dodatek B
UNITÁRNÍ TEORIE POLE A KVANTOVÁ GRAVITACE
B.1. Proces sjednocování ve fyzice
B.2. Einsteinovy vize geometrické unitární teorie pole
B.3. Wheelerova geometrodynamika. Gravitace a topologie.
B.4. Kvantová geometrodynamika
B.5. Kvantování gravitačního pole
B.6. Sjednocování fundamentálních interakcí. Supergravitace. Superstruny.
B.7. Obecné principy a perspektivy unitární teorie pole

B.4. Kvantová geometrodynamika

Když to zrekapitulujeme, geometrodynamický pohled na svět klasické (nekvantové) fyziky je obdivuhodně jednotný: neexistuje nic než prázdný prostoročas, veškerá hmota, pole i náboje jsou projevem geometrických a topologických vlastností prázdného prostoru. Klasická fyzika by takto mohla být plně unitarizována.

Víme však, že příroda je mnohem pestřejší - je známo více než 300 druhů "elementárních" částic, náboj je kvantován atd. Geony se svojí velikou hmotností a celkovou klasickou strukturou nemohou mít přímou souvislost s elementárními částicemi, podobně jako geometrodynamické elektrické náboje vznikající v zakřiveném vícenásobně souvislém prostoru nemají přímý vztah ke kvantovaným nábojům elementárních částic. Z tohoto pohledu se celá klasická geometrodynamika jeví jen jako zajímavá fyzikálně-matematická hříčka.

Pro sladění geometrodynamiky se světem elementárních částic by bylo možno pokusit se do "čisté" geometrodynamiky implantovat příslušná kvantová pole (mezonové, neutrinové atd.). Pak by však bylo třeba fenomenologicky zavést příslušné vazbové konstanty a objevily by se další nedostatky stávajícího aparátu kvantové teorie pole (potíže s renormalizací), takže by se fakticky vytratily přitažlivé rysy geometrodynamiky jako dokonale unitární teorie.

Wheeler šel jinou cestou: pokusil se o kvantovou formulaci své klasické geometrodynamiky v naději, že takto vzniklá kvantová geometrodynamika by mohla vysvětlit vlastnosti elementárních částic. Jinými slovy, zkoumal k jakým důsledkům povedou kvantové relace neurčitosti v geometrodynamice.

Kvantové fluktuace polí a geometrie prostoročasu
Základním postulátem kvantové mechaniky je známý Heisenbergův princip neurčitosti Dx.Dp ł h, kde h ş h/2p @ 1,05.10^-27 g cm³/s je Planckova konstanta. Relace neučitosti DA.DB ł h přitom platí mezi každými dvěma dynamicky zpřaženými veličinami A a B; na příklad

Sledujeme-li např. magnetické pole v nějaké malé prostorové oblasti charakterizované rozměrem L, bude tam obsažena energie úměrná B².L³ a čas potřebný ke změření pole bude L/c; relace neurčitosti DE.Dt ł h pak dává (DB)².L⁴ ł h.c, neboli DB ł hc/L². Lze tedy říci, že kvantové fluktuace elektromagnetického pole v oblasti velikosti L jsou řádově rovny

Pole tedy neustále "kmitá" mezi konfiguracemi, jejichž fluktuační rozmezí je tím větší, čím menší prostorové oblasti sledujeme. Vliv těchto kvantových fluktuací na pohyb elektronu kolem atomového jádra je schématicky znázorněn na obr.B.5.

Obr.B.5. Schématické znázornění pohybu elektronu kolem atomového jádra. Při podrobnějším pohledu na Keplerovskou trajektorii elektronu by byly vidět chaotické nepravidelnosti způsobené kvantovými fluktuacemi elektrického pole. Střední odchylka od globální trajektorie je rovna nule, avšak střední kvadratická odchylka vede k malému posunu energetické hladiny. Tento posun byl stutečně změřen jako součást Lambova-Ruthefordova posunu.

Předpokládáme-li univerzální platnost Heisenbergova principu neučitosti, musí podobná situace nastávat i v geometrodynamice: musí se projevovat kvantové fluktuace geometrie prostoročasu. V prostorové oblasti s charakteristickými rozměry L (vyšetřované v lokálně inerciální soustavě s diagonálními metrickými koeficienty -1,1,1,1) budou fluktuace geometrie prostoročasu, tj. metriky, konexe a křivosti, řádově rovny

kde

je tzv. Planckova-Wheelerova délka, kterou formálně zavedl již v r.1899 M.Planck a jejíž fundamentální význam vyjasnil J.A.Wheeler.

Fluktuace geometrie a topologie prostoročasu
V měřítcích L »10^-8cm, s nimiž pracuje atomová fyzika, je Dg ~10^-25; dokonce i pro měřítka L »10^-13cm jaderné fyziky jsou kvantové fluktuace metriky Dg »10^-20 zcela zanedbatelné. Proto ve všech situacích, s nimiž se zatím setkáváme, můžeme prostoročas plným právem považovat za hladké kontinuum. Základní postulát klasické fyziky (speciální a obecné teorie relativity), že prostor je lokálně eukleidovský, je velmi dobře splněn.

Obr.B.6. Ve velmi malých měřítcích mohou kvantové fluktuace metriky prostoru (a,b,c) spontánně vzrůst natolik, že prostor se stane vícenásobně souvislým (d) - přerostou ve fluktuace topologie.

Jdeme-li však do stále menších měřítek, kvantové fluktuace stále rostou, až v oblastech velikosti L »10^-33cm, kde je podle (B.9) Dg ~1, jsou fluktuace metriky již natolik silné, že přerůstají ve fluktuace topologie - obr.B.6. Dynamická evoluce zakřiveného prázdného prostoru ve spojení s kvantovým principem tak vede ke specifickým zákonitostem u velmi malých vzdáleností: v mikroměřítcích řádu ~10^-33cm velmi silně fluktuuje nejen geometrie, ale i topologie prostoru (Dg »1).

Při běžném pohledu se nám prostoročas jeví jako spojité hladké kontinuum. Podobně když se z vysoko letícího letadla díváme na povrch oceánu, vidíme zcela hladkou hladinu, jen mírně globálně zakřivenou (do tvaru zeměkoule) - obr.B.7a. Seskočí-li pozorovatel padákem a postupně se blíží k hladině, vidí stále zřetelněji, že je rozvlněná (obr.B.7b). Když nakonec dosedne s gumovým člunem na vodu tak si uvědomí, jak daleko má hladina do ideálně rovné a hladké plochy - hladina se prudce vlní, stříká pěna.
V metrových měřítcích silně fluktuuje místní zakřivení hladiny (vlny), v centimetrových a milimetrových měřítcích fluktuuje dokonce i topologická struktura hladiny - oddělují se kapky, vznikají bubliny pěny (obr.B.7c).

Obr.B.7. K analogii mezi geometricko-topologickou strukturou prostoročasu a strukturou hladiny oceánu.
a) Při podledu z výšky několika kilometrů se hladina oceánu jeví jako ideálně hladká plocha.
b) Z výšky několika desítek metrů se hladina jeví jako zvlněná, ale jinak hladká.
c) Z bezprostřední blízkosti je vidět, že silně fluktuuje nejen zakřivení hladiny, ale i její topologická struktura (bubliny, kapky).

Podobně v našem časoprostorovém "kontinuu" čím menší mikrooblasti sledujeme, tím výrazněji se budou projevovat kvantové fluktuace geometrie, až nakonec v měřítcích Planckovy délky l_p»10^-33 cm bude silně fluktuovat i samotná topologie prostoru (budou se např. vytvářet a zanikat topologické tunely a pod.). Podle kvantové geometrodynamiky je tedy to zdánlivě prázdné vakuum dějištěm nejbouřlivějších mikrojevů - prostoročas má jakousi "pěnovitou" neustále spontánně fluktuující mikrostrukturu.

Možný praktický důsledek:
Pohybuje se vysokoenergetické g-záření pomaleji než světlo?
Veškeré elektromagnetické záření se ve vakuu šíří přesně rychlostí světla c, nezávisle na pohybu zdroje a pozorovatele. Toto je základní poznatek, pevně ukotvený ve speciální teorii relativity. A to nezávisle na vlnové délce - rychlostí c se šíří radiovlny, viditelné světlo *), X i gama záření.
*) Disperze, pozorovaná u světla v látkovém optickém prostředí, má původ v (kolektivních) interakcích elektromagnetické vlny s atomy látky; ve vakuu nenastává.

Obr.B.7.d) Vliv fluktuací geometrie prostoročasu na rychlost pohybu vysokoenergetických fotonů záření gama.

V souvislosti s uvedenými kvantově-gravitačními fluktuacemi prostoročasu se však mohou vyskytovat jevy, které toto základní tvrzení mohou za určitých okolností zpochybnit. Na obr.B.7.d je znázorněna situace, kdy jsou z určitého zdroje ve stejný okamžik vyzářeny dva fotony: jeden foton s nižší energií, tj. delší vlnovou délkou, druhý foton vysokoenergetického záření gama s velmi krátkou vlnovou délkou. Pro záření s delší vlnovou délkou se v příslušném delším měřítku kvantové fluktuace metriky zprůměrují a zcela vyhladí, takže toto záření se bude v klasickém vakuu pohybovat přesně rychlostí světla v=c. Fotony vysokoenergetického záření g s velmi krátkou vlnovou délkou však budou na fluktuace metriky prostoročasu v jemném měřítku "citlivější", než nízkoenergetické fotony. Takové vlnění se bude pohybovat po mírně zvlněné geodetické dráze, fotony se budou v jistém smyslu "prodírat" nerovnostmi dráhy, způsobenými jemnými poruchami metriky a jejich efektivní rychlost v_ef bude o něco menší než c. Můžeme to přirovnat k pohybu automobilu s malými kolečky a s velkými koly po hrbolaté cestě: při pohánění kol stejnou obvodovou rychlostí pojede automobil s malými kolečky o něco pomaleji než auto s velkým průměrem kol.
Pozn.: Tento jev nelze považovat za porušení či selhání speciální teorie relativity, která přesně platí v plochém prostoročase bez defektů metriky.
   Tyto rozdíly se projevují až při velmi vysoké energii záření g, v oblasti GeV a TeV. I zde jsou rozdíly v rychlosti velice malé (řádově 10^-20), bez možnosti laboratorního změření. Mohly by být v budoucnu prokázány jedině časovým porovnáním detekce světla a záblesků tvrdého g-záření z katastrofických procesů ve vzdáleném vesmíru. Na kosmologických vzdálenostech miliard světelných let by se i tyto nepatrné rozdíly v rychlosti mohly "nakumulovat" a projevit se měřitelnými efekty (problémem je ovšem odlišit tyto rozdíly od rozdílů emisních časů v samotných zdrojích...).

Kvantové fluktuace způsobují, že prostor má kromě makroskopické (gravitační, vesmírné) křivosti též "mikrokřivost" poloměru řádově L*»10^-33cm a že všude vznikají hrdla topologických tunelů, jejichž rozměry a vzájemné vzdálenosti jsou řádově rovněž ~L*. Máme-li topologický tunel velikosti L (a tedy plochy ~L²), budou zde kvantové fluktuace intenzity elektrického pole řádově Ö(hc)/L², takže celkový tok intenzity pole udávající efektivní elektrický náboj bude řádově q ~ Ö(h.c) » 10.e, nezávisle na rozměrech tunelu. Tento typický náboj v geometrodynamice však nemá přímou souvislost s nábojem elementárních částic, protože je o řád větší než elementární kvantum náboje e a není kvantován. Hustota energie E²/8p pole v typickém tunelu dosahuje obrovských hodnot ~ hc/L*⁴ »5.10⁹³g/cm³ a charakteristická hmotnost-energie připadající na jeden topologický tunel činí m~Ö(h.c/G) @ 2,2.10^-5g » 10¹⁹GeV, což je přinejmenším o 20 řádů více než klidové hmotnosti elementárních částic (a asi o 9 řádů více než maximální energie zaregistrované v kosmickém záření).

Tyto obrovské hodnoty jsou evidentně v rozporu s velmi nízkou střední hustotou energie, kterou v prostoru pozorujeme. Vezmeme-li však v úvahu příspěvek gravitace k hustotě energie a hmoty, pak dvě typická ústí tunelu o hmotnostech m₁ » m₂~ Ö(hc/G) =~ 10^-5g, vzdálená od sebe r_1,2 »L* @ 10^-33cm, budou mít při vzájemné gravitační interakci vazbovou energii E_gr = -Gm₁m₂/r_1,2»-c²Ö(hc/G). Hmotový defekt dvou sousedních ústí topologických tunelů Dm_gr = E_gr/c² ~ -Ö(hc/G) @ -10^-5g, který je záporný a stejného řádu jako (kladná) elektromagnetická hmotnost obou struktur, může tedy lokálně zkompenzovat energie příslušných fluktuací. Takto lokálně vykompenzované fluktuace již nevykazují gravitační přitažlivost se vzdálenějšími koncentracemi hmoty a energie. Po takové celkové kompenzaci obrovských pikofluktuací může vakuum vypadat tak, jak ho pozorujeme.

Pozorované elementární částice, které však zřejmě nejsou zdaleka elementární, mají rozměry řádově 10²⁰-krát větší než Planckova délka, a tedy by snad mohly být jakýmisi "kolektivními excitacemi" (zahrnujícími velký počet elementárních fluktuací) v moři silných fluktuací mikrogeometrie, které se všude jinde v průměru ruší a makroskopicky tvoří obvyklé "vakuum". Zda tomu tak je a jak to probíhá, zatím nikdo neví.
I když se tedy kvantové geometrodynamice zatím nepodařilo vysvětlit strukturu elementárních částic, poskytuje důležité mezní fundamentální hodnoty některých základních fyzikálních veličin:

Kvantová struktura prostoročasu přitom ukazuje, že menší vzdálenosti než L*»10^-33cm a kratší časové intervaly než t*» 10^-43s nemají význam, protože prostorové vztahy a časové relace zde vlivem kvantových fluktuací topologie ztrácejí smysl. Z kvantového hlediska tedy prostor a čas není spojitým neomezeně dělitelným kontinuem, ale efektivně má "zrnitou" diskrétní strukturu jakýchsi "atomů" či "elementárních částic" prostoru a času - rozpadá se na elementární Planckovy délky ("kvanta prostoru") a Planckovy časy ("kvanta času", zvaná též někdy chronony).
Můžeme si představit následující názorné zdůvodnění nejmenší možné délky: Vizuální rozlišení dvou blízkých bodů v prostoru vyžaduje použití vlnové délky světla kratší než je vzdálenost bodů. Energie fotonů je nepřímo úměrná vlnové délce, takže čím bližší jsou body, tím větší energii fotonů potřebujeme. Podle OTR tato energie fotonů způsobuje zakřivení prostoročasu. Při Planckově vzdálenosti »10^-33cm by vzrostla křivost prostoročasu (způsobená potřebnými vysokoenergetickými fotony) natolik, že body by se ocitly uvnitř horizontu černé díry - změření tak malé vzdálenosti se stane principiálně nemožným, prostoročas zde přestává být spojitý. U Planckovy délky končí platnost OTR, fyzikální procesy jsou zde ovládány kvantovou teorií gravitace. Kvantová geometrodynamika naznačuje, že v nejmenších mikroměřítkách dochází ke vzniku jakýchsi "kvant prostoru" na pozadí obecné variety bez metrické struktury, prostor lze připodobnit ke "kvantové pěně". Tato představa by mohla být důležitá pro kvantovou teorii pole obecně, neboť energie kvant je nepřímo úměrná vlnové délce příslušného "vlnového klubka". Pokud nemohou být vlnové délky menší než určitá dolní hranice (v našem případě »10^-33cm), protože kratší délka prostě neexistuje, pak energie kvant je shora omezena - kvanta s nekonečnou energií, která působí takové potíže v kvantových teoriích pole, jsou předem vyloučena.
To, že v prostoru a čase existuje nejmenší délka a nejkratší časový interval, o nichž má smysl ještě hovořit, je poznatek svým významem přesahující rámec geometrodynamiky a dokonce i celé fyziky!

B.3. Wheelerova geometrodynamika. Gravitace a topologie.		B.5. Kvantování gravitačního pole

Vojtěch Ullmann