Kapitola 3
GEOMETRIE A TOPOLOGIE PROSTOROČASU
3.1. Geometricko-topologické vlastnosti prostoročasu
3.2. Minkowského rovinný prostoročas a asymptotická struktura
3.3. Cauchyova úloha, příčinnost a horizonty
3.4. Schwarzschildova geometrie
3.5. Reissnerova-Nordströmova geometrie
3.6. Kerrova a Kerrova-Newmanova geometrie
3.7. Prostoročasové singularity
3.8. Hawkingovy a Penroseovy teorémy o singularitách
3.9. Nahé singularity a princip "kosmické cenzury"

3.1. Geometricko-topologické vlastnosti prostoročasu

Gravitační pole je projevem geometrických vlastností prostoročasu - to je stanovisko obecné teorie relativity ke kterému jsme dospěli v předchozí kapitole. Je proto užitečné studovat vlastnosti prostoročasu z hlediska geometrického a topologického. Získají se tím důležité poznatky obecné platnosti o struktuře prostoročasu a tím i o průběhu fyzikálních dějů pod univerzálním vlivem gravitace. Poznání geometrické struktury prostoročasu je nejen zajímavé samo o sobě, ale má zásadní význam ve fyzice černých děr (viz kap.4) a v kosmologii (kapitola 5).
Pozn.: Topologické přístupy a metody do studia vlastností prostoročasu v obecné teorii relativity zavedl v 60.letech Roger Penrose.

T o p o l o g i e
Než přistoupíme k vlastnímu studiu geometrických a topologických vlastností prostoročasu, zhruba si nastíníme co se rozumí topologií a jaký je její vztah ke geometrii. Podrobný výklad topologie z matematické stránky je v řadě monografií, např. [151], [155], [60]. Geometrie vznikla jako nauka o měření (porovnávání) těles - jejich délek, tvarů, úhlů, ploch, objemů, vzdáleností a pod.*). Přitom "scénou" v níž se taková měření provádějí je prostor a některé společné geometrické vlastnosti měřených těles prohlašujeme za geometrické vlastnosti tohoto prostoru. Prostor je pojem, který vyjadřuje vzájemné poziční vztahy jednotlivých předmětů a jejich částí.
*) V průběhu vývoje geometrie postupně přerostla svůj původní význam a sloučila se se všemi těmi částmi matematiky, v nichž hraje nějakou úlohu spojitost. Do těchto obecných matematických struktur vnáší geometrie svoji velikou přednost, kterou je její názornost. Na dvojrozměrných analogiích, které obsahují téměř všechny důležité rysy vícerozměrných prostorových útvarů, lze názorně ilustrovat mnohé konstrukce, které si v jejich obecné verzi nedovedeme přímo představit - např. různé transformace a zobrazení lze interpretovat jako příslušné deformace (zprohýbání, roztažení, slepení) dvojrozměrných ploch.

Vlastnosti prostoru můžeme rozdělit na kvantitativní - metrické (souvisejicí s měřením vzdáleností, úhlů, ploch) - a na kvalitativní - topologické. Topologie, která se někdy též nazývá "kvalitativní geometrie", je velmi zhruba řečeno to, co zbude z geometrie, když si z ní odmyslíme všechno co má nějakou velikost (a v tomto smyslu i konkrétní tvar). Zabývá se kvalitativně tím, jak jsou body, množiny a objekty vnitřně a mezi sebou spojeny (propojeny), či jak spolu sousedí. Topologie studuje takové vlastnosti geometrických útvarů, které se při spojitých deformacích (tj. různých roztaženích, stlačeních nebo zprohýbáních, za podmínky že nedochází k žádným roztržením nebo spojením různých částí), nemění. Jinak řečeno, topologie systematizuje naše intuitivní představy a zkušenosti o "možném" a "nemožném" v prostoru.

Z hlediska topologie jsou kružnice, elipsa, čtverec nebo trojúhelník stejné, jsou vzájemně homeomorfní - použitím topologického zobrazení lze deformovat kružnici na elipsu, čtverec nebo trojúhelník a naopak. Tím spíše jsou si topologicky ekvivalentní kružnice o různých poloměrech nebo čtverce s různými délkami strany. Podobně koule, elipsoid, krychle a jehlan. Takové vzájemně homeomorfní útvary jsou jen různými metrickými variantami téže topologické množiny bodů. Topologie tedy studuje nejzákladnější globální vlastnosti prostoru (a geometrických útvarů v něm) jako je souvislost, spojitost, počet rozměrů, omezenost nebo neomezenost a pod. V tomto smyslu je tedy topologie hlubší a obecnějši než to, co se běžně pokládá ze geometrii. Níže uvidíme příklady prostorů, které mají stejné geometrické (metrické) vlastnosti, avšak zcela odlišné vlastnosti topologické.

Část matematiky zvaná topologie, která vychází z upřesňování intuitivních pojmů "spojitost", "blízkost", "limita", se zabývá jakýmsi "místopisem" bodových množin; studuje kvalitativní pojem "blízkosti" jednotlivých bodů tím, že specifikuje co se rozuní okolím každého bodu množiny. Říkáme, že na množině X je dána topologie, je-li určena soustava U podmnožin UĚX taková, že:
a) Průnik dvou množin z U patří rovněž do U;
b) Sjednocení libovolné soustavy množin z U patří rovněž do U.
Množina X (která je rovněž prvkem U) spolu s danou topologií se nazývá topologický prostor (X, U). Okolím bodu x Î X pak rozumíme otevřenou množinu U Î U která bod x obsahuje.

Ke vzájemnému porovnávání množin slouží operace zobrazování: zobrazení j : X®Y množiny X do množiny Y znamená, že každému bodu x Î X přiřadíme určitý bod j(x) ş y Î Y. Zobrazení j topologického prostoru (X, U) do prostoru (Y, V) se nazývá spojité, jestliže ke každému bodu x Î X a ke každému okolí V ÎV bodu j(x)Î Y existuje okolí U tak, že j(U)ĚV. Vzájemně jednoznačné spojité zobrazení j prostoru (X,U) na (Y,V) pro které je i inverzní zobrazení j ^-1 spojité, se nazývá homeomorfismus (je zřejmé, že j ^-1 je pak rovněž homeomorfní zobrazení prostoru Y na X). Homeomorfní zobrazení je tedy takové vzájemně jednoznačné zobrazení množin X a Y, při kterém se blízké body jedné množiny převádějí na blízké body druhé množiny (otevřené podmnožiny v X a Y tvořící okolí bodů x Î X a j(x) Î Y jsou ve vzájemně jednoznačném vztahu) - zachovává se při něm okolí bodů. Množiny X a Y, mezi nimiž existuje takový homeomorfismus, se nazývají homeomorfní a považují se z topologického hlediska za ekvivalentní. Homeomorfismus je vyjádřením oněch "spojitých deformací" (stlačení nebo roztažení) zmíněných výše. Topologické pojmy a topologické vlastnosti jsou takové pojmy a vlastnosti, které zůstávají zachovány při homeomorfismu *).
* ) Například elektrický obvod je pojem topologický, protože pro jeho činnost není podstatné rozmístění jednotlivých součástek, ale jejich vzájemné propojení (neplatí to tak docela pro vysokofrekvenční techniku, kde se pro různá rozmístění součástek mohou různě uplatňovat jevy elektromagnetické indukce či vyzařování vln).

Nejnázornějším příkladem topologického prostoru je množina reálných čísel R¹ s přirozenou topologií danou soustavou podmnožin A Ě R¹, které spolu s každým svým bodem obsahují vždy i určitý interval kolem něho: pro každý bod x Î A existují čísla a,b taková, že a < x < b a interval (a, b) Î A. Zobecněním je n-rozměrný Eukleidův prostor Rⁿ všech n-tic reálných čísel (x¹,x²,...,xⁿ) při - -Ą < xⁱ < +Ą s obvyklou topologií. A právě dobře známé vlastnosti eukleidovského prostoru, "odkoukané" od chování makroskopických těles, umožňují (pomocí vhodného zobrazení) na jinak amorfním topologickém prostoru zavést dodatečné struktury a učinit jej tak vhodným nástrojem k modelování fyzikálních dějů.

V a r i e t y
Varieta dimenze n (n- rozměrná varieta) Mⁿ je takový topologický prostor, jehož každý bod má okolí homeomorfní s Rⁿ (s určitým okolím v Rⁿ). Homeomorfní zobrazení j otevřené (pod)množiny AĚ Mⁿ do Rⁿ přiřazuje každému bodu x Î A n-tici čísel j(x) = (x¹,x²,...,xⁿ) Î Rⁿ, které se nazývají souřadnice bodu x. Říkáme, že na množině A je zavedena souřadnicová soustava (systém souřadnic) xⁱ. Zvolením jiného homeomorfního zobrazení j' z A Ě Mⁿ do Rⁿ budou jednotlivým bodům x Î A přiřazeny jiné souřadnice (x'¹,x'²,...,x'ⁿ) Î Rⁿ - přejdeme k jiné souřadnicové soustavě v podmnožině A.

Dimenze topologická a Hausdorffova
Výše zmíněná dimenze - počet rozměrů - množiny či objektu, je obvyklá topologická dimenze. Je to celé číslo n udávající počet parametrů (souřadnic), kterými je jednoznačně definována poloha jednotlivých bodů tohoto útvaru. Vedle topologické dimenze se zavádí i alternativní metrická varianta dimenze, tzv. Hausdorffova dimenze, která pro geometricky hladké množiny a útvary je rovna příslušné dimenzi topologické, avšak pro tzv. fraktální útvary může být vyšší a zpravidla neceločíselná. Analýzu tohoto druhu dimenze jsme (z formálně-technických důvodů výkladu fyzikálních jevů ve vztahu ke kauzální struktuře prostoročasu) odložili až na konec §3.1, pasáž "Determinismus v principu, náhoda a chaos v praxi ?", kde ji použijeme při diskusi chování chaotických systémů popisovaných tzv. podivnými atraktory ve fázovém prostoru.

Zobrazit celé Mⁿ do Rⁿ tímto způsobem však pro mnohé topologické prostory nelze (např. zobrazení S² do R² zavádějící na kulové ploše S² sférické souřadnice J,j přestává být vzájemně jednoznačné na pólech). Obecně tedy můžeme varietu Mⁿ zobrazit do Rⁿ po částech - vytvářet lokální souřadnicové "mapy" (A_a, j_a) jednotlivých "domén" (souřadnicových okolí) A_a Ě M. Soubor map jednotlivých domén A_a Ě M, pokrývajících M (t.j. _aČA_a =M), tvoří "atlas" variety M. Pouze variety topologicky ekvivalentní Rⁿ lze celé pokrýt jedinou mapou (M,j). Zavedením systému souřadnic ztrácejí body variety M svoji "anonymitu" a varieta může být zkoumána pomocí dobře známých a rozvinutých matematických operací s reálnými čísly.

Obr.3.1. V diferencovatelné varietě Mn jsou obrazy fa(p) a fb(p) bodu p z průniku dvou domém Aa a Ab svázány spojitými transformacemi včetně derivací do r-tého řádu.

Varieta Mⁿ se nazývá diferencovatelná třídy C^r, jestliže je pro ni dán atlas map (A_a, j_a) jednotlivých domén A_a Ě Mⁿ zobrazovaných vzájemně jednoznačnými zobrazeními j_a na otevřené množiny v Rⁿ splňující podmínky:
a) A_a tvoří pokrytí M, tj. _aČA_a = M;
b) Mají-li dvě domény A_a a A_b neprázdný průnik, pak bodům p Î A_a Ç A_b této překrývající se části bude zobrazením j_a přiřazena n-tice souřadnic xⁱ_a(p) Î Rⁿ a zobrazením j_b zároveň n-tice souřadnic x^k_b(p) Î Rⁿ tak, že transformace xⁱ_b(p) = xⁱ[x^k_a(p)] jsou v Rⁿ spojité funkce se spojitými derivacemi do r-tého řádu (obr.3.1).

Aplikujeme-li vlastnost b) na dvě domény (A, j : x®xⁱ(x)) a (A', j' : x®x'ⁱ( x)) takové, že A'= A = AÇA' ale j' ą j, pak přechod od soustavy souřadnic xⁱ k jiné soustavě souřadnic x'ⁱ bude dán regulární a spojitou transformací x'ⁱ(x)= x'ⁱ[x^k(x)] r-krát derivovatelnou. V diferenciální geometrii se většinou zabýváme lokálními geometrickými vlastnostmi v rámci jedné lokální mapy, zatímco globální geometrie studuje strukturu celé variety.

Aby varieta měla obvyklé lokální vlastnosti (a mohla být použitelná pro klasický popis fyzikálních dějů), kladou se na ni ještě dva dodatečné požadavky: Hausdorffovost a parakompaktnost. Prostor se nazývá Hausdorffův, jestliže ke každým dvěma různým bodům existují různá jejich okolí. Požadavek parakompaktnosti znamená, že ke každému pokrytí variety M soustavou otevřených podmnožin existuje takové jeho zjemnění, při němž každý bod variety má okolí protínající jen konečný počet podmnožin tohoto zjemněného pokrytí (tj. toto zjemnění je lokálně konečné) [155]. Při splnění Hausdorffovosti je parakompaktnost ekvivalentní požadavku, aby M měla spočetnou bázi, tj. aby existovala taková spočetná soustava otevřených množin, jejichž sjednocením je libovolná otevřená množina v M (prostory, jejichž topologie má spočetnou bázi, se nazývají separabilní). Parakompaktnost umožňuje zavedení konexe na M (viz níže).

Obr.3.2. Souvislost množin (variet).
a) Souvislá množina. b) Nesouvislá množina, která je sjednocením dvou disjunktních částí.
c) Jednoduše souvislá množina - všechny spojnice mezi dvěma body jsou topologicky ekvivalentní, každá uzavřená křivka je homologická nule.
d) Dvojnásobně souvislá množina - existují dvě třídy spojnic mezi body, některé uzavřené křivky (např. C) nelze smrštit do bodu.

Křivky a plochy
Pod křivkou (čarou) l(t) na varietě M se rozumí zobrazení určitého úseku R¹® M, tj. množina bodů v M, které jsou zobrazením bodů křivky xⁱ =xⁱ(t) v Rⁿ parametrizované proměnnou t Î R¹. Základní topologickou charakteristikou každé množiny (geometrického útvaru) je souvislost. Jako souvislou označujeme takovou varietu, která není tvořena sjednocením několika disjunktních neprázdných částí; potom každé její dva body lze spojit čarou, která je celá součástí této množiny (obr.3.2a). V opačném případě se jedná o nesouvislou množinu (obr.3.2b). Souvislá množina se nazývá jednoduše souvislou, jestliže pro každé dva body A a B jsou všechny spojnice mezi nimi vzájemně topogicky ekvivalentní (homologické); jinak vyjádřeno, každou uzavřenou křivku zde můžeme spojitě "stáhnout" do bodu (každá uzavřená křivka je homologická nule) - obr.3.2c. Jestliže mezi některými body existuje více druhů spojnic které nejsou vzájemně topologicky ekvivalentní, jedná se o vícenásobně souvislou množinu (obr.3.2.d), kde některé uzavřené čáry nelze "stlačit" do vymizení v bodě. Přitom "násobnost" souvislosti je definována jako s = c + 1, kde c je počet topologicky nezávislých uzavřených čar, které nelze smrštit do bodu (c je zároveň rovno počtu "rozřezání", po kterých se daná množina stává jednoduše souvislou); veličina s udává, kolika topologicky různými cestami se lze dostat z jednoho místa variety do druhého místa.

Zobecněním jednorozměrné křivky ve varietě Mⁿ je p-rozměrná plocha C^p (p Ł n), která je zobrazením příslušného p-rozměrného podprostoru v Rⁿ. Takovou plochu C^p lze považovat za součet (sjednocení) elementárních p-rozměrných "rovnoběžníků", resp. "krychlí" K^p (které jsou ovšem obecně "křivočaré") 0 Ł x^aŁ 1 (a =1,2,...,p). Vhodným způsobem se zde zavádí orientace a sčítání, což umožňuje studovat souvislosti mezi různými plochami C a jejich hranicemi ¶C, např. při integrování [217]. Orientovaná p-rozměrná krychle K^p má (p-1)-rozměrnou hranici ¶K tvořenou jednotlivými stěnami. Tato plocha je uzavřená a proto nemá sama již žádnou hranici, takže (p-2)-rozměrná hranice (p-1)-rozměrné hranice p-rozměrné krychle je rovna nule: ¶¶K = 0. Plyne to též z konstrukce hranice krychle pomocí sumy čtverců tvořících hranice jednotlivých stěn krychle, kde každá strana čtverce je započítávána dvakrát s opačnou orientací a proto se zruší.

Obecnou plochu S můžeme rozložit na řadu krychlí (patřičné dimenze) K_i: S = _iSaⁱK_i ; potom hranici plochy S definujeme jako součet hranic "krychlí" z nichž je složena: ¶S = _iSaⁱ¶K_i (ve skutečnosti se většina těchto příspěvků z vnitřních oblastí zruší, protože jsou započítávány dvakrát s opačnou orientací podobně jako u běžného odvozování Gaussovy nebo Stokesovy věty). Jestliže hranice nějaké p-rozměrné plochy S je rovna nule (¶S = 0), jedná se o uzavřenou (kompaktní) plochu. Hranice ¶S každé plochy (nejen uzavřené) je uzavřená plocha, která již nemá svou hranici, takže vždy platí

toto se označuje jako topologický princip "hranice hranice je rovna nule", který má velký význam pro zákony zachování v obecné teorii pole [181], viz §2.5.

Jestliže dvě uzavřené plochy C^p₁ a C^p₂ tvoří hranici (p+1)-rozměrné oblasti v M, říkáme, že jsou vzájemně homologické (mohou být spojitou deformací převedeny jedna v druhou); pokud uzavřená plocha C^p samotná tvoří hranici (C^p = ¶A^p+1) oblasti AĚ M, nazývá se homologická nule (spojitou deformací může být stažena do jediného bodu). Homologická třída {C^pi} sestává ze všech uzavřených p-rozměrných ploch C^p které jsou vzájemně homologické.
V Eukleidově prostoru Rⁿ mohou být všechny p-rozměrné (p <= n) uzavřené plochy stlačeny do bodu, takže všechny jsou hologické nule a patří do nulové homologické třídy {C^p₀} = {0}.
Počet nezávislých homologických tříd {C^p₁}, {C^p₂}, .,., {C^p_Bp} ploch dimenze p se nazývá p-tým Bettiho číslem variety M (nezapočítává se zde třída {C^p_o} = {0} ploch homologických nule). Veličina c = _p=0Sⁿ(-1)^pBp se nazývá Eulerovou charakteristikou této variety. K popisu topologické složitosti (vícenásobné souvislosti) variet se též používá tzv. topologický genus variety, což je číslo udávající počet skupin uzavřených křivek, které nelze spojitou transformací stáhnout do bodu, neboť jsou vedeny kolem nějakého topologického tunelu či vyříznuté oblasti. Pro dvojrozměrnou varietu M² mezi genusem g a Eulerovou charakteristikou c patí vztah c = 2 - 2 g.

Protože mezi plochami C^p je definováno sčítání, tvoří soubor těchto ploch ve varietě M grupu; množina tříd vzájemně homologických p-rozměrných uzavřených ploch pak tvoří p-rozměrnou grupu homologií daného prostoru. Vztahy mezi množinami a jejich hranicemi tak mohou být studovány algebraickými metodami v tzv. algebraické topologii [151],[106].

Důvod vícenásobné souvislosti oblasti podle obr.3.2d je zřejmý: část z M je "vyříznuta", takže daná oblast má kromě vnější hranice též vnitřní hranici, přes kterou žádná spojnice nesmí jít. Existují však útvary i celé prostory bez hranic, které jsou vícenásobně souvislé, jak si ukážeme na následujících jednoduchých příkladech.
Vezmeme rovný list papíru, který můžeme považovat za část Eukleidovské roviny R² (obr.3.3a). Tento list je jednoduše souvislý a platí zde axiómy Eukleidovy geometrie (proto např. součet úhlů v narýsovaném trojúhelníku bude roven 180°). Stočíme-li tento list papíru a slepíme protější strany, tj. uděláme ztotožnění (x+a,y) ş (x,y), dostaneme válcovou plochu. Eukleidovský charakter geometrie se tím lokálně nezměnil - vzdálenosti mezi jednotlivými body zůstaly stejné, nezměnily se úhly ani plochy. Avšak svými globálními topologickými vlastnostmi je tato válcová plocha zcela jiným dvojrozměrným prostorem než byla původní Eukleidova rovina. Mezi každými dvěma body existují dvě topologicky odlišné třídy spojnic, uzavřenou kružnici obepínající válec nelze nijak stáhnout do bodu, zatímco jiné uzavřené křivky ano; válcová plocha je dvojnásobně souvislá a v jednom směru (rozměru) konečná. Bettiho čísla zde jsou B₀=1, B₁= 1, B₂= 1.

Obr.3.3. Ke vztahu mezi (geo)metrickými a topologickými vlastnostmi.
a) List papíru je částí Eukleidovy roviny. Jeho stočením a slepením dostaneme válcovou plochu s lokálně zachovanou Eukleidovou geometrií, ale jinou globální topologií.
b) Jestliže se při stočení provede navíc překroucení o 180°, vznikne Möbiův list (proužek).
c) Stočením a slepením úseku válcové plochy vznikne toroid (anuloid).

Nebo podobně ohnutím, zkroucením o 180° a slepením - tj. ztotožněním (x+a,y) ş (x,-y) - papírové pásky s původně Eukleidovskou geometrií a topologií, dostaneme známý Möbiův list (proužek, obr.3.3b), jehož lokální geometrie se opět neliší od Eukleidovy, ale topologické vlastnosti má jiné. Jedná se o jednostrannou plochu (známý neúspěšný pokus s obarvením "líce" i "rubu" jedním tahem stejnou barvou), na níž nelze zavést orientaci, protože po jednom oběhu "kolem dokola" se to, co bylo vlevo objeví vpravo, směr "nahoru" se změní na "dolů" a naopak.

Uvedené příklady ukazují, že pro úplné určení charakteru prostoru nestačí jeho (lokální) metrické vlastnosti, ale je třeba vzít v úvahu též jeho (globální) vlastnosti topologické. Kromě Eukleidova prostoru Rⁿ, na němž je pojem variety založen, tedy existují i obecnější variety s jinými topologickými vlastnostmi. Uveďme si některé další případy.

Jedním z nejdůležitějších typů variety je kulová plocha. Dvojrozměrná kulová plocha (sféra) S² jednotkového poloměru je jak známo plocha v R³, jejíž body jsou dány rovnicí (x¹)² + (x²)² + (x³)² = 1. Analogicky n-rozměrná sféra Sⁿ (jako podprostor v Rⁿ⁺¹) je geometrické místo bodů v Rⁿ⁺¹ splňujících podmínku _i=1Sⁿ⁺¹(xⁱ)² = 1. Sféra Sⁿ je konečná (kompaktní) jednoduše souvislá varieta. Pro dvojrozměrnou kulovou plochu S² jsou Bettiho čisla B₀=1, B₁=1, B₂=1 a Eulerova charakteristika c(S²) =1.

Stočíme-li dvojrozměrnou válcovou plochu (zhotovenou z elastického materiálu) a slepíme protější základny, vznikne toroid (anuloid, obr.3.3c), který má na rozdíl od původní válcové plochy svou vnitřní geometrii zakřivenou. Tento toroid T², který vzniká ztotožněním (x+a, y+b) ş (x,y) bodů v R², je příkladem trojnásobně souvislé plochy: jsou zde dvě třídy uzavřených křivek - kružnice podél "velkého" a "malého" obvodu toroidu - které nelze smrštit do bodu. Obecně, n-rozměrný toroid Tⁿ je prostor, který vznikne ztotožněním (xⁱ+ aⁱ) ş (xⁱ), i=1,2,...,n, bodů v Rⁿ. Dvojrozměrný toroid T² má Bettiho čísla rovná B_o =1 (odpovídá třídě všech bodů - všechny body jsou vzájemně homologické), B₁=2 (jsou dvě nezávislé třídy {C¹₁} a {C¹₂} uzavřených křivek procházejících kolem menšího a většího obvodu toroidu), B₂=1 (odpovídá samotnému toroidu); Eulerova charakteristika c(T²)= 0.

Z n-rozměrné variety Mⁿ a m-rozměrné variety M^m můžeme "kartézským součinem" sestrojit (n+m)-rozměrnou varietu Mⁿ´M^m, jejíž body jsou dvojicemi (x,y), kde x je libovolný bod z Mⁿ a y libovolný bod z M^m. Např. Eukleidův prostor R³ je součinem R²´R¹, Rⁿ lze zapsat jako Rⁿ = R¹´R¹´...´R¹ (kartézský součin n-koeficientů). Válcovou plochu C² lze považovat za součin kružnice a Eukleidovy přímky, tj. C² = S¹´R¹. Co se týče toroidu, je především zřejmé, že jednorozměrný toroid T¹ a jednorozměrná sféra S¹ (kružnice) jsou vzájemně homeomorfní, tj. T¹ = S¹. Proto n-rozměrný toroid Tⁿ je z topologického hlediska kartézským součinem n kružnic: Tⁿ = S¹´S¹´...´S¹.

Topologická struktura variety Mⁿ´M^m je přirozeným způsobem dána strukturou Mⁿ a M^m: pro libovolné body xÎMⁿ a yÎM^m mající souřadnicová okolí AĚMⁿ a BĚM^m je bod (x,y)ÎMⁿ´M^m obsažen v souřadnicovém okolí A´BĚMⁿ´M^m a má tam souřadnice (xⁱ, y^j), kde xⁱ jsou souřadnice bodu x v doméně A a y^j souřadnice bodu y v doméně B.

Funkce f (skalární pole) na varietě Mⁿ je zobrazení z Mⁿ do R¹. Říkáme, že tato funkce je diferencovatelná třídy C^r v bodě pÎM, jestliže je definována v otevřeném okolí bodu p a její vyjádření f(x) = f(x¹,x²,...,xⁿ) pomocí souřadnic xⁱÎRⁿ v nějaké lokální souřadnicové soustavě má spojité derivace do r-tého řádu podle xⁱ. Z této definice plyne, že v diferencovatelné varietě M třídy C^s je souřadnice xⁱ(x) diferencovatelnou funkcí třídy C^s.

Tenzory a konexe ve varietě
Dalšími geometrickými objekty, které přirozeným způsobem souvisejí se strukturou variety, jsou tenzory a tenzorová (speciálně též vektorová) pole. Tenzorem r-tého řádu v bodě "p" n-rozměrné variety Mⁿ se rozumí souhrn n^r čísel
T^il_jlⁱ²_j2^._.^._.^._.^ia_jb , jl,j2,...,jb, il,i2,...,ia = l, 2, 3, ..., n
s a Ł r kontravariantními (horními ) a b = r-a kovariantními (dolními) indexy, které se při transformaci souřadnic x'ⁱ(p) = x'ⁱ(x^j(p)), tj. dx'ⁱ =(¶x'ⁱ/¶x^j) dx^j, transformují v kontravariantních indexech jako součiny a- diferenciálů souřadnic a v kovariantních indexech jako součiny b- inverzních diferenciálů v bodě p :

(3.2)

Tyto transformační vlastnosti zaručují, že tenzorové rovnice jsou invariantní (kovariantní) vzhledem k transformacím souřadnic. Pravidla pro aritmetické operace mezi tenzory jsou stejné jako v eukleidovském prostoru Rⁿ.

Aby bylo možno porovnávat vektory a tenzory zadané v různých bodech variety, zavádí se konexe, tj. pravidlo (předpis) pro paralelní přenos vektorů a tenzorů mezi různými body; varieta se tím stává prostorem afinní konexe. A zde již může přijít ke slovu diferenciální geometrie - počítání kovariantních derivací tenzorových polí, kvantifikace zakřivení pomocí tenzoru křivosti, stanovení geodetických čar atd., jak to bylo nastíněno v §2.4. Konečně se do variety zavádí metrika, tj. předpis pro stanovení vzdáleností mezi jednotlivými body, čímž vzniká metrický prostor. Pomocí souřadnic vyjádřená vzdálenost mezi bodem xⁱ a nekonečně blízkým bodem xⁱ + dxⁱ je dána diferenciální formou ds² = g_ik dxⁱdx^k, i,k=1,2,...,n, kde g_ik je metrický tenzor vyjadřující vztah mnezi souřadnicemi a skutečnými vzdálenostmi. Aby konexe byla slučitelná s metrikou (konexe a metrika jsou obecně nezávislé struktury zaváděné do variety), musí se při paralelním přenosu zachovávat pravidla tenzorové algebry a velikost přenášeného vektoru. Vede to na zákon paralelního přenosu (2.8) a jednoznačný vztah (2.2b) mezi koeficienty konexe a složkami metrického tenzoru [214], viz §2.1 a 2.4. Metrický prostor s konexí (slučitelnou s metrikou) se nazývá Riemannův prostor.

Možnost zavedení libovolného tenzorového pole na varietě je obecně podmíněna topologickými vlastnostmi variety[151],[106]. Např. každá nekompaktní varieta připouští existenci konstantního vektorového pole. Pro existenci konstantního vektorového pole na kompaktní varietě je však nutnou a postačující podmínkou, aby se Eulerova charakteristika c variety rovnala nule. Například válec nebo toroid připouští konstantní vektorové pole, zatímco kulová plocha nikoli ("nelze hladce učesat vlasy na tenisovém míčku").

Prostoročas jako varieta
Po této letmé exkurzi do oblasti obecných geometricko-topologických struktur se již můžeme opět vrátit k vlastnímu předmětu našeho zájmu - ke gravitaci a prostoročasu. Všechny známé fyzikální jevy probíhají v prostoru a čase - v rámci čtyřrozměrného prostoročasu. Zkušenost nás přitom učí, že prostoročas má v běžných makroskopických měřítcích vlastnosti kontinua (neomezená dělitelnost prostorových měřítek a časových intervalů) a může být modelován jako čtyřrozměrná diferencovatelná varieta s Riemannovskou metrikou. Při studiu geometrických vlastností prostoročasu budeme vycházet z tohoto základního modelu :

A. Prostoročas je souvislá čtyřrozměrná diferencovatelná varieta M⁴, která je Hausdorffovská a parakompaktní s Riemannovou metrikou g. Budeme jej značit (M,g). Souvislost variety M požadujeme proto, že nic se nemůže vyskytovat a pohybovat mimo prostor a čas, takže kdyby byla nesouvislá, byla by jakákoliv informace pro jednu část M o ostatních disjunktních částech M principiálně nedostupná, takže takové nesouvisející části by efektivně neexistovaly.

B. V prostoročase M mohou existovat různá "fyzikální" ("látková", negravitační) pole, např. elektromagnetické pole, která se budou řídit určitými rovnicemi. Tyto rovnice budou mít charakter vztahů mezi tenzory (tenzorovými poli) *) v M (princip obecné kovariance) a jejich kovariantními derivacemi podle prostoročasových souřadnic vzhledem ke konexi G indukované metrikou g .
*) Neuvažujeme zde spinorová pole. Zavedení spinorového formalismu je v některých případech výhodné [97], avšak obecně lze spinorové vztahy nahradit ekvivalentními (i když třebas komplikovanějšími) rovnicemi tenzorovými.
Budeme předpokládat, že reálná fyzikální pole v M budou mít tyto dvě základní vlastnosti :

1. Rovnice popisující chování polí musejí být takové, aby přenos signálu (energie) se lokálně uskutečňoval uvnitř nebo na plášti prostoročasového světelného kuželu. Tedy přenos signálu a energie mezi dvěma body (událostmi) prostoročasu je možný jen tehdy, když tyto body mohou být spojeny světočárou, která všude leží uvnitř nebo na plášti lokálního světelného kuželu (tečný vektor je v každém bodě buď časového nebo světelného typu). Tato vlastnost je vyjádřením lokální příčinnosti.

2. Pro každé fyzikální pole v M existuje symetrický tenzor T^ik - tenzor energie a hybnosti, který závisí na potenciálech (intenzitách) polí a jejich kovariantních derivacích v metrice g. Tenzor energie-hybnosti má následující vlastnosti :

a) T^ik = 0 v nějaké podmnožině M tehdy, jestliže látková pole jsou nulová.
b) Platí T^ik_;k = 0 - tedy lokální zákon zachování energie a hybnosti.

C. Vztah mezi geometrií prostoročasu a jeho "látkovým obsahem" je realizován tím, že v prostoročase M jsou splněny Einsteinovy rovnice R_ik - ¹/₂ g_ikR = 8p T_ik .
Jak bylo ukázáno v §2.5, lze lokální zákon zachování energie a hybnosti T^ik_;k = 0 považovat za důsledek Einsteinových rovnic buzeného gravitačního pole.

Formálně lze každý prostoročas (M,g) považovat za řešení Einsteinových rovnic R_ik - ¹/₂ g_ikR = 8pT_ik v tom smyslu, že na základě komponent metrického tenzoru gik si vypočítáme veličinu (R_ik- ¹/₂ g_ikR)/8p a tuto si definujeme jako tenzor T_ik. V obecném případě však takto definovaný tenzor energie-hybnosti nemusí mít fyzikálně přípustné vlastnosti. Jen prostoročas zcela určitých geometrických vlastností bude popisovat skutečná gravitační pole buzená skutečným rozložením hmoty~energie.

Lokální a globální vlastnosti prostoročasu
Geometrické a topologické vlastnosti prostoročasu se obvykle rozdělují na lokální a globální *). V rámci klasické obecné teorie relativity není (s výjimkou singularit) lokální geometrie a topologie zajímavá, protože podle principu ekvivalence je prostoročas všude lokálně eukleidovský. V současné době je adekvátnost pojmu variety, tj. představa spojitého prostoru a času, experimentálně ověřena pokusy s rozptylem elementárních částic při vysokých energiích do měřítek řádu asi 10^-16cm [229]. Vezmeme-li však v úvahu kvantové zákonitosti (univerzální vliv relací neurčitosti), mohou být lokální geometrické a topologické vlastnosti prostoročasu v rámci velmi malých (subnukleárních ~10^-33cm) oblastí silně odlišné od obvyklých eukleidovských. Můžeme to ilustrovat tak, že když se díváme na dokonale vyleštěnou plochu zrcadla (jejíž lokální geometrické a topologické vlastnosti se nám normálně jeví jako dokonale eukleidovské) mikroskopem, vidíme velmi značné místní rozdíly od ideální rovinnosti a dokonce i hladkosti a spojitosti - mikrostruktura nemá eukleidovskou geometrii a dokonce ani topologii. Otázky lokální topologické struktury odsuneme do "dodatku B" (§B.3 - kvantová geometrodynamika) a jinak budeme lokální geometrii a topologii prostoročasu považovat za eukleidovskou.
*) Toto rozlišení ale nemusí být vždy zcela jednoznačné - např. za přítomnosti lokální nahé singularity by neexistovaly globální Cauchyho hyperplochy (§3.3).

Před vytvořením obecné teorie relativity se ani otázky globální geometrie a topologie prostoročasu nezdály být zajímavé; pod strukturou a vývojem vesmíru se většinou rozumělo rozložení a evoluce látek a polí v prostoru, přičemž struktura samotného prostoru a času se považovala za samozřejmou - eukleidovskou. I v rámci Newtonovské fyziky nebo STR lze sice formálně uvažovat i složitější topologické struktury prostoru, avšak není k tomu žádný fyzikální důvod, jednalo by se jen o samoúčelnou konstrukci (o hříčku). Obecná teorie relativity ale ukazuje, že prostoročas je zakřivený (přičemž toto zakřivení může být i silné), takže jeho globální vlastnosti se mohou značně lišit od eukleidovských. Z dvojrozměrné analogie víme, že ve srovnání s rovinnými plochami mají zakřivené plochy velkou rozmanitost tvarů s různými geometrickými a topologickými vlastnostmi - tyto plochy mohou být otevřené, uzavřené, různě "propletené" (vícenásobně souvislé) a podobně. V zakřiveném prostoročase OTR lze tedy očekávat situace, kdy nejen geometrické, ale i globální topologické vlastnosti prostoročasu mohou být úplně jiné než obvyklé eukleidovské. To se skutečně projeví v téměř všech případech, které budeme v §3.4-3.6 vyšetřovat jakožto přesná řešení Einsteinových gravitačních rovnic.

Jak jsme si ukázali v Kapitole 2, základem OTR je lokální princip ekvivalence, který je spojovacím "můstkem" mezi negravitační a gravitační fyzikou. Einsteinovy rovnice gravitačního pole jsou (podobně jako Maxwellovy rovnice elektromagnetického pole) rovnicemi lokálními: popisují, jakým způsobem je v určitém místě prostoročasu buzeno gravitační pole (tj. metrický tenzor g_ik a jeho první a druhé derivace) rozložením hmoty a energie (tj. tenzorem energie a hybnosti T_ik) v tomtéž místě (události) prostoročasu. Einsteinovy rovnice však nedávají přímou informaci o globální geometrické a topologické struktuře prostoročasu. Globální topologická struktura prostoročasu má charakter "okrajových podmínek", které fakticky musíme zadat na základé určitých fyzikálních (či filosofických?) předpokladů. Řešení Einsteinových rovnic nám dává jen některé nepřímé informace o globální topologii, např. že v určitých případech nemůže být eukleidovská. Konkrétní globální topologie však zůstává do určité míry věcí volby.

Nejednoznačnost globální topologie si můžeme ilustrovat na jednoduchém případě. Mějme prázdný Minkowskiho rovinný prostoročas s metrikou

ds²   =   - dt² + dx² + dy² + dz²   ,      

v němž jsou Einsteinovy rovnice identicky splněny. Prostor má Eukleidovu geometrii a může mít samozřejmě i obvyklou eukleidovskou topologii, při níž x,y,z Î (-Ą, +Ą). Avšak provedeme-li ztotožnění

(x+a, y, z)  ş  (x, y, z) ,  (x , y+b, z)  ş  (x, y, z, (x, y, z+c)  ş  (x, y, z) ,      

zůstává lokální geometrie eukleidovská a Einsteinovy rovnice budou nadále splněny, avšak globálně se jedná o topologii trojrozměrného toroidu. Může tedy existovat rovinný a přitom uzavřený (s konečným celkovým objemem V = a.b.c) trojrozměrný prostor! Toto lze názorně ukázat na dvojrozměrné analogii: když vezmeme list papíru s Eukleidovou geometrií ds² = dx² + dy² a stočíme ho do válcové plochy (tj. provedeme ztotožnění (x+a,y) ş (x,y), kde a=2pr, r je poloměr válce), zůstane lokální geometrie eukleidovská, ale topologie bude jiná - obr.3.3a. Stočit dvojrozměrnou válcovou plochu a slepit ji do toroidu sice nelze při zachování lokální eukleidovské geometrie, avšak přidáním dalšího rozměru to již jde (trojrozměrný prostor se stane hyperplochou) a dostane se shora uvedená možnost.

Nekonečno v prostoročase
V souvislosti s tím ani pojmy "nekonečnost" a "neomezenost" prostoru a času obecně nestačí chápat v intuitivním smyslu jaký mají v klasické fyzice. Se skutečným "nekonečnem" nemá nikdo žádnou zkušenost *), žádný člověk jej nikdy neviděl; pojem nekonečna vznikl jakožto idealizace velmi velkých (vzhledem k běžným), avšak konečných vzdáleností, časů nebo jiných veličin. Přitom co je "velmi velké" (resp. lépe řečeno "dostatečně velké") zcela závisí na konkrétní situaci - za prakticky nekonečně velké se považuje číslo, které je velmi velké ve srovnání se všemi ostatními hodnotami dané veličiny, vyskytujícími se při rozboru určitého problému. Například vzdálenost 10^-8cm je velmi malá z hlediska makroskopické fyziky, ale lze ji považovat za prakticky nekonečnou z hlediska struktury elementárních částic; nebo vzdálenost 100 světelných let je prakticky nekonečně velká pro astrofyziku sluneční soustavy, avšak zároveň velmi malá z hlediska struktury vesmíru jako celku.

Podle své základní logické povahy se nekonečno rozlišuje na dvě kategorie:

• Nekonečno potenciální
  je vyjádřením trvale možného pokračování určitého procesu "až do nekonečna", např. procesu postupného přibližování k nějaké hodnotě (limitě), či principiální možnosti neustálého zvyšování určité veličiny "nade všechny meze".
• Nekonečno aktuální
  vyjadřuje nekonečnou velikost určitého skutečného (již "hotového") celku, je pojímáno jako objekt dalších matematických manipulací.

Pod nekonečností prostoru a času se skrývají vlastně dva odlišné aspekty:
a) Globální nekonečnost "co do šíře" - tzv. extenzivní nekonečno;
b) Lokální nekonečnost v každém místě "co do hloubky" ve smyslu neomezené dělitelnosti na stále menší a menší části - "intenzivní" nekonečno.
Intenzivní nekonečno bylo diskutováno výše v souvislosti s vlastnostmi kontinua a adekvátností modelu variety pro prostoročas. V dalším budeme pod nekonečnem rozumět extenzivní nekonečno v metrickém smyslu.

*) Nekonečno v matematice
Při reflexi slova "nekonečno" přemýšlivého člověka často zachvátí jakýsi podvědomý pocit tajemna, ba posvátné hrůzy z něčeho neznámého, skrytého kdesi za horizontem našeho chápání. Nekonečno jaksi nepatří do našeho racionálního světa; považuje se buď za mlhavý výplod obskurní fantazie filosofických či teologických směrů, nebo za teoretickou konstrukci podloženou nesrozumitelným matematickým aparátem.
Ano, právě matematika, která vyšla z analýzy reálných makroskopických objektů a posléze se zobecnila na abstraktní exaktní vědu, vypracovala postupy, jak s pojmem nekonečna zacházet stejně precizně, jako s počítáním s čísly v aritmetice.
Původní koncepce nekonečna vycházela z nekonečna potenciálního. Toto nekonečno představuje možnost pokračovat "donekonečna" v procesu postupného přibližování k určité hledané hodnotě - k limitě. Náznaky těchto úvah se objevovaly již v antické filosofii (Zenonův paradox) a matematice (počítání obsahu kruhu). Na metodách aproximací donekonečna se přibližujícími hodnotami je nyní založen diferenciální a integrální počet - nejmocnější matematický nástroj pro aplikace ve fyzice, přírodovědě i technice.
Aktuální nekonečno jakožto pojem vyjadřující velikost, početnost či "spočetnost" nekonečných souborů objektů, se začalo studovat či modelovat v polovině 19.stol. při formulaci teorie množin, založené B.Bolzanem a rozvinuté zvláště G.Cantorem. Pro dvě konečné množiny A a B platí, že jsou "stejně velké" - mají tentýž počet prvků, když ke každému prvku aÎA lze přiřadit právě jeden prvek bÎB, a naopak, ke každému prvku bÎB lze přiřadit právě jeden prvek aÎA ; jedná se o vzájemně jednoznačné (prosté) zobrazení. Toto porovnání lze zobecnit i na nekonečné množiny: pokud ke každému prvku z jedné množiny lze přiřadit právě jeden prvek z druhé množiny tak, že všechny prvky z druhé množiny jsou přiřazeny, říkáme že obě množiny mají stejnou mohutnost. Mohutnost množiny je zobecněním pojmu velikosti na nekonečné množiny. Mohutnost množiny se označuje symbolem "alef", což je první písmeno hebrejské abecedy, které v řecké transkripci můžeme zapsat podobným znakem "c" (hebrejský znak je jeho zrcadlovým obrazem; ve standardních fontech jej nemáme k dispozici).
Nejzákladnějším příkladem nekonečné množiny je množina všech přirozených čísel N (celá kladná čísla 1,2,3,4,......). Obecněji, každá množina, jejíž prvky lze seřadit do nějaké nekonečné posloupnosti a každému prvku přiřadit přirozené číslo odpovídající jeho pořadí v této posloupnosti (posloupnost lze "očíslovat"), má stejnou mohutnost jako množina všech přirozených čísel N - takové množiny se nazývají spočetné, jejich mohutnost se označuje "alef₀" neboli c₀.
Spočetná je i množina všech racionálních čísel, neboť ta lze vyjádřit jako zlomky, kde v čitateli i jmenovateli jsou celá čísla; takové zlomky pak lze seřadit do posloupnosti (např. střídavě podle rostoucího čitatele a jmenovatele), kterou lze očíslovat a tak všem racionálním číslům přiřadit čísla přirozená. I při zahrnutí čísel iracionálních neboli algebraických (Ö2, Ö3, ...) zůstává mohutnost množiny stejná jako u čísel přirozených: odmocniny mohou být vyjádřeny jako reálná řešení polynomických rovnic a_n.xⁿ + a_n-1.x^n-1 + ... + a₂.x² +a₁.x +a₀ = 0 s celočíselnými koeficienty a_i a tyto polynomy můžeme opět seřadit do spočetných posloupností podle koeficientů a exponentů.
Množina reálných čísel R však obsahuje i tzv. transcendentní čísla (nejznámějšími z nich jsou Ludolfovo číslo p a Eulerovo číslo e - základ přirozených logaritmů), která nejsou řešením žádných polynomů s celočíselnými koeficienty, ani výsledkem žádných konečných rozvojů. Transcendentní čísla již nelze seřadit do žádné posloupnosti podle přirozených čísel. Opravdu, Cantor v r.1873 dokázal svou proslulou diagonální metodou, že množina všech reálných čísel R je nespočetná. Že reálná čísla nelze seřadit do (nekonečné) posloupnosti, jejímž členům by bylo možné přiřadit přirozená čísla - množina reálných čísel má jinou, větší mohutnost, než množina čísel přirozených. Mohutnost množiny reálných čísel R se označuje c₁, tj. alef₁, a platí c₁>c₀.
Pozn.: Některé vlastnosti složitých tzv. fraktálních množin a útvarů (označovaných někdy jako "matematická monstra") jsou stručně diskutovány v §3.3, pasáž "Determinismus-náhoda-chaos?").
"Čísla" označující různé mohutnosti nekonečných množin (tedy c₀, c₁ a příp. další) se nazývají kardinální čísla, či zkráceně kardinály. S kardinálními čísly umí teorie množin počítat podobně jako s "obyčejnými" čísly, vyjadřujícími velikost konečných množin. Byla vytvořena svérázna "aritmetika kardinálních čísel", jejímiž základními pravidly jsou: c₀ + c₀ = c₀, c₁ = 2^c0 (to, že mohutnost množiny R je vyjádřena výrazem 2^c0 souvisí se skutečností, že 2ⁿ udává počet všech podmnožin množiny o n prvcích). Z toho pak plyne rovnost 2^c0 ´ 2^c0 = 2^c0, neboli c₁´ c₁ = c₁, což znamená, že existuje prosté zobrazení přímky na rovinu, neboli množina bodů přímky má stejnou mohutnost jako množina všech bodů roviny.
Byla vyslovena tzv. hypotéza kontinua, že neexistuje kardinální číslo k takové, že c₀< k < c₁, neboli neexistuje množina, jejíž mohutnost by byla větší než množiny přirozených čísel, ale menší než mohutnost množiny reálných čísel. Hypotézu kontinua se nepodařilo dokázat; byla posléze zahrnuta axiomaticky, podobně jako tzv. axiom výběru.........
Moderní teorie množin je budována axiomaticky a vedla k sestrojení několika různých modelů teorie množin. Byly zavedeny i axiomy postulující existenci velkých kardinálů, popisujících mohutnosti množin, které jsou mnohem větší než mohutnost c₁ množiny reálných čísel. Zatím není známo, jaké důsledky bude mít bizarní teorie takových "šíleně velkých množin" (dokonce s nekonečnými a "nedosažitelnými" mohutnostmi) pro budoucí matematiku. A už vůbec není jasné, zda by mohla mít nějaký vztah k reálnému světu, nějaký "praktický význam". Pro studium geometrické a topologické struktury prostoročasu v relativistické fyzice ale zcela vystačíme (aspoň zatím..?..) s množinami o mohutnosti c₁, odpovídající modelování pomocí množiny reálných čísel.

Tolik tedy ve stručnosti o komplikovaných matematických strukturách nekonečna z hlediska teorie množin. V geometrickém modelování je představa nekonečna složitější z jiného hlediska. Ve dvou a vícerozměrných metrických prostorech (jako je 2-rozměrná rovina, 3-rozměrný Eukleidovský či zakřivený prostor, 4-rozměrný prostoročas) máme více různých nekonečen - míst s nekonečnou vzdáleností v různých směrech. V Eukleidovském prostoru, kde jsou všechny dimenze ekvivalentní, tato nekonečna není nutno rozlišovat; formálně doplníme k prostoru jeden "bod" který bude mít vlastnosti nekonečna. V prostoročase teorie relativity, kde se dimenze časová liší svými metrickými vlastnostmi od dimenzí prostorových, máme několik druhů nekonečna - běžné prostorové nekonečno, časové nekonečno minulosti a budoucnosti a nakonec izotropní (nulové či světelné) nekonečno budoucnosti a minulosti. Tyto druhy nekonečna budou definovány a analyzovány v následujícím §3.2. Pro názornější vhled do struktury nekonečna lze s výhodou použít takových jednoznačných zobrazení celého prostoru samého na sebe, po jejichž aplikaci odpovídají nekonečnu "obyčejné" body v konečných (třebas i jednotkových) vzdálenostech. Pro tento účel jsou nejvhodnější tzv. konformní zobrazení, kterých budeme v následujících kapitolách často používat.

V Newtonovské fyzice (i ve STR) je prostor a prostoročas eukleidovský, takže pojmy "nekonečnost" a "neomezenost" tam není nutno rozlišovat. Podle "selského rozumu" zde z libovolného, jakkoli vzdáleného bodu prostoru můžeme "hodit kámen" ještě dále, totéž opakovat z takto dosaženého bodu atd. Není zde bod, za nímž by se nenacházela ještě vzdálenější místa, lze se neomezeně vzdálit od každého výchozího bodu. V OTR, kde se pracuje s neeukleidovskou geometrií prostoru a prostoročasu, však pojmy nekonečnost a neohraničenost mohou být podstatně odlišné. Nejjednodušším dvojrozměrným příkladem tohoto je kulová plocha, na níž dvojrozměrná bytost při lokálně přímkovém (geodetickém) pohybu podél hlavní kružnice se vrátí do výchozího bodu, přičemž urazí jen konečnou vzdálenost a nesetká se s žádnou hranicí. Celkový dvojrozměrný "objem" (plocha) je zde konečný - jedná se o neomezený, ale konečný prostor. Analogická je situace v uzavřeném trojrozměrném prostoru (jakým může být podle relativistické kosmologie náš vesmír): jedná se o neohraničený, ale co do objemu konečný prostor, do něhož se "vejde" jen konečný počet galaxií a hvězd - viz kap.5, §5.2 "Einsteinův a deSitterův vesmír. Kosmologická konstanta.".

Asymptotické vlastnosti prostoročasu
Všimněme si nyní některých obecných aspektů asymptotické struktury prostoročasu, tj. jeho vlastností v nekonečnu. Jestliže sledujeme nějaký prostorově ohraničený děj, např. vývoj hvězdy nebo i celé galaxie, budou hodnoty křivosti v dostatečně velkém okolí takového procesu o mnoho řádů větší než průměrná křivost "pozadí" (globální kosmologická křivost vesmíru). Z hlediska takového jevu lze kosmologickou křivost pozadí (vesmíru) zanedbat, považovat ji za nulovou a daný proces vyšetřovat na pozadí asymptoticky plochého prostoročasu. Fakticky téměř ve všech fyzikálních situacích, kromě sledování vesmíru jako celku (tj. v kosmologii), můžeme prostoročas považovat za asymptoticky rovinný. To má velký význam, protože pouze v asymptoticky plochém prostoročase mají některé základní fyzikální charakteristiky, jako je energie, náboj, hybnost, dobře definovaný globální smysl (viz též §2.8 "Specifické vlastnosti gravitační energie").

Obr.3.4. Prostoročasový diagram evoluce ostrovní fyzikální soustavy, během níž se část celkové hmoty~energie vyzářila ve formě elektromagnetických nebo gravitačních vln. Tato vyzářená energie je dána rozdílem celkové hmotnosti nikoliv na prostorových hyperplochách S2 a S1, ale na izotropních hyperplochách I2 a I1.

Jedna z typických situací vyskytujících se při studiu ohraničených fyzikálních dějů, je schématicky znázorněna na prostoročasovém diagramu podle obr.3.4. Nechť ostrovní fyzikální soustava, mající na hyperploše S₁ celkovou hmotnost (~energii) M₁, v průběhu své evoluce vyzáří během relativně krátkého časového intervalu část své energie ve formě gravitačních nebo elektromagnetických vln (může se jednat třebas o nesférický gravitační kolaps hvězdy), takže potom bude mít menší hmotnost M₂. Jak bylo ukázáno v §2.8, pod celkovou hmotností (energií) fyzikální soustavy se v obecné teorii relativity rozumí gravitační hmotnost měřená v asymptoticky rovinné oblasti příslušné prostorové hyperplochy. Stanovení hmotnosti M₁ na hyperploše S₁ nečiní principiální potíže (pokud soustava předtím nezářila!): časová komponenta metrického tenzoru g_oo » -1 + 2M₁/r při r®Ą. Avšak stanovíme-li podobným způsobem celkovou hmotnost na hyperploše S₂, dostaneme opět hodnotu M₁ bez ohledu na to, kolik energie bylo zářením odneseno, protože hyperplocha S₂ v příslušných vzdálenostech vždy protíná všechny odcházející vlny. K této potíži nedojde, použijeme-li místo hyperploch prostorového typu S₁ a S₂ izotropních (nulových) hyperploch I₁ a I₂, jak je znázorněno na obr.3.4. Obě hyperplochy I₁ a I₂ procházejí mimo kužel vyzařovaných vln a asymptotické chování metriky na I₁ nám definuje hmotnost M₁ a asymptotioké chování metriky na I₂ dává hmotnost M₂. A rozdíl M₁ - M₂ je celková energie vyzářených vln.

Obecně lze říci, že při sledování fyzikálních procesů v asymptoticky rovinném prostoročase je třeba vyšetřovat asymptotické chování příslušných polí. Např. elektrický náboj fyzikální soustavy je dán asymptotických chováním elektrického potenciálu nebo vektoru elektrické intenzity ("jak rychle" jdou v nekonečnu k nule), hmotnost a moment hybnosti je určován asymptotickým tvarem metriky. Právě uvedený příklad podle obr.3.4 ukazuje, že patrně nestačí provádět asymptotickou analýzu jen v oblasti "prostorového" nekonečna r®Ą, ale je třeba zjišťovat asymptotický tvar metriky a polí i v "izotropním" nekonečnu. Konkrétně se budeme jednotlivými typy nekonečna zabývat v následujícím §3.2 "Minkowského rovinný prostoročas a asymptotická struktura".

Konformní asymptotická analýza
Při asymptotické analýze je nepříjemné to, že je třeba sledovat chování fyzikálních veličin kdesi v nekonečnu, a to nejen v obvyklém typu "prostorového" nebo "časového" nekonečna. Je nutno počítat limity pro nekonečné hodnoty souřadnic a kromě toho si lze jen obtížně představit strukturu příslušných asymptotických oblastí prostoročasu. Pro sledování globálních vlastností prostoročasu a asymptotického chování fyzikálních veličin (tj. jejich chování v nekonečně vzdálených oblastech prostoročasu) jsou velmi užitečné Penroseovy konformní metody [201],[106],[203]. Konformním zobrazením prostoročasu (M,g) na prostoročas (M^,g^) se nazývá zobrazení M®M^ takové, při němž se metrika transformuje podle vztahu g^_ik = W.g_ik a prostoročasový element intervalu ds^² = W².g_ikdxⁱdx^k = W².ds². Konformní koeficient W = W(xⁱ) může být sice v každém bodě jiný, avšak rozměry ve všech směrech (včetně časového) jsou v daném bodě násobeny vždy stejným číslem. Všechna měřítka v daném místě jsou izotropně "roztažena" nebo "smrštěna"; proto se při konformním zobrazení lokálně zachovávají okolí bodů, úhly i poměry délek: g_ikAⁱA^k/g_ikBⁱB^k = g^_ikAⁱA^k/g^_ikBⁱB^k. Konformním zobrazením se tedy nemění ani struktura světelných kuželů, tj. lokálně jejich tvary a sklony:

Penroseova metoda spočívá v použití vhodného konformního zobrazení provádějícího pro oblasti nekonečna v M nekonečně velké "stlačení" všech rozměrů (_xi_®Ąlim W(xⁱ) = 0) tak, aby tyto oblasti nekonečna mohly mít v M^ konečné souřadnice. Pomocí takového konformního zobrazení se převádí celý nekonečný prostoročas M na určitou konečnou oblast M^, jejíž hranice ¶ M^ jsou konformním obrazem oblastí nekonečna původního neomezeného prostoročasu M (obr.3.5). Asymptotické vlastnosti geometrie a fyzikálních veličin je možno potom sledovat analýzou jejich chování na hranicích konformního obrazu, kde mají souřadnice konečné hodnoty. Podmínkou je zde ovšem konformní invariantnost rovnic příslušných fyzikálních veličin.

Obr.3.5. Pomocí vhodného konformního zobrazení lze celý nekonečný prostoročas M převést na konečnou oblast M^ tak, že vlastní body M se zobrazují na vnitřek M^ a oblasti nekonečna v M na hranici ¶M^. Struktura světelných kuželů v M^ je přitom stejná jako v původním M.

Vhodnou funkcí W pro takové konformní zobrazení je např. funkce arkustangens, která převádí interval (-Ą,+Ą) na interval (-p/2,+p/2). Užitečnost Penroseovy metody se projeví na několika místech v dalším výkladu, kde konformní prostoročasové diagramy budou použity pro zobrazení globální struktury různých druhů prostoročasu a při studiu vlastností černých děr.

Analytická extenze prostoročasu
Prostoročas (M', g') se nazývá analytickým rozšířením (extenzí) prostoročasu (M,g), jestliže je (M,g) izometrický nějaké vlastní podmnožině (M',g'). Pokud existuje taková extenze, prostoročas M je rozšiřitelný, tj. může být "zvětšen" jako prostoročas; potom musíme považovat za body tohoto prostoročasu i body M'. Není totiž důvod, proč by se struktura prostoročasu měla omezit na stadiu prostoročasu M, když stejným právem by mohla pokračovat do stadia prostoročasu M'. Jedině nerozšiřitelný prostoročas lze považovat za "kompletní"; rozšiřitelný prostoročas naopak vzbuzuje podezření, že je to jen "část" skutečného prostoročasu.

Jestliže hledáme řešení Einsteinových rovnic, pracujeme v určité soustavě souřadnic, ve které nalezneme příslušné řešení, tj. metriku prostoročasu g. Často se stává, že takto nalezená metrika není ve všech místech regulární (např. Schwarzschildovo řešení - §3.4). Vyslovit závěr, že geometrické vlastnosti prostoročasu jsou v těchto místech singulární, by však bylo předčasné (ukvapené), protože singulární chování komponent metrického tenzoru může být způsobeno jen nevhodností použité souřadnicové soustavy (viz §3.4, obr.3.15). V takových případech se pokoušíme nejprve přechodem k jiné souřadnicové soustavě singulární chování metriky odstranit; pokud se to aspoň v některých místech podaří, bude řešení v této nové souřadnicové soustavě analytickým rozšířením původního řešení, protože obsáhne větší část prostoročasu.

Postup analytické extenze může být tedy zhruba následující: Máme nalezeno určité řešení (M,g) Einsteinových rovnic pro danou fyzikální situaci v nějaké souřadnicové soustavě xⁱ. Přejdeme k nové soustavě souřadnic x'ⁱ, např. za účelem odstranění patologického chování metrických koeficientů g_ik vlivem nevhodné původní souřadné soustavy - vznikne metrika g'_ik. Analytickou extenzi (M',g') dostaneme tak, že jako metriku použijeme g' a jako M' maximální varietu, na níž má g' požadované analytické vlastnosti (tj. má spojité derivace do druhého řádu). Může se stát, že takto získaný prostoročas M' je "větší" než M, takže původní prostoročas M nebyl "celý" a při odstraňování singulárního chování metrických komponent se nám zároveň podaří najít analytické rozšíření. Pokud je takto nalezený prostoročas M' již dále nerozšiřitelný, jedná se o úplnou (maximální) analytickou extenzi příslušného řešení (geometrie). Konkrétní ilustrace těchto postupů bude ukázána v §3.4 a 3.5 na Schwarzschildově a Reissnerově-Nordströmově řešení.

2.9. Geometrodynamická soustava jednotek		3.2. Minkowského rovinný prostoročas a asymptotická struktura

Vojtěch Ullmann