AstroNuklFyzika ® Jaderná fyzika - Astrofyzika - Kosmologie - Filosofie Gravitace, černé díry a fyzika

Kapitola 2
OBECNÁ TEORIE RELATIVTITY
- FYZIKA GRAVITACE
2.1. Zrychlení a gravitace z hlediska speciální teorie relativity
2.2. Univerzálnost - základní vlastnost a klíč k pochopení podstaty gravitace
2.3. Lokální princip ekvivalence a jeho důsledky
2.4. Fyzikální zákony v zakřiveném prostoročase
2.5. Einsteinovy rovnice gravitačního pole
2.6. Deviace a fokusace geodetik
2.7. Gravitační vlny
2.8. Specifické vlastnosti gravitační energie
2.9.Geometrodynamická soustava jednotek
2.10. Experimentální ověřování teorie relativity a gravitace

2.9. Geometrodynamická soustava jednotek

Základním přínosem teorie relativity je poznání, že polohové souřadnice a časové okamžiky událostí nemají samostatný invariantní význam, že prostor a čas tvoří sjednocené prostoročasové kontinuum. Absolutní význam mají pouze "vzdálenosti" měřené v prostoročase, tedy prostoročasové intervaly. Z tohoto hlediska se jeví nedůsledné, že vzdálenosti (intervaly) v prostoročase se v různých směrech měří v různých jednotkách: ve směrech prostorových v metrech, podél časové osy v sekundách. Je to podobné, jako kdybychom zde na zemi vzdálenosti v horizontálním směru (tj. délku a šířku) měřili v metrech, zatímco vzdálenosti ve vertikálním směru (výšku a hloubku) měřili třebas v palcích. Vznikaly by tak zbytečné komplikace při měření délek v "šikmých" směrech - stanovování vzdáleností bodů s odlišnými horizontálními souřadnicemi ležících různě vysoko.

Podobně jako je přirozené vzdálenosti v prostoru měřit ve všech směrech pomocí stejných jednotek, je rozumné i v prostoročase měřit "vzdálenosti", tj. prostoročasové intervaly, ve všech směrech stejnými jednotkami. Vezmeme-li za základ jeden metr (jednotka délky v prostoru), je výhodné ocejchovat časovou osu t tak, aby jeden dílek představoval vzdálenost jež urazí světlo za jednu sekundu, použít tedy souřadnici x° = c.t ş t*, jak jsme to vlastně již dělali v prostoročasových diagramech. Jinými slovy, délku i čas měříme v metrech, přičemž rychlost světla, která je nejlepším etalonem rychlosti, položíme rovnu jedné: c = 1 (jeden metr délky za "jeden metr" času). Geometrodynamický čas t* souvisí s obyčejným časem t vztahem

t*[m]   =   c . t[s]   @   3 . 108 . t[s]   . (2.107)

Pro prostoročasová měření vystačíme tedy jen s jednou jednotkou - metrem.

Další základní fyzikální veličinou je hmotnost. V Newtonovské fyzice má hmota dva základní projevy - setrvačnost a gravitaci, přičemž tyto projevy jsou zde nezávislé, rovnost (úměrnost) setrvačné a gravitační hmotnosti je zde empirickým faktem, který v rámci teorie není vysvětlitelný. Pro kvantitativní vyjádření množství hmoty byla proto stanovena další veličina - hmotnost - nezávislá na veličinách délky a času, jednotkou byl zvolen kilogram.

V obecné teorii relativity, která stírá rozdíl mezi setrvačností a gravitací, se hmotnost těles měří pomocí jejich gravitačních projevů, tedy podle toho, jak zakřivují prostoročas. Jinými slovy, hmotnost lze stanovit pomocí čistě geometrických měření v prostoročase - pomocí měření délky. Gravitační působení tělesa o hmotnosti M podle Newtonovy teorie (jež je limitou OTR) udílí každé testovací částici umístěné ve vzdálenosti r zrychlení a ş d2r/dt2 = G.M/r2, což v geometrodynamických jednotách můžeme přepsat a* ş d2r*/dt*2 = (G·M/c2)/r*2. Za geometrodynamickou hmotnost je pak přirozené zvolit veličinu s rozměrem délky

M*[m]   =   (G/c2) . M[kg]   @   0.743 . 10-27 . M[kg]   . (2.108)

V geometrodynamických jednotkách je např. hmotnost Slunce M¤ @ 1,48 km, hmotnost Země Ml @ 0,44 cm, průměrný člověk "váží" asi 5.10-26 m. Že kilogramy a metry jsou dvěma ekvivalentními jednotkami pro měření hmotnosti těles (tj. míry jejich setrvačnosti a gravitace) je vidět i z toho, že gravitační poloměr tělesa rg = (2GM/c2) = 2.M* (viz §3.4) je zcela jednoznačnou charakteristikou struktury prostoročasu kolem gravitujícího tělesa rovnocennou jeho hmotnosti M (vyjádřené v kilogramech).

Veličiny popisující elektromagnetické pole mohou být rovněž určeny čistě geometrickým způsobem na základě křivosti Rik, kterou toto pole (v něm obsažená energie-hybnost) vyvolává v prostoročase. Z rozměrové analýzy spřažených Einstenových-Maxwellových rovnic pak plyne, že geometrodynamické jednotky intenzity elektrického a magnetického pole souvisejí s obyčejnými jednotkami vztahem

F*ik [cm-1]   =   (G1/2/c2) Fik [cm1/2.g1/2.s-1]   @   (2,874.10-25cm-1/Gauss) Fik   .    

Z Maxwellových rovnic (2.32), stejně jako ze zobecněné Lorentzovy rovnice (2.30) pohybu náboje v elektromagnetickém poli, pak plyne, že stejný převodní vztah spojuje geometrodynamickou míru elektrického náboje s jeho obyčejnými jednotkami:

Q*[cm]   =   (G1/2/c2) . Q   @   (2,874.10-25cm/CGSE) . Q[cm3/2.g1/2.s-1]   ,    

neboli pro jednotky SI

Q*[m]   @   0.862 . 10-17 . Q[Coulomb]   . (2.109)

Geometrodynamická soustava jednotek G=c=1 vyjadřuje "dotažení do konce" idejí o vztahu prostoru, času, gravitace a hmoty v obecné teorii relativity. Hmota by se měla měřit pomocí svých nejcharakterističtějších projevů (příznaků). To, co nejobecněji charakterizuje veškeré formy hmoty, je univerzální gravitační působení, zakřivování prostoročasu. Z tohoto hlediska tedy veškerá fyzikální měření jsou konec konců geometrickými měřeními v prostoročase, k čemuž nám stačí jen jedna jednotka - jednotka délky. Řečeno slovy Misnera a Wheelera [180]: fyzika je geometrie.

Einsteinovy rovnice zapsané v geometrodynamických jednotkách neobsahují žádnou konstantu :

Gik   ş   Rik - 1/2 gik R  =  8 p Tik   . (2.110)

Rovnice pohybu testovací částice hmotnosti m s nábojem q v elektromagnetickém a gravitačním poli zní

m* [d2xi/dt2 + Gikl(dxk/dt)(dxl/dt)]   =   q* F*ikdxk/dt   . (2.111)

První dvojice Maxwellových rovnie má v geometrodynamických jednotkách stejný tvar jako v běžných jednotkách

F*ik,l + F*li,k + F*kl,i  =  0 ,   tj.   div H*  =  0 ,   rot E* + E*/t*  =  0   , (2.112a)

druhý pár Maxwellových rovnic v geometrodynamické soustavě zní

F*ik;k  =  4p j* i ,   tj.   div E*  =  4p r* ,   rot H* - H*/t*  =  4p j*   . (2.112b)

Konečně, zpřažené Einsteinovy-Maxwellovy rovnice popisující chování soustavy [volné elektromagnetické pole + jím buzené gravitační pole] mají v geometrodynamických jednotkách tvar

Rik - 1/2 dik R   =   2 *Flk*Fil - 1/2 dik *Flm*Fml   . (2.113)

Převodní koeficienty mezi běžnými (SI) a geometrodynamickými (*) jednotkami pro základní veličiny klasické fyziky jsou uvedeny v následující tabulce :

Použití geometrodynamické soustavy jednotek je v obecné teorii relativity velice výhodné, protože se značně zjednodušuje zápis většiny vztahů, v nichž konstanty G a c již nezastiňují obsahové souvislosti mezi různými veličinami a jejich vztahy ke struktuře prostoročasu. V dalším proto budeme pracovat právě v těchto geometrodynamických jednotkách, přičemž nebudeme příslušné symboly již označovat hvězdičkami. Důležité výsledné vztahy však uvedeme i ve tvaru odpovídajícím běžným jednotkám.

2.8. Gravitační energie   3. Geometrie a topologie prostoročasu

Gravitace, černé díry a fyzika prostoročasu :
Gravitace ve fyzice Obecná teorie relativity Geometrie a topologie
Černé díry Relativistická kosmologie Unitární teorie pole
Antropický princip aneb kosmický Bůh
Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření
AstroNuklFyzika ® Jaderná fyzika - Astrofyzika - Kosmologie - Filosofie

Vojtěch Ullmann