AstroNuklFyzika ® Jaderná fyzika - Astrofyzika - Kosmologie - Filosofie Gravitace, černé díry a fyzika

Kapitola 3
GEOMETRIE A TOPOLOGIE PROSTOROČASU
3.1. Geometricko-topologické vlastnosti prostoročasu
3.2. Minkowského rovinný prostoročas a asymptotická struktura
3.3. Cauchyova úloha, příčinnost a horizonty
3.4. Schwarzschildova geometrie
3.5. Reissnerova-Nordströmova geometrie
3.6. Kerrova a Kerrova-Newmanova geometrie
3.7. Prostoročasové singularity
3.8. Hawkingovy a Penroseovy teorémy o singularitách
3.9. Nahé singularity a princip "kosmické cenzury"

3.7. Prostoročasové singularity
Regulární a singulární řešení
V klasické fyzice mají tělesa a pole obvyklé a očekávané fyzikální, geometrické a topologické vlastnosti . Jsou (relativně) hladké a spojité, mají konečné rozměry a konečné hodnoty svých fyzikálních veličin. Takové chování označujeme jako regulární. A může být matematicky modelováno pomocí regulárních zobrazení, což jsou prostá vzájemně jednoznačná zobrazení, k nimž jsou k dispozici jednoznačná invezní zobrazení.
  Při matematickém modelování v teoretické fyzice se však setkáváme i se situacemi, kdy příslušné rovnice divergují a formálně dávají nekonečné či neurčité hodnoty fyzikálních veličin. Jednoduchým příkladem je níže uvedená idealizace bodového elektrického náboje, kdy podle Coulombova zákona je v místě o nulové vzdálenosti (r=0) nekonečně velká intenzita elektrického pole. Takovéto anomální chování fyzikální veličiny se obecně označuje jako singulární (je to opak chování regulárního). A místo či bod anomálního chování fyzikální veličiny se nazývá singularita
(lat. singularis = ojedinělý, vyjímečný, jedinečný).
  Při rozboru některých přesných řešení Einsteinových gravitačních rovnic (např. Schwarzschildova řešení) jsme viděli, že v některých místech tato řešení nejsou regulární. Ukázali jsme si, že některé z těchto "singularit" jsou způsobeny jen nevhodnou souřadnicovou soustavou a přechodem k jiným souřadnicím může být příslušné singulární chování odstraněno (příkladem může být pseudosingularita Schwarzschildovy sféry). V takových případech se tedy nejedná o singularity samotného prostoročasu (prostoročas je zde regulární).
 
Existují však místa, kde singulární chování nelze odstranit přechodem k jiné souřadné soustavě, např. bod r=0 ve Schwarzschildově geometrii. V takovém případě se jedná o skutečnou, fyzikální singularitu samotného prostoročasu (kde např. invarianty tenzoru křivosti dosahují nekonečných hodnot). Pod singularitami prostoročasu budeme v dalším rozumět právě jen podobné "neodstranitelné" singularity. Zde si ujasníme některé základní rysy prostoročasových singularit a pokusíme se podat jejich obecnou definici. O podmínkách, za nichž singularity vznikají, si povíme v příštím §3.8 "Hawkingovy a Penroseovy teorémy o singularitách".

Fyzikální nereálnost singularit
V této a dalších matematicky zaměřených kapitolách naší knihy (§3.4-3.9, §5.3) se singularitami zabýváme "vážně, jako kdyby skutečně existovaly". Je však třeba mít na paměti, že se jedná jen o
matematické abstrakce. Tyto singularity vznikají jako důsledek "přímočaré" striktní extrapolace přesných řešení rovnic obecné teorie relativity k určitým speciálním hodnotám souřadnic (např. k t=0, r=0).
  Skutečné "fyzikální" singularity, v nichž by reálné fyzikální veličiny nabývaly nekonečných hodnot, nemohou v přírodě existovat! Opravdové nekonečno nikdy v přírodě nevidíme (analýza různých druhů nekonečna byla provedena v §3.1, v oddíle "Nekonečno v prostoročase"). Pokud je nějaká teorie předpovídá, je to její vážný nedostatek, svědčící buď o její chybnosti či přílišné idealizaci, nebo o tom, že se v dané situaci dostává k mezím své platnosti. Pokud se nekonečno objeví v nějaké teorii, snažíme se ho odstranit (proces renormalizace v kvantové teorii), aspoň do doby, než bude vytvořena nová dokonalejší teorie.
  Ukazuje se, že v oněch "exotických" situacích hrají důležitou úlohu kvantové zákonitosti gravitace i ostatních druhů interakcí, které se zde imanentně vynořují (jako důsledek kvantových fluktuací polí ve vakuu) společně s "klasickou" gravitací. Zahrnutí těchto kvantových interakcí do obecně-relativistického gravitačního modelu může tuto singularitu odstranit - prostoročas zde nemusí být singulární, může mít sice velmi vysokou, ale konečnou křivost, při konečné koncentraci polí, konečné hustotě a teplotě gravitující látky. Z kvantového hlediska lze očekávat, že singularita se "rozpustí" v kvantové pěně. Toto je, zatím neurčitý, pohled kvantové gravitace a kvantové geometrodynamiky (§B.4 "Kvantová geometrodynamika").
  Přesto však je užitečné matematicky prozkoumat, za jakých okolností v (nekvantové) teorii vznikají singularity a jaké mají vlastnosti, z nichž by se něco mohlo "potenciálně" uplatnit i v praxi.

Porovnejme nejprve situaci kolem singularit v gravitaci s příslušnou situací v elektrodynamice. V elektrodynamice se též vyskytují singularity, např. v místě bodového elektrického náboje (klasická idealizace!) dosahuje intenzita elektrického pole nekonečných hodnot. Metrika Minkowského prostoročasu, na jejímž pozadí (a s pomocí níž) elektrické pole sledujeme (a měříme) zůstává však všude regulární *). Naproti tomu v obecné teorii relativity nemáme "nezúčastněnou" metriku, s jejíž pomocí sledujeme chování (a tedy i případné singularity) nějakého pole. Zde je metrika prostoročasu tím samým polem, jehož singularity vyšetřujeme. Singularita prostoročasu má proto mnohem hlubší důsledky než singularita např. v klasické elektrodynamice. V prostoročasové singularitě, kde přestává existovat regulární prostor a čas, ztrácejí platnost všechny fyzikální zákony, protože všechny dosavadní fyzikální zákony jsou formulovány na bázi klasického prostoru a času.
*) Tak je tomu ve STR, když elektromagnetické pole bereme izolovaně. Ve skutečnosti však elektromagnetické pole vzbuzuje i gravitační pole (zakřivuje prostoročas), takže v místě nekonečné intenzity elektromagnetického pole by vzniklo i nekonečně silné gravitační pole (nekonečné zakřivení prostoročasu), a tedy prostoročasová singularita.
  Singulární bod nelze považovat za součást sledované prostoročasové variety, nelze v něm principiálně provádět žádná fyzikální měření. Aby prostoročas zůstal varietou, je nutno všechny singulární body z něj vyloučit ("vyříznout"). Zbylý prostoročas bude potom opět varietou, kde v každém bodě budou platit obvyklé fyzikální zákony a kde je možno provádět fyzikální měření. Nelze však zbylý prostoročas prohlásit za regulární a myslet si, že jsme se tím úplně zbavili singularit. Jak uvidíme níže, má tento zbylý prostoročas určité "patologické" vlastnosti (související s tím, že některé geodetiky končí svou existenci v místech "vyřezaných" singulárních bodů) bránící považovat jej za regulární.

Pokusme se vystihnout společné charakteristické vlastnosti prostoročasových singularit. Jinými slovy: jaká principiální "nebezpečí" mohou při pohybu prostoročasem čekat na reálného pozorovatele (pohybujícího se po světočárách časového nebo světelného typu)? Omezíme se zatím pro jednoduchost na pohyb po geodetikách. Příklad jednoho takového nebezpečí jsme viděli při analýze pohybu částic ve Schwarzschildově geometrii centrálně symetrického gravitačního pole. Dostane-li se pozorovatel pod Schwarzschildovu sféru, je jeho osud zpečetěn - za krátký interval vlastního času se nutně dostane do bodu r=0, kde bude zničen nekonečnými slapovými silami.
  Názorným příznakem singularity by tedy mohla být singularita křivosti - neomezeně velká křivost prostoročasu v blízkém okolí singulárního bodu. Při přesné analýze však narážíme na tu potíž, že prostoročas v okolí singulárního bodu není regulární (samotný singulární bod je dokonce vyloučen ze sledovaného prostoročasu), takže nemusí být zcela jasné, co je zde "blízké okolí" a "neomezeně velká křivost". Protože číselné hodnoty složek tenzoru křivosti závisejí na použité vztažné soustavě (vektorové bázi, která může v blízkosti singularity degenerovat), je třeba sledovat buďto chování skalárních polynomů (nezávislých na použité bázi) vytvořených ze složek metrického tenzoru gik a tenzoru křivosti Riklm, nebo měřit složky tenzoru křivosti Riklm v bázi paralelně přenášené podél vyšetřované světočáry z bezpečně vzdálené regulární oblasti do vyšetřovaných bodů v blízkosti singularity.

Obr.3.26. Nekompletní geodetika G, která končí po uplynutí konečného vlastního času (resp. při konečné hodnotě afinního parametru) a dále ji již v rámci M nelze prodloužit, je příznakem prostoročasové singularity.

Singularity však mají ještě jednu společnou vlastnost, která je jednodušší a charakteristištější. Důležité totiž je, že světočára pozorovatele při setkání se singulárním bodem (např. s r=0 ve Schwarzschildově geometrii) zde nespojitě končí za konečný interval vlastního času. Tuto geodetiku nelze v rámci existující variety dále prodloužit, objekt opisující geodetiku prostě pro ni přestal existovat a nemůže být tedy již popsán žádným světobodem z dané variety (obr.3.26). Můžeme tedy říci, že např. ve Schwarzschildově prostoročase existují geodetiky (jsou to konkrétně všechny ty geodetiky, jež protínají Schwarzschildovu sféru), které mají jen konečnou celkovou délku a nespojitě končí po uplynutí konečného intervalu vlastního času (popř. při konečné hodnotě afinního parametru v případě izotropních geodetik). Takové geodetiky jsou "neúplné" (nekompletní). Pojem kompletnosti a nekompletnosti lze rozšířit z geodetik i na obecné světočáry, přičemž afinní parametr se nahradí zobecněným afinním parametrem *).
*) Zobecněný afinní parametr se zavádí následujícím způsobem [225],[127]:
1. V bodě p
ÎM, jímž prochází křivka C: x = x(t), se zvolí trojrozměrná vektorová báze (e1,e2,e3) v tečném prostoru.
2. Paralelním přenosem podél křivky
C lze získat vektorovou bázi v každém bodě křivky (pro každou hodnotu t).
3. Tečný vektor
V(t) = (/t)x(t) v každém bodě křivky lze vyjádřit pomocí přenesené báze: V = Va(t).ea .
4. Zobecněný afinní parametr se pak definuje integrálem
l = pňx(t) (Vi Vi)1/2 dt; závisí na bodu p a na vektorové bázi ea v bodě p.
Jestliže x(t) je geodetika, je l afinním parametrem na C: x=x(t). Zobecněný afinní parametr l však lze zavést na libovolné křivce v M.

Definice 3.7
Světočára G se nazývá úplná (kompletní) v prostoročase (M,g), jestliže je v M definována pro každou hodnotu afinního parametru (vlastního času pro trajektorie časového typu) (-Ą,+Ą).
V opačném případě, světočára která má počáteční nebo koncový bod (za který ji již nelze v rámci
M prodloužit) při konečné hodnotě afinního parametru l (vlastního času pro křivky časového typu), se nazývá nekompletní.
Definice 3.8
Prostoročas (M,g) se nazývá kompletní (resp. geodeticky kompletní), jestliže každá světočára (resp. každá geodetika) v M je kompletní.
V opačném případě se
M nazývá nekompletní (resp. geodeticky nekompletní).

Jinými slovy, v kompletním prostoročase M každá světočára G(l) konečné "délky" (měřené zobecněným afinním parametrem l) má koncový bod v M - je prodloužitelná.
  Z příkladu Schwarzschildovy geometrie (která je zjevně singulární) je vidět, že geodetická nekompletnost - tedy existence neúplných časových a izotropnich geodetik - je postačující podmínktou singulárnosti prostoročasu. Z fyzikálního hlediska však musíme považovat za singulární i takový prostoročas, který je sice geodeticky kompletní, ale ve kterém existují nekompletní časupodobné světočáry (ne-geodetiky). Fyzikální význam nekompletnosti vzhledem ke světočárám prostorového typu, po nichž se nemůže pohybovat žádný reálný objekt, není jasný a proto ji zde nebudeme uvažovat.
  Můžeme tedy konečně vyslovit obecnou definici prostoročasové singularity:

Definice 3.9 (singularity prostoročasu)
Nerozšiřitelný prostoročas (M,g) se nazývá singulární, jestliže obsahuje nekompletní světočáry časového nebo izotropního typu.
Body, ve kterých tyto světočáry končí při konečné hodnotě afinního parametru (vlastního času) a za které je již nelze v rámci
M prodloužit, se nazývají prostoročasové singularity.

Podmínka "nerozšiřitelný" je v definici 3.9 proto, že každý rozšiřitelný prostoročas automaticky obsahuje nekompletní světočáry. Například vezmeme-li jen část rovinného (a samozřejmě regulárního) Minkowskiho prostoročasu, budou se zde vyskytovat neúplné geodetiky, které budou končit (nebo začínat) na "okraji" námi vymezené části tohoto prostoročasu. Tento jev by samozřejmě nebylo rozumné považovat za singularitu. První věta v definici 3.9 se dá též ekvivalentně říci takto:
    Prostoročas (M,g) se nazývá singulární, jestliže každá jeho extenze obsahuje nekompletní světočáry
    časového nebo izotropního typu.
  Podle definice 3.9 jsme tedy za příznak singularity prostoročasu zvolili přítomnost světočáry, která v nějakém místě končí za konečný vlastní čas a nemůže pokračovat dále. V příštím §3.7 bude ukázáno, za jakých předpokladů takto definované singularity v prostoročasech obecné teorie relativity vznikají.

Zbývá nám vyjasnit si fyzikální vlastnosti a strukturu singularit. Vybudovat "fyziku singularit" není nijak snadné, protože singularity jsou samy o sobě čímsi "nefyzikálním", co musí být vyloučeno z fyzikální variety M, aby tato zůstala varietou. Jedna z metod analýzy singularit byla navržena Gerochem [95] a Hawkingem [130] a dále zdokona Schmidtem [225]. Každé nekompletní světočáře se přiřadí příslušný "koncový bod", přičemž za totožné se považují ty koncové body, které přísluší takovým světočárám G1 a G2, že světočára G2 vchází do prostoročasové oblasti vzniklé kolem svštočáry G1 jejími malými variacemi, a tam již zůstává (obr.3.27). Takovým ztotožněním vznikají třídy ekvivalence koncových bodů nekompletních světočar a množina všech těchto tříd ekvivalence vytváří jistou hranici M kolem singularity. Tato hranice je jednoznačně určena strukturou (M,g), tj. může být stanovena měřeními v nesingulárních bodech M.

Obr.3.27. Kolem singularity se sestrojí jistá hranice M, sestávající z tříd ekvivalence "koncových bodů" nekompletních světočár v M. Za totožné (tj. patřící do stejné třídy ekvivalence) se přitom považují koncové body takových světočar G1 a G2, kde G2 vchází do čárkované oblasti vznikající kolem G1 malými variacemi a již z ní nevychází.

Že otázka definice a klasifikace prostoročasových singularit není nijak triviální, si můžeme ukázat na jednoduchém příkladě. Vezmeme-li v úvahu pouze relativistickou kinematiku, můžeme si představit raketu, která se v obyčejném Minkowskiho prostoročase tak urychluje, že její světočára se stává izotropní (raketa dosahuje rychlosti světla) natolik rychle, že celkový interval vlastního času pozorovatele v raketě bude konečný - světočára bude mít konečnou "délku". Po uplynutí konečného času již raketu nebude možno zobrazit žádným světobodem v daném Minkowskiho prostoročase. Tato situace je však fyzikálně neuskutečnitelná, protože raketa pohybující se po takové světočáře by musela mít nekonečné množství paliva. Geroch [96] ale zkonstruoval prostoročas, který je sice geodeticky kompletní, ale obsahuje neúplné světočáry časového typu s konečným zrychlením; z takového prostoročasu by se dalo "uletět" na raketě s konečnou zásobou paliva.
  Intuitivně očekáváme, že singularita souvisí s nekonečně velikou křivostí prostoročasu. Skutečně, definice 3.9 toto zahrnuje, protože jednou z příčin, proč nelze nějakou světočáru prodloužit za určitý její bod, může být neomezeně velká křivost prostoročasu v blízkosti tohoto místa. Neúplnost prostoročasu však nemusí být vždy způsobena singularitou křivosti. Byly zkonstruovány příklady, např. prostoročas Taubův, Newmanův, Tamburinův a Untiho [188],[127], který splňuje podmínky definice singularity 3.9 (obsahuje horizonty, za něž nelze některé geodetiky prodloužit), ale přitom má všude konečnou křivost. Neúplnost geodetik zde má spíše metrický než topologický charakter. Prostoročasy tohoto druhu jsou však čistě umělou konstrukcí a nemohou se uplatnit, pokud je v prostoročase nějaká hmota. Obecně lze očekávat, že ve fyzikálně reálných situacích budou singularity prostoročasu skutečně způsobeny nekonečně velkou křivostí, popř. její nespojitostí (stále však mějme na paměti výše uvedenou diskusi "Fyzikální nereálnost singularit").

3.6. Kerrova a Kerrova-Newmanova
geometrie
  3.8. Hawkingovy a Penroseovy teorémy
o singularitách

Gravitace, černé díry a fyzika prostoročasu :
Gravitace ve fyzice Obecná teorie relativity Geometrie a topologie
Černé díry Relativistická kosmologie Unitární teorie pole
Antropický princip aneb kosmický Bůh
Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření
AstroNuklFyzika ® Jaderná fyzika - Astrofyzika - Kosmologie - Filosofie

Vojtěch Ullmann