraci v různých místech obrazu (srov. "Wavelet transformace").

4.2 Pásmové filtry - fokusační
Filtrace ve frekvenční oblasti umožňuje nejen vyhlazování obrazů zredukováním vyšších harmonických frekvencí. Pokud naopak pro určitou část vyšších harmonických frekvencí zesílíme jejich amplitudy, můžeme dosáhnout zvýšení lokálního kontrastu a "zaostření" některých detailů v obraze, které byly "rozmazány" vlivem nedokonalého rozlišení kamery. Takovéto pásmové filtry zesilují střední frekvence a zeslabují vysoké i nízké frekvence, čímž zvyšují kontrast objektů v obraze.

Lze umělým zaostřením obrazu zcela rekonstruovat skutečnost?
Obraz vzniká konvolucí originální distribuce (předmětu) a odezvové funkce zobrazovacího systému. Z teoretického hlediska by použitím inverzní procedury - dekonvoluce obrazu - mělo být možné zcela zrekonstruovat všechny detaily původního předmětu, i ty které jsou na obraze zahlazeny nedokonalým prostorovým rozlišením (tato procedura se nazývá "resolution recovery" - obnovení zhoršeného rozlišení).
  Následujícím obrázek ukazuje vyzkoušení této metody na našem pracovišti v r.1977 na scintilační kameře Pho Gamma Nuclear Chicago s vyhodnocovacím zařízením Clincom a vlastním softwarem. Pod scintilační kameru byly uloženy radioaktivní zdroje (jedna miska průměru 2,5cm a 4 kuličky průměru 1cm) naplněné roztokem ^99mTc o různých měrných aktivitách - profil jejich skutečné aktivity je na obr. vpravo nahoře "Originální distribuce".  
      
Dlouhotrvající akvizicí (cca 12 hodin) byl získán velmi hladký scintigrafický obraz (profil vpravo uprostřed), bez viditelných statistických fluktuací, na němž vlivem špatného rozlišení (snímáno 20cm od čela kolimátoru) nejsou viditelné detaily zdrojů. Měřením s čárovým zdrojem byla stanovena modulační přenosová funkce MTF(n) kamery a Fourierovou transformací F.T. její inverzní hodnoty 1/MTF(n) byl vypočten rekonstrukční filtr R(t) v prostorové oblasti (obr. vlevo dole). Konvolucí scintigrafického obrazu s tímto filtrem R(t) v prostorové oblasti byl získám rekonstruovaný obraz (profil vpravo dole), na němž je v detailech téměř dokonale rekonstruována výchozí originální distribuce. Při podrobnějším pohledu však vidíme drobné "vlnky", patrné zvláště v plochých oblastech. Ty neodpovídají skutečnosti - jsou to artefakty, vzniklé zesílením skrytých statistických fluktuací. Vzhledem k velmi dobré "statistice", v praxi nedosažitelné, jsou zde tyto artefakty drobné. Níže bude ale ukázáno, že v praxi jsou tyto artefakty limitujícím faktorem fokusace a "rekonstrukce" obrazů.

  Filtry, které kromě vyhlazování statistických fluktuací jsou schopny zaostřovat a zvýrazňovat detaily v obraze, jsou znázorněny na obr.8. a označují se jako filtry pásmové (chovají se odlišně v různých pásmech frekvencí).

Obr.8. Pásmové fokusační filtry

Od low-pass filtrů se liší tím, že neklesají od hodnoty F(n=0) = 1 monotónně k nule, ale skládají se ze dvou částí:

1. Počáteční vzestupná část, která vede k zesilování vyšších frekvencí a tím k fokusaci - "zaostřování" detailů v obraze.
2. Na ni plynule navazuje klesající část (analogická jako u low-pass filtrů), zabezpečující potlačení vyšších harmonických - a tím vyhlazení statistických fluktuací (šumů).

  Oba nejčastěji používané pásmové filtry - typu Metz a typu Wiener - jsou si do značné míry podobné. Vzestupná část je odvozena od inverzní hodnoty modulační přenosové funkce MTF a zabezpečuje podle teorie scintigrafického zobrazení optimální rekonstrukci (dekonvoluci - korekci obrazu na konvoluční "rozmazání" nedokonalým rozlišením kamery) a fokusaci obrazu - tzv. resolution recovery RR, "obnovení rozlišení" - viz. pojednání "Scintigrafie", pasáž "Nepříznivé vlivy u scintigrafie".
  Form-faktor "k" ("order") umožňuje plynule nastavovat relativní zastoupení vzestupné (fokusující) složky filtru, zatímco obvyklý parametr "cutoff" určuje zastoupení sestupné (vyhlazující) složky filtru. Z obr.9 vidíme, že čím větší je vzestupná část filtru, tím výrazněji filtr fokusuje. Pokud vzestupná část chybí - nízká hodnota parametru "k" - "order", filtr pouze vyhlazuje podobně jako každý jiný low-pass filtr (první část obr.9).

.....Metz,cutoff=1,ord=3. .........Metz,cutoff=1,ord=10.......Metz,cutoff=0.74,ord=30.....Metz,cutoff=1.8,ord=90

Obr.9. Filtrace pásmovým fokusačním filtrem různé síly

  Fokusaci obrazu však nelze zvyšovat neomezeně - při vysokém podílu vzestupné fokusační části filtru se začnou v obraze objevovat artefakty - falešné struktury způsobené zesílením statistických fluktuací; při pokusu o vysokou fokusaci se obraz nakonec rozpadne na soustavu ostrůvků, z nichž mnohé nesouvisejí se skutečnou distribucí radioindikátoru (poslední část obr.9).
Musíme tedy upozornit, že:

Pozn.: Filtry tohoto typu se rovněž používají v programech pro zpracování fotografických obrazů (jako je Photo Shop) ve funkci "Sharp" (dodatečné zaostření obrazu). Statistické fluktuace zde jsou většinou nízké (fotonů viditelného světla je o 3-6 řádů více než fotonů gama), avšak např. u nočních snímků mohou být podobné problémy jako u scintigrafického obrazu a dodatečná fokusace může nepřípustně zvýšit "zrnitost" obrazu.

5. Filtrománie: Který filtr je nejlepší ?
V literatuře často různí autoři doporučují určité filtry (filtry určitých názvů), což u čtenářů vzbuzuje všeobecně rozšířený dojem, že některé filtry jsou a priori lepší než ty druhé. Pouštějí se pak do pracných experimentů s filtry a literárních rešerší v naději, že najdou nějaký zaručeně nejlepší "zázračný" filtr, který jim vyrobí dokonalé obrazy. Zde si ukážeme, že toto všechno je jen klamné zdání.
  Pro objektivní rozbor je třeba si uvědomit, že nefiltruje název filtru, ba ani jeho matematická rovnice - ta jen generuje koeficienty, kterými se pro jednotlivé prostorové frekvence n bude násobit amplituda příslušné harmonické funkce ve spektru v Nyquistově oblasti. Jestliže tedy různé filtry - o různých názvech a různých funkčních vyjádřeních - pomocí form-faktorů nastavíme tak, že jejich grafy splývají, bude i výsledek filtrace identický.
Pozn.: Příslušný obrázek zde neuvádím - byla by to nezajímavá série identických obrazů. Každý si ale může zkusit, že např. filtry Sheep-Logan-Hamming s parametrem cutof=1.0, Parzen s cutof=1.2, Hamming s cutof=0.9, a=0.5 a filtr Butterwoth s parametry cutof=0.4, order=1.5 mají téměř stejné grafy a dávají při použití na scintigrafické obrazy stejné výsledky.
  Tato zákonitost jde ještě dál. Na obr.10 je tentýž obraz mozku filtrován třemi různými filtry - filtry různých názvů a různých tvarů svého grafu - volenými však tak, aby plocha pod křivkami filtrů byla přibližně stejná; toho lze dosáhnout cíleným laděním form-faktorů. Vidíme, že výsledek filtrace je téměř identický, navzdory značné různosti funkčních předpisů i tvaru grafů jednotlivých filtrů.

....Band-Lim,cutoff=0.51. .........Cosine,cutoff=0.80.... .......GenHann,cut=0.97,a=0.5. ...Butt,cutoff=0.49,ord=5

Obr.10. Filtry různých názvů a tvarů dávají téměř stejný výsledek, pokud mají stejnou plochu

  Tyto zajímavé zákonitosti nejsou všeobecně známy (ani v literatuře nejsou popsány) a působí na první pohled překvapivě; jsou však v souladu s teoretickou analýzou. Plyne z nich poučení, že: "filtrománie" nemá žádné opodstatnění, aspoň co se týče low-pass filtrů.
  Na otázku "Který filtr je nejlepší?", položenou v nadpisu tohoto odstavce, tedy můžeme klidně odpovědět: Žádný ! S každým z používaných filtrů low-pass můžeme vhodným nastavením jejich tvarovacích parametrů dosáhnout prakticky téhož výsledku, vyžaduje to jen zkušenost a kritické uvažování.

  A na závěr bych si dovolil ještě jednu radu*) : Nesnažme se při praktickém vyhodnocování scintigrafických obrazů často měnit filtry! - zhoršili bychom si tím reprodukovatelnost obrazů, zvláště při porovnávání u opakovaných vyšetření. Při začátku práce s novým systémem je nejlepší vyjít z určitých doporučených či již dříve osvědčených filtrů (např. Butterworth, order=3, cutoff=0.4), ty si řádně odzkoušet (a popř. modifikovat) a pak je dlouhodobě používat. Teprve když je nějaký závažný důvod (změna metodiky, přístroje, dostatečné nahromadění zkušeností a pod.), je rozumné změnit používaný filtr pro dané vyšetření. A samozřejmě můžeme cíleně zkoušet různou filtraci tehdy, když hledáme na obraze některé atypické anomálie ...
*) Snad si mohu dovolit nějakou tu skromnou radu vyslovit - jsem asi nejstarším "pamětníkem" filtrace scintigrafických obrazů v oboru nukleární medicíny u nás. Z fyzikálně-matematického hlediska jsem se aktivně problematikou filtrace zabýval již kolem r.1976 v souvislosti s teorií scintigrafického zobrazení a modulačními přenosovými funkcemi.

Rizika a úskalí filtrace obrazů
Ještě jednou varování u filtrace obrazů:
Staré české přísloví říká: "Kde nic není, tam ani čert nebere".
Pro náš případ toto přísloví můžeme parafrázovat takto:
"Kde nic není, tam čert může dodat - artefakt!"
- čert, v osobě přehnané filtrace, zvýrazněním statistických fluktuací dodává artefakty -
A kde něco je, tam to ten čert může sebrat:
Přehnanou filtrací zahladit detaily v obraze !

Tato práce byla přednášena na seminářích a symposiích České společnosti nukleární medicíny a je pravidelnou součástí postgraduálních kursů a seminářů pro obor nukleární medicíny v rámci IPVZ na KNM v Ostravě.

Poděkování:
Při vytváření této práce o filtrech a filtraci jsem úzce spolupracoval s prim.MUDr. Jiřím Bakalou, CSc. z odd. nukleární mediciny ve Zlíně. Dlouhé hodiny jsme spolu proseděli u kamery Picker a počítače Odyssey, experimentovali s různými druhy filtrů, ladili jejich parametry, diskutovali a posuzovali jejich účinky na klinické scintigrafické studie. Jsem Jirkovi vděčný za mnohé podněty a inspirace v mé teoretické práci.
Vojta Ullmann

Počítačové vyhodnocování		Komplexní programy

Vojtěch Ullmann