Jak sjednotit obecnou teorii relativity s kvantovou fyzikou?

dodatek B
UNITÁRNÍ TEORIE POLE A KVANTOVÁ GRAVITACE
B.1. Proces sjednocování ve fyzice
B.2. Einsteinovy vize geometrické unitární teorie pole
B.3. Klasická geometrodynamika. Gravitace a topologie.
B.4. Kvantová geometrodynamika
B.5. Kvantování gravitačního pole
B.6. Sjednocování fundamentálních interakcí. Supergravitace. Superstruny.
B.7. Obecné principy a perspektivy unitární teorie pole

B.5. Kvantování gravitačního pole

V předchozím odstavci o kvantové geometrodynamice jsme již částečně "nakousli" problematiku kvantové gravitace, avšak ze zcela specifického a neobvyklého hlediska. Zde se několika slovy zmíníme o obecných aspektech a základních přístupech ke kvantování gravitace (další podrobnosti viz např. v [279],[280],[177],[258]).
  Na naprosté většině jevů v přírodě se podílí buď gravitace, nebo kvantové jevy, nikoli však obojí současně. V mikrosvětě molekul, atomů a elementárních částic jsou rozhodující kvantové jevy, avšak gravitace je zcela zanedbatelná. V astronomických měřítcích planet, hvězd a galaxií naopak pevně vládne gravitace, zatímco kvantové fluktuace jsou nepozorovatelné. Pro téměř veškerou přírodovědu proto spojení gravitace a kvantové fyziky není důležité. Nevíme, jak funguje gravitace na úrovni atomárních a subatomárních částic. Nedokážeme zatím spojit obecnou teorii relativity a kvantovou mechaniku do "jednoho vzorce"...
  Lapidárně řečeno: Gravitace je tak slabá, že její lokální vliv na malé objekty, jako jsou kvantové systémy, je neměřitelně malý. A zase naopak, kvantové efekty jsou neměřitelně malé pro objekty dostatečně velké na to, aby vykazovaly signifikantní gravitaci.
  Na samotném počátku (viz §5.4 - 5.5) však mohl být vesmír tak "malý", že kvantové fluktuace mohly "otřásat" celým tímto vesmírem. A koncentrace hmoty a gravitace tak velká, že gravitace mohla hrát důležitou úlohu při formování kvant polí a jejich dalším chování. Kvantové pojetí gravitace se tak může stát klíčové pro pochopení nejranějších etap vývoje vesmíru. Obecně by bylo velmi žádoucí spojit obecnou teorii relativity a kvantovou fyziku do jedné teorie, která by popsala vesmír na všech úrovních.
  Kvantová gravitace se může výrazně manifestovat v zásadě ve třech (astro)fyzikálních situacích :
-> Iniciální singularita při vzniku vesmíru velkým třeskem (§5.5 "Mikrofyzika a kosmologie. Inflační vesmír.").
-> Singularita uvnitř černé díry (§4.2 "Konečné fáze hvězdné evoluce. Gravitační kolaps. Vznik černé díry.").
-> Prostoročasová kvantová pěna v mikroměřítcích kvantové geometrodynamiky (§B.4 "Kvantová geometrodynamika").
  Gravitační pole v Einsteinově obecné teorii relativity se sice svým geometrickým charakterem značně liší od polí s nimiž pracují ostatní části fyziky, avšak má s nimi též některé význačné vlastnosti společné. Protože všechna tato ostatní pole se řídí zákony kvantové fyziky, je nutno prozkoumat, k jakým důsledkům vede aplikace kvantových zákonitostí na gravitaci. Kvantový přístup ke gravitaci má v zásadě dvě stádia :

a) Semikvantový přístup - semiklasická gravitace ,
která aplikuje kvantové zákonitosti pouze na negravitační pole, sloužící buď jako zdroj pole gravitačního, nebo reagujícího na dané gravitační pole.
  Sem náleží kvantová teorie pole v zakřiveném prostoročase, která studuje chování kvantovaných negravitačních polí v daném (pevném a nekvantovaném) gravitačním poli, tj. na pozadí zakřiveného prostoročasu. Tato metoda slavila velké úspěchy v Hawkingově efektu kvantové evaporace černých děr (viz §4.7 "Kvantové vyzařování a termodynamika černých děr"). Kvantové chování hmoty budící gravitační pole způsobuje podle Einsteinových rovnic R_ik - ¹/₂ g_ik R = 8p T_ik , že i buzené gravitační pole bude nést výrazné stopy tohoto kvantového chování. Zde se však jedná výlučně o "indukované" kvantové vlastnosti, nemající nic společného s povahou samotného gravitačního pole.
  Takový přístup však nelze považovat za důsledný, protože vzniká otázka kvantování těch "stupňů volnosti" gravitačního pole, které přímo nesouvisejí s budící hmotou. V gravitačním poli totiž existují nezávislé excitace (gravitační vlny) přenášející kladnou energii. Je nepravděpodobné, že by gravitační pole mělo nějakou vlastnost umožňující vyhnout se kvantování veličin, které v celé ostatní fyzice podléhají univerzálním kvantovým zákonitostem (je diskutováno níže v pasáži "Kvantová či nekvantová podstata gravitace?").
  Je zde též matematický důvod ke kvantování gravitace: v Einsteinových rovnicích OTR jedna strana charakterizuje gravitační pole, druhá strana hmotu. Pokud je hmota kvantovaná, tenzor enegie-hybnosti T_ik by byl vyjádřen ve formě kvantově-mechanických operátorů. A klasická gravitace je popsána běžnými čísly (hodnotami složek metrického tenzoru a tenzoru křivosti). Není znám žádný způsob, který by důsledně v rovnici spojoval nekvantované gravitační pole na levé straně rovnice se zdrojem kvantované hmoty na druhé straně (jako kdybychom třebas chtěli zjistit, kolik hrušek je potřeba pro vytvoření melounu...).
  Pokud bychom nepožadovali aby gravitace byla vnitřně kvantovou teorií, v tenzoru energie-hybnosti bychom použili průměrné-očekávané hodnoty energie, hybnosti, hustoty hmoty. Na obou stranách rovnice by pak byla obvyklá čísla, rovnice je konzistentní a řešitelná. Tato semiklasická (či semikvantová) teorie gravitace je přitom schopna velmi přesně popsat všechny gravitační jevy pozorované v přírodě, laboratoři, vesmíru - nyní i v dohledné budoucnosti. Kromě hypotetických singularit. Ze strany kvantové fyziky je semikvantovému přístupu vyčítán nedůsledný přístup a neslučitelnost s interpretacemi, které superpozici stavů a kolaps vlnové funkce považují za skutečný fyzikální proces. My však tuto interpretaci nesdílíme (je diskutováno v pasáži "Interpretace kvantové fyziky" a "Desinterpretace").
  V §3.4-3.9, §4.9 a §5.3 jsme viděli, že některá (jinak realistická) řešení rovnic OTR mají singularity svědčící o tom, že obecná teorie relativity v jejich blízkosti ztrácí platnost. K popisu obrovských hustot hmoty, jaké se zde vyskytují, nestačí již samotná OTR, ale je třeba nová teorie zahrnující zákonitosti mikrosvěta. Je naděje, že právě kvantová teorie gravitace by mohla vrhnout světlo na tyto obtíže standardní OTR, především odstranit prostoročasové singularity. Kvantová teorie gravitace, jakožto teorie mikrostruktury prostoru a času, by snad mohla rovněž pomoci překonat základní problémy současné kvantové teorie polí s "ultrafialovými" divergencemi *). Vidíme tak, že kvantová teorie gravitace slibuje možnosti lepšího proniknutí do struktury elementárních částic a jejich interakcí, možnosti odhalení nových důležitých zákonitostí přírody.
*) Podle některých výzkumů [65] by např. elementární černé mikrodíry mohly hrát důležitou úlohu ve fyzice elementárních částic: Při výpočtu vlastní energie částice se totiž zahrnují příspěvky mezistavů s libovolně velkou energií, což vede většinou k divergencím. Započítání gravitační interakce příslušných virtuálních částic a možnosti vzniku virtuálních černých mikroděr v intermediálním stavu je tedy patrně nutností a snad by mohlo potenciálně vést i k odstranění těchto divergencí..?..

Základní principy současné fyziky tedy vyžadují důslednější přístup :

b) Kvantování gravitačního pole samotného,
při němž by se gravitační energie předávala po kvantech, stejně jako všechny ostatní formy energie.

Zmíníme se nejprve velmi stručně o některých základních metodách kvantování obecně a posléze u gravitačního pole.

Kanonické kvantování
Nejobvyklejší a nejpřímočařejší způsob přechodu od klasické teorie k teorii kvantové je metoda kanonického kvantování. Použitím této metody na mechaniku hmotných částic vzniká kvantová mechanika. Při takovém kvantování (nazývaném někdy "prvotní") se hmotným částicím přiřazují vlny pravděpodobnosti tvořící pole. Při použití kanonické metody na fyzikální pole (popř. mechaniku kontinua) se naopak objevují částice jako kvanta excitací těchto soustav - ať již se jedná o kvazičástice (fonony) existující jen na pozadí mechanického kontinua, nebo především o reálné částice (jako jsou fotony, fermiony a pod.) existující na pozadí "vakua" příslušných polí. Tato metoda se označuje jako druhotné kvantování [164],[177].
  Prvním krokem při kanonickém kvantování je převedení rovnic vyšetřovaného systému na Hamiltonovu (kanonickou) formu. Stantardní postup, jak teorii s dynamickými proměnnými q_A (zobecněnými souřadnicemi, A=1,2,3,...) a lagrangiánem L(q,q^.) převést na kanonický tvar, spočívá v zavedení kanonických hybností p_A = ¶L/¶q^._A, vyjádření (zobecněných) rychlostí q^._A pomocí hybností p_A a v konstrukci Hamiltonovy funkce H(p,q) = _ASq_Ap_A - L(q,p) vyjadřující celkovou energii soustavy pomocí veličin q a p. Pohybové rovnice soustavy v proměnných p a q mají pak jednoduchý a symetrický tvar q^._A =¶H/¶p^._A , p_A = - ¶H/¶q^._A - Hamiltonovy kanonické rovnice.
  Pro funkce zobecněných souřadnic a hybností f(p,q,t), g(p,q,t) se dále zavádějí tzv. Poissonovy závorky {f,g} = _AS ((¶f/¶q_A)(¶g/¶p_A)- (¶f/¶p_A)(¶g/¶q_A)) splňující jednoduché algebraické vztahy: {f,g} =-{g,f}, {f1 +f2,g} = {f1,g} + {f2,g}, {f,{g,h}} + {g,{h,f}} + {h,{f,g}] =0, atd. Např. Poissonovy závorky utvořené ze souřadnic a hybností mají tvar {p_A,q_B} = d_AB·
  Při vlastním přechodu ke kvantové teorii se stav soustavy popíše určitou (obecně komplexní) funkcí y(q) zobecněných souřadnic - vlnovou funkcí, a veličiny figurující v klasické teorii se nahradí příslušnými operátory. Vlnová funkce udává rozdělení pravděpodobností různých konfigurací systému: |y|².dq je pravděpodobnost toho, že při měření padne hodnota zobecněných souřadnic systému do elementu dq konfiguračního prostoru. Střední hodnota pozorovatelné veličiny f, chrakterizující stav soustavy, je pak rovna <f> = <y|F^{^}|y> ş ňy(F^{^}y) dq , kde F^{^} je hermitovský operátor přiřazený f.
  Chování kvantované fyzikální soustavy je pak určeno jednoduchou vlnovou rovnicí ih ¶y/¶t = H^{^}y, kde H^{^} je hamiltonián (operátor přiřazený Hamiltonově funkci H). Operátory přiřazené klasickým fyzikalním veličinám splňují (kromě pohybových rovnic) určité komutační relace v nichž figurují Poissonovy závorky: F^{^}G^{^} - G^{^}F^{^} ş [F,G] = ih{f,g}; tyto komutační vztahy jsou vyjádřením kvantového (Heisenbergova) principu neurčitosti.
  Při kvantování fyzikálního pole se zpravidla rovnice pole převedou na vlnovou rovnici, takže pole (v nějaké konečné oblasti prostoru) může být vyjádřeno jako superpozice rovinných vln; tím je pole popsáno diskrétní řadou proměnných - amplitud a frekvencí vln. Na základě těchto amplitud se definují kanonické proměnné pole - zobecněné souřadnice q_A a hybnosti p_A, pomocí nichž se vyjádří hamiltonián jako suma nezávislých členů tvaru jednorozměrného harmonického oscilátoru odpovídajícího jednotlivým vlnám s příslušnými vlnovými vektory a polarizacemi. Při kvantovém přechodu se kanonické proměnné (zobecněné souřadnice q_A a hybnosti p_A) stávají operátory s komutační relací [^{^}P_A,^{^}Q_A] = - ih. Použití těchto komutačních vztahů pro stanovení vlastních hodnot hamiltoniánu vede k diskrétním energetickým úrovním pole E_n = (n+ 1/2)h.w.
  Použití této kanonické metody kvantování na elektromagnetické pole je všeobecně známé (kvantová elektrodynamika) a vede k představě volného elektromagnetického pole jako souboru částic - fotonů, z nichž každý má energii h.w a hybnost hw/c. Analogický postup kvantování pro slabé gravitační pole v rámci linearizované teorie, provedený v letech 1930-36 [221],[34],[6], vede k existenci gravitonů jako kvant gravitačního pole. Gravitony jsou částice s nulovou klidovou hmotností a spinem 2 (srovnej se zmínkou o symetrii gravitačních vln v §2.7), které jsou příčně polarizovány (realizují se pouze maximální spinové hodnoty +2 a -2). Pro obecný případ nelineární tenzorové teorie pak bylo kvantování rozpracováno Diracem [70],[6].
  Bylo vyvinuto několik variant kanonického kvantování gravitačního pole. Tyto modifikace se liší jednak způsobem zavedení času (jako čas se bere buď přímo souřadnice x°, nebo čas vzhledem k určitým nerotujícím "normálním" vztažným soustavám), jednak volbou a vztahy mezi zobecněnými souřadnicemi a hybnostmi (vzhledem k singulárnosti lagrangiánů existují mezi p a q určité vazbové rovnice umožnující snížit počet nezávislých kanonických proměnných).

Feynmanovské kvantování dráhových integrálů
Kvantová fyzika dosáhla impozantních úspěchů při vysvětlování stavby a fungování atomů, atomových jader a elementárních částic. Avšak není nikterak snadné pochopit vnitřní příčiny kvantového chování mikrosystémů na základě naší zkušenosti s klasickým chováním makrosvěta. Feynmanova formulace kvantové teorie [178] se vyznačuje velmi těsným vztahem ke klasické fyzice *) vyjádřené pomocí principu nejmenší akce. V klasické fyzice (mechanice, elektrodynamice, OTR) se mezi daným počátečním x₁ a koncovým x₂ stavem vyšetřovaného systému vždy uskuteční pouze takový pohyb, pro nějž je integrál akce S = _x1ň^x2L dt extremální. Naproti tomu v kvantové fyzice se jak známo uskutečnují i takové procesy, které nevyhovují tomuto principu a jsou podle klasické fyziky nemožné - např. tunelovy jev.
*) Přechod od klasické fyziky ke kvantové je zde natolik elegantní a přímočarý, že se J.A.Wheeler [277] pomocí tohoto přístupu snažil přesvědčit A.Einsteina, leč bezvýsledně, aby zrevidoval svůj odmítavý postoj ke stochastickým principům kvantové mechaniky.
  Ve Feynmanově přístupu se rovnoprávně a současně uvažují všechny trajektorie vedoucí z počátečního stavu x₁ do konečného stavu x₂ bez ohledu na to, zda jsou podle klasické fyziky přípustné nebo nikoliv. Jako kdyby se částice při cestě mezi oběma stavy pohybovala po každé myšlené trajektorii současně - jedná se o množinu všech virtuálních trajektorií ("historií"). Vypočítá-li se pro každou trajektorii integrál _x1ň^x2L dt, bude pravděpodobnost přechodu soustavy z počátečního stavu x₁ do koncového stavu x₂ dána čtvercem veličiny

^,

získané jako suma vzatá přes všechny trajektorie - součet přes všechny možné "historie". Je evidentní, že největší příspěvek k této sumě dávají ty trajektorie, které mají fázový koeficient (i/h)ňLdt téměř stejný (exponenty se sčítají), zatímco pro trajektorie s velkými rozdíly v (i/h)ňLdt se exponenty v součtu vzájemně ruší. Nejpravděpodobnější trajektorie (odpovídající blízkým hodnotám ňLdt) bude proto klasická trajektorie s extrémním chováním integrálu akce. Pod trajektorií se zde rozumí "dráha" v prostoru konfigurací dané soustavy; pokud se jedná o složitou soustavu popsanou velkým počtem parametrů, bude to trajektorie v mnoharozměrném prostoru. Feynman ukázal, že tato formulace je ekvivalentní obvyklému Schrödingerovu a Heisenbergovu pojetí kvantové mechaniky. Podobně jako u klasického principu nejmenší akce se v praxi nehledá bezprostředně extrém integrálu ňLdt, ale odvozují se Lagrangeovy pohybové rovnice, ani při použití Feynmanovy metody se přímo nepočítá celková suma přes všechny trajektorie. Feynmanova procedura se spíše používá jako prostředek pro odvozování a rozpracování kvantových teorií, jakož i jejich fyzikální interpretace.
Dráhové kvantování vesmírů v "superprostoru" 
Misner [277] a deWitt [179] se pokusili použít Feynmanovy koncepce pro kvantování "nejklasičtějšího" objektu jaký si dovedeme představit: vesmíru jako celku. Zavedli tzv. superprostor - nekonečněrozměrný prostor, jehož "body" představují všechny možné geometrie prostoru (stavy vesmíru). Čára - trajektorie - v tomto superprostoru pak reprezentuje určitou variantu evoluce vesmíru. Je jasné, že praktické použití superprostoru je možné pouze za velmi zjednodušujících předpokladů. Misner proto navrhl studovat evoluci uzavřeného homogenního vesmíru (zobecněných Kasnerových modelů - §5.4), pro popis jehož stavu stačí tři parametry; nekonečně rozměrný superprostor se zde redukuje na trojrozměrný "minisuperprostor". Superprostor Fridmanových homogenních izotropních vesmírů je dokonce jednorozměrný - všechny prostorové řezy jsou charakterizovány hodnotou parametru a(x°). V rámci superprostoru lze matematicky formulovat i Wheelerovu kvantovou geometrodynamiku (zmíněnou v předchozím §B4 "Kvantová geometrodynamika") [275].
  Kvantové přístupy v kosmologii, vedoucí k hypotéze více vesmírů, jsou diskutovány v§5.5, část "Chaotická inflace", pasáž "Vznik více vesmírů".

Obtíže a perspektivy kvantové gravitace
Pro případ slabého gravitačního pole není třeba brát v úvahu geometrický charakter gravitace (zakřivenost prostoročasu) a lze jej vyšetřovat jako každé jiné pole na pozadí eukleidovského (popř. jinými hmotami zakřiveného) prostoročasu. Z tohoto hlediska lze gravitaci uvažovat v rámci standartní teorie pole spinu 2. V obecném případě však z geometrické povahy gravitačního pole a z jeho nelineárnosti pramení řada matematických i fyzikálních problémů kvantové teorie gravitace.
  Vlivem univerzálnosti gravitační interakce, vyjádřené principem ekvivalence v OTR, intenzita gravitačního pole Gⁱ_kl ani (kanonická) hybnost netvoří tenzory. Příslušné komutační relace pak nejsou kovariantní a tudíž nemají přímý fyzikální význam. V §2.8 "Specifické vlastnosti gravitační energie" jsme si ukázali, že hustota a tok energie a hybnosti t^ik gravitačního pole nemá tenzorový charakter, energie gravitačního pole není lokalizovatelná, což zde vede k potížím při interpretaci kvant gravitačního pole - gravitonů. To, že gravitace nemá v OTR jednoznačně lokalizovanou hustotu energie, je zásadní překážkou pro obvyklý způsob kvantování. Energie je totiž veličina, která obecně při procesu kvantování hraje klíčovou úlohu.
Díky kovariantnosti OTR se používá větší počet proměnných než odpovídá počtu dynamických stupňů volnosti. Je proto obtížné orientovat se v geometrickém a fyzikálním významu nadbytečných proměnných a správně využívat libovolnost ve volbě souřadnic. Nelinearita obecné teorie relativity znemožňuje superpozici jednotlivých parciálních řešení, což je podstatně odlišná situace než v elektrodynamice. Kromě toho nelinearita vede k velmi složitým vztahům mezi složkami metrického tenzoru (vzatého jako zobecněné souřadnice soustavy) a kanonicky sdruženými rychlostmi a hybnostmi.
  Z univerzálnosti gravitace plyne ještě jedna pozoruhodná a neobvyklá vlastnost, která byla vyzdvihnuta již v §2.5 "Einsteinovy rovnice gravitačního pole" při odvozování Einsteinových rovnic gravitačního pole a v dalším textu mnohokrát diskutována při analýze gravitačních jevů: je to samogravitace gravitačního pole. Že totiž gravitační pole je svou energií schopné generovat další gravitační pole. Toto v procesu kvantování vyvolává velké potíže, neboť skutečné i virtuální gravitony mohou emitovat další virtuální gravitony, ty pak další atd., což vede k výrazům divergujícím do nekonečna *). Jinými slovy vznikají potíže s renormalizovatelností kvantové teorie gravitace.
*) Kvantové fluktuace vakua si lze představit jako dvojici částic, které se v určitém okamžiku společně zrodí, po kratičký čas se pohybují odděleně, ale pak se opět setkají a vzájemně anihilují. Těmto virtuálním částicím odpovídají uzavřené smyčky ve Feynmanových diagramech. Energie nekonečného množství těchto virtuálních párů by podle obecné teorie relativity zakřivila prostor na nekonečně malý rozměr, v rozporu se skutečností. Na rozdíl od silné, slabé a elektromagnetické interakce v gravitaci OTR nemohou být tato nekonečna odstraněna renormalizací, neboť zde nejsou k dispozici příslušné parametry. Možné řešení se nalezlo v tzv. supergravitaci, zmíněné níže v §B6 "Sjednocování fundamentálních interakcí. Supergravitace. Superstruny.".

Lze říci, že v současné době není hlavním problémem vlastní sestavení kvantové teorie gravitace. Bylo vyvinuto několik variant kvantové obecné teorie relativity, vykazujících však určité nejednoznačnosti (např. ve volbě kanonických proměnných, renormalizaci, fyzikální interpretaci a pod.). Další etapy rozvoje kvantové OTR by měly vyústit v situaci, kdy gravitační i negravitační kvantové teorie budou speciálními případy obecné kvantové teorie. Ještě před 10 lety se zdálo, že východiskem této jednotné teorie by měla být kvantová obecná teorie relativity. Pozdější úspěchy kvantové teorie pole ve fyzice elementárních částic však nasadily nový trend: budování unitárních teorií fundamentálních interakcí, včetně gravitační (supergravitace), na půdě kvantové teorie pole. A v nejposlednější době se zkoumají možnosti geometrické formulace supergravitačních unitárních teorií ve vícedimenzionálních prostorech (např. zobecněné Kaluzovy-Kleiovy teorie, teorie superstrun - viz následující §B.6 "Sjednocování fundamentálních interakcí. Supergravitace. Superstruny.").

(ne)Možnosti experimentálního ověření kvantové gravitace 
Fyzika, jakožto přírodní věda nezbytně vyžaduje, aby každá teorie byla ověřena experimentem či pozorováním. A zde je snad ještě větší potíž než při vlastní formulaci kvantové teorie gravitace. Nejmenší prostorová a hmotnostní měřítka, na jakých je při dnešní experimentální technice možno ověřovat obecně- relativistické gravitační jevy, jsou řádu zhruba 10⁵ km a 10²² kg. V menších prostorových měřítcích (např. kilometry) a pro menší hmotnosti (řádu kilogramů) neumíme experimentálně rozlišit mezi Newtonovou teorií gravitace a obecnou teorií relativity. *) A o experimentální analýze gravitace v subatomárních mikroměřítcích nemůže být v dohledné budoucnosti ani řeči! Dosud se jen s obtížemi podařilo detekovat gravitační vlny jako takové z fúzí černých děr; na experimentální prokázání jejich kvant, gravitonů, není v dohledné budoucnosti žádná naděje. Kvantové teorie gravitace zřejmě ještě dlouho zůstanou na úrovni experimentálně neověřených hypotéz. Jedinou možností konfrontace těchto teorií se skutečností asi zatím bude pozorování jejích důsledků na jevy v samotných počátcích evoluce vesmíru (podobně jako je tomu u unitárních teorií, např. superstrun) - srov. §5.5 a 5.8.
*) Ostatní interakce jsou naopak experimentálně ověřeny v podstatně menších škálách, zatímco ve větších měřítcích nikoli. U slabé a silné interakce je to samozřejmě v měřítcích srovnatelných s atomovým jádrem. Elektromagnetická interakce má sice neomezený dosah, experimentálně je však přímo ověřena, kromě mikrosvěta, jen v měřítcích řádově kilometrových. Nebeská tělesa jsou prakticky elektricky neutrální. Jediné ověření elektrodynamiky ve velkých měřítcích je šíření elektromagnetických vln ve vesmíru.
  Dlouho otevřenou patrně zůstane otázka, jakou roli gravitace hraje ve struktuře a interakcích subnukleárních elementárních částic. Žádnou roli, okrajovou či určující roli ve struktuře částic? (je diskutováno v §B.6, pasáž "Supersjednocení a supergravitace").

Kvantová či nekvantová podstata gravitace ?
V současné fyzice se obecně předpokládá, že gravitace bude na fundamentální úrovni kvantová, stejně jako ostatní interakce. V zásadě je však možné prozkoumat i alternativní možnost, že gravitace je ze své podstaty nekvantová ("klasická"), ale interpretace některých dynamických zákonů kvantové teorie pole by byla vhodně modifikována tak, aby zůstal zachován souhlas s experimenty a pozorováními a zároveň bylo dosaženo teoretické shody mezi OTR a kvantovou fyzikou.
 Kvantová superpozice částic a jejich gravitace
V základech pochopení kvantové mechaniky je tzv. dvojštěrbinový experiment, kde jednotlivé částice jsou směrovány na dvě velmi úzké a blízko sebe umístěné štěrbiny v jinak nepropustném stínění (popsaný v §1.1, pasáži "Korpuskulárně-vlnový dualismus"). Částice se chovají jako by procházely oběma štěrbinani současně a na druhé straně přepážky by interferovaly samy se sebou a dopadaly do míst popsaných vlnovou funkcí. Avšak pokud změříme kterou štěrbinou částice prochází, k interferenci nedochází a částice dopadají do míst naproti štěrbinám. Toto funguje pro fotony, elektrony i těžší a složené částice.
  Z hlediska vztahu gravitace a kvantové fyziky může být zajímavé položit si otázku: "Co se stane s gravitačním polem hmotné částice, když prochází dvojitou štěrbinou?". Pokud částice prochází přímo, bez interference, bude její gravitační pole odpovídat místu, kde se právě nachází na své trajektorii před štěrbinou i za ní. Složitější situace nastane, když částice prochází zdánlivě oběma štěrbinami, s interferencí na druhé straně. Rozdělí se i gravitační pole částice, jako kdyby bylo distribuováno podle stochastického vlnového rozdělení a pak se spojí v místě pozitivní interference? Tak by tomu bylo, kdyby gravitace byla ve své podstatě kvantová. Pokud by však gravitace částice sledovala klasickou trajektorii, naznačovalo by to že gravitace není ve své podstatě kvantová..?..
  Můžeme si představit další důsledky myšlenkového experimentu s částicí procházející dvojštěrbinou, která kvantově interferuje za štěrbinami. Pokud je gravitační pole generované touto částicí klasické, můžeme v zásadě jeho změřením s dostatečně vysokou přesností určit polohu částice, aniž bychom ji narušili. Toto měření by mělo umožnit odhalit, kterou štěrbinou částice prošla. Bylo by tím částicím zabráněno v superpozici? - proč? Nebo bychom porušili kvantový princip neurčitosti tím, že bychom s příliš vysokou přesností znali polohu a hybnost částice? Vztahy mezi strukturou prostoročasu - gravitací - a kvantovou fyzikou by mohly ukázat i skrytý deteminismus ležící někde hluboko v kvantové fyzice..?..
  Žádné fyzické experimenty tohoto druhu nebudou v dohledné době realizovatelné, zatím se jedná jen o hypotetické myšlené experimenty.

Záhada kvantové energie vakua <-> Kosmologická konstanta
Podle kvantové teorie pole (§1.2, pasáž "Kvantová teorie pole") ani ideální vakuum není zcela prázdným prostorem, ale probíhají v něm kvantové fluktuace - je zaplněno virtuálními kvanty, částicemi a antičásticemi, které neustále vznikají a okamžitě zanikají. Naprostá většina interakcí takto vznikajících virtuálních kvant se v průměru vzájemně ruší a vakuum se jeví v zásadě jako prázdný prostor. Kvantová fyzika požaduje, aby se zahrnovaly interakce všech možných kvant a částic, což dává sumárně nekonečné hodnoty, které se odstraňují pomocí renormalizace.
  Z hlediska obecné teorie relativity tyto kvantové fluktuace vytvářejí energii, která se vzhledem k univerzálnímu působení přičítá ke kosmologické konstantě, považované za imanentní energii vakua. Pomocí astronomicky stanovené kosmologické konstanty se hustota energie vakua stanovuje na cca 10^-9 Joule/m³ (~5 GeV/m³). Pokud bychom chtěli kosmologickou konstantu vysvětlit jako energii vakua pocházející z virtuálních kvantových fluktuací, kvantová fyzika by zahrnutím obrovského množství kvantových fluktuací poskytovala nesrovnatelně větší absurdní hodnotu ~10⁶⁰ -10¹¹³ J/m³ ! Tento obrovský nesoulad až 120 řádů se někdy metaforicky nazývá "vakuová katastrofa"...
  Možná není odůvodněné zcela „důsledné“ kvantování gravitačního pole včetně zahrnutí virtuálních částic kvantových fluktuací, které v Planckovských mikroměřítcích buď divergují, nebo dávají naprosto nerealisticky vysokou hodnotu energie vakua vzhledem ke kosmologické konstantě. Je pravděpodobné, že ke gravitaci (včetně temné energie) mohou přispívat jen reálné částice vzniklé interakcemi, nikoli všechny ty virtuální, které by se do Feynmanových diagramů daly nakreslit. Ostatně, je třeba mít na paměti že o skutečném tvaru gravitačního působení v kvantových mikroměřítcích nemáme (a asi nikdy mít nebudeme) žádné experimentální údaje, jsou to všechno jen dalekosáhlé extrapolace z velkých měřítek..?..
  Z realistického pohledu tedy kosmologickou konstantu můžeme považovat za další nezávislou astrofyzikální konstantu, kterou není schopna vysvětlit žádná teorie.
  Z jiného hlediska je problém kvantové energie vakua diskutován v §B.4, pasáži "Obrovské kvantové mikrofluktuace".

-------- níže uvedené poznatky vznikly až po sepsání knihy "Gravitace, černé díry ...", takže v knižním vydání nebyly obsaženy -----

Některé nové alternativní teorie související s kvantovou gravitací :

Diskrétní struktura prostoročasu
Společným jmenovatelem řady problémů se singularitami a nekonečny v nekvantové i kvantové teorie pole, jsou limitní přechody typu r®0, x®0, t®0 a pod., při nichž hodnoty polí (nebo i metriky prostoročasu) často divergují. Tyto limitní přechody jsou umožněny spojitou povahou prostoročasu, v němž můžeme chování fyzikálních polí vyšetřovat v principu až do nekonečně malých měřítek geometrického bodu.
  Co když však spojitost prostoročasu je stejná iluze, jakou byla do 19.stol. spojitost hmoty? Tak, jak moderní fyzika došla k poznání o diskrétní kvantové struktuře hmoty, nabízí se hypotéza, že i prostoročas je kvantován - skládá se z obrovského, ale spočetného množství velmi malých již nedělitelných elementárních "buněk", z jakéhosi "prostoročasového prachu". Pokud tato hypotetická "kvanta geometrie" jsou dostatečně malá, např. velikosti řádu Planckovy délky 10^-33cm, jeví se prostoročas jako zcela spojitý, neboť žádné dosud zkoumané fyzikální procesy nedovedou rozlišit jemnější vzdálenosti než asi 10^-15cm.
Poznámka: S kvantovou strukturou prostoročasu jsme se setkali již v předchozím §B.4 v rámci kvantové geometrodynamiky. Tam se ale jednalo o "indukovanou" kvantovou strukturu vzniklou použitím zákonitostí kvantové fyziky na gravitaci jakožto zakřivený prostoročas. Zde však jde o primární, axiomaticky postulovanou diskrétní strukturu samotného prostoročasu (tak říkajíc "od Boha").
  V takovéto kvantové geometrii s diskrétní strukturou prostoročasu neexistují limitní přechody k nulovým prostorovým vzdálenostem a časovým intervalům, takže by neměly vznikat nekonečné divergující hodnoty polí a nefyzikální singularity prostoročasu.
Tato představa by mohla být důležitá pro kvantovou teorii pole obecně, neboť energie kvant je nepřímo úměrná vlnové délce příslušného "vlnového klubka". Pokud nemohou být vlnové délky menší než určitá dolní hranice, protože kratší délka prostě neexistuje, pak energie kvant je shora omezena - kvanta s nekonečnou energií, která působí takové potíže v kvantových teoriích pole, jsou předem vyloučena.
 Smyčková kvantová gravitace
Na rozvinutí shora zmíněných myšlenek o diskrétní povaze prostoročasu pro spojení s kvantovou teorií pole je založena tzv. smyčková teorie kvantové gravitace (loop quantum gravity) [...]. Jelikož v kvantové fyzice důležitou úlohu hraje rotační moment hybnosti - spin, pro kvantování prostoročasu byly použity nikoli kartézské souřadnicové sítě, ale je modelováno pomocí tzv. spinové sítě. ....
  Zakladatelem smyčkové kvantové gravitace je Abhay Ashketar, fyzik indického původu, který působí na universitě v Pennsylvánii. Teorie vznikla a rozvíjela se od 80. a 90.let a spolu s Ashtekarem na ní pracují T.Jacobson, L.Smolin, C.Rovelli, J.Baez, Ch.Isham, M.Bojowald a další průkopníci smyčkové kvantové gravitace.
  A.Ashketar nejdříve pomocí nových proměnných vyjádřil metriku 3-rozměrného prostoru pomocí formalismu SU(2) (nebo SO(3)) symetrií kalibračního pole. Jeho spolupracovníci pak ukázali, že Hilbertův prostor kvantovaného kalibračního pole SU(2) lze generovat tzv. spinovými sítěmi, vycházejícími z twistorové teorie *) R.Penrose [...] . Tyto spinové sítě se ve smyčkové teorii berou jako základní fundamentální prvky vytvářející strukturu prostoru, který se tím stává diskrétním. Lze si to představit jako jakousi "kostru" či "stavebnici" z jednorozměrných vláken (grafů). Spinová síť neexistuje v nějakém prostoru do něhož by byla vnořena, ale sama prostor vytváří (resp. vytváří to, co ve větších měřítcích vnímáme jako prostor). Na submikroskopické úrovni již prostor není homogenní, ale má jemnozrnnou strukturu - skládá se z bezpočtu vzájemně propojených "prstenců" či "smyček" Planckových rozměrů.
*) V naší knize jsme twistory nezaváděli, autor o jejich důležitosti není přesvědčen... Jinak jsme ovšem používali a diskutovali řadu jiných myšlenek a koncepcí vynikajícího relativistického fyzika R.Penrose.
  Vývoj spinové sítě v čase vytváří jakousi "spinovou pěnu" (spin foam), kterou lze dát do souvislosti s výše zmíněným kvantovým přístupem Feynmanových dráhových integrálů.
................
.....?...... zde přijde konkrétněji nastínit metodika smyčkové gravitace ....?.....
.........
  Smyčková kvantová teorie gravitace je považována za určitý alternativní přístup, do určité míry konkurenční k teorii superstrun (stručně nastíněné v závěru následujícího §B.6 "Sjednocování fundamentálních interakcí. Supergravitace. Superstruny."). Ashketarova smyčková kvantová gravitace si neklade za cíl sjednocení čtyř základních interakcí - elektromagnetické, silné, slabé a gravitační, ale "pouze" sjednotit kvantovou teorii s gravitací jako fyzikou prostoročasu. Proto jsme stručnou zmínku o ní zařadili do tohoto §B.5 o kvantové gravitaci, zatímco superstruny do následujícího §B.6 o unitárních teoriích pole...
  Reálným přínosem smyčkové teorie gravitace je koncepce diskrétní struktury prostoročasu. Avšak nynější konkrétní rozpracování "spinové pěny", svou přílišnou matematickou složitostí a "vyumělkovaností", ji asi diskvalifikuje jako důvěryhodnou teorii skutečné fyzikální podstaty gravitace a ostatních polí (v duchu principu jednoduchosti fundamentálního poznání)..?..

Entropická hypotéza podstaty gravitace
V §4.7 "Kvantové vyzařování a termodynamika černých děr" byly z hlediska termodynamického a informačně statistického rozebírány souvislosti mezi entropií a gravitací černé díry, které v 70.letech analyzoval J.D.Bekenstein a S.Hawking je doplnil koncepcí kvantové evaporace černé díry. Vznikla tím "termodynamika černých děr". Toto všechno bylo v rámci zakřiveného prostoročasu obecné teorie relativity, na jehož pozadí se analyzovaly procesy kvantové teorie pole. Entropie S (definovaná jako poměr tepla dQ dodaného do systému ku absolutní teplotě T: dS = dQ/T) zde byla považována za sice důležitou veličinu, která však vznikala sekundárně z konkrétních interakcí kvant a částic mezi sebou a s gravitačním polem.
  Z úplně opačné strany k této problematice přistoupil holandský fyzik Erik Verlinde [E.P.Verlinde: On the origin of gravity and the laws of Newton; arXiv:1001.0785 (2010)], který vyšel ze známé skutečnosti, že při každém makroskopickém ději v kontinuálním prostředí dochází z termodynamického hlediska ke změnám entropie. Např. když natáhneme pružinu či gumičku, má snahu vrátit se do původní délky - pociťujeme elastickou sílu (makroskopicky popsanou Hookovým zákonem), jejíž fyzikální původ je v elektromagnetické interakci mezi atomy látky. Zároveň je to z termodynamického hlediska doprovázeno změnou entropie: natažená pružina či gumička má nižší entropii než v rovnovážném smrštěném stavu, do kterého se v souladu s 2.zákonem termodynamiky snaží dostat. Energetická bilance při natažení o Dx se zde pomocí entropie S dá vyjádřit vztahem :
            F.Dx = T.DS ,
kde F je elastická síla, T termodynamická teplota. Součin T.DS je v termodynamice přírustek tepelné energie DQ v důsledku práce F.Dx vykonané při natažení pružiny o Dx.
  Když se tato analogie logicky obrátí, lze elastickou sílu považovat za důsledek růstu entropie - za jakousi "entropickou sílu". Právě tuto logickou inverzi použil E.Verlinde v r.2010 pro svou originální hypotézu o původu gravitace.
  Verlinde prohlásil entropii za primární zcela základní veličinu, jejíž růst způsobuje vznik "entropické síly", která je podstatou gravitace. Tedy žádná gravitace neexistuje! *) - pozorujeme ji jen jako zdánlivou sílu, makroskopický projev růstu entropie při náhodném statistickém chování mikroskopických systémů částic-kvant polí. Entropická síla způsobuje pohyb těles, který vede k mechanické práci dA = F.dx. Ta se projevuje teplem vedoucímu ke změně entropie: T.dS = F.dx (t.j. F = T.grad S).
*) Tato koncepce je heuristicky trochu podobná LeSageově hypotéze o mechanickém původu gravitace, diskutované v §1.3 "Mechanická LeSageova hypothéza podstaty gravitace", podle níž gravitace jako samostatná síla rovněž neexistuje, je způsobována nárazy drobných pohybujících se částeček...
  Druhým základním východiskem Verlindeho teorie je holografický princip (viz §4.7, pasáž "Ztráta informace v černé díře. Holografický princip."): informace - entropie - je lokalizována na hranici vyšetřovaného systému - holografické projekční ploše. To umožnilo v jednoduchém sférickém modelu s hmotným tělesem uprostřed "odvodit" Newtonův gravitační zákon obrácených čtverců :
  Letmý nástin: Kolem středového tělesa hmotnosti M si vymezíme sférickou plochu poloměru R. Tato plocha ve Verlindově teorii slouží jako holografická projekční plocha, na které je lokalizována veškerá informace o tělese M. Povrchu sféry lze pak v tomto modelu formálně přiřadit termodynamickou teplotu T = M.c²/(2.N.k_B), kde k_B je Boltzmanova konstanta a N je počet částic - informačních bitů tělesa M. Hustota informačních bitů na projekční ploše je nepřímo úměrná velikosti plochy, tj. R^-2, takže T ~ M/R². Na vyšetřovanou sféru vložíme testovací částici hmotnosti m. Když ji v radiálním směru posuneme o vzdálenost Dx, změní se entropie sféry o DS = m.Dx. Dosazením těchto vztahů do výše uvedeného Verlindova vztahu F.Dx = T.DS pro entropickou sílu dostaneme úměru F ~ m.M/R² , což odpovídá standardnímu Newtonovu gravitačnímu zákonu obrácených čtverců vzdálenosti. Newtonův gravitační zákon se z těchto termodynamických úvah "vynořil" bez předpokladu existence gravitační síly na mikroskopické úrovni...
  Nyní v r.2016 E.Verlinde dále do své entropické hypotézy začlenil kvantové fluktuace vakua jako další zdroj entropické síly. Vznikl tím další příspěvek k "entropické síle - gravitaci", který obecně neubývá s druhou mocninou vzdálenosti. Verlinde se pomocí jeho vhodného modelování snaží alternativně vysvětlit problém temné hmoty ("Budoucí vývoj vesmíru. Skrytá hmota") - tu by způsobovaly kvantové fluktuace uvnitř holografické projekční plochy, a temné energie ("Akcelerovaná expanze vesmíru? Temná energie?") ve vesmíru - způsobované kvantovými fluktuacemi vně této plochy a v celém prostoru [Verlinde E.: Emergent Gravity and the Dark Universe; arXiv:1611.02269v2 (2016)].
  Časté námitky oponentů se soustřeďují na sférickou symetrii Verlindeho modelů, které nejsou výstižné pro skutečnou distribuci hmoty ve vesmíru; to by ale mohlo být řešeno v dalších zobecněních. Principiální námitka proti Verlindově teorii však je fyzikálně-gnoseologická: změna entropie není příčinou gravitačních ani jiných sil ve fyzikálních soustavách, ale jen jedním z důsledků konkrétních fyzikálních interakcí probíhajících v systému. A kromě toho ten druhý základní postulát, holografický princip, je jen nepotvrzenou hypotézou (teoreticky podloženou jen u horizontů černých děr, viz §4.7). Je to tedy ve skutečnosti obráceně, změny entropie jsou způsobeny mimo jiné i gravitační silou...
  Takže s tou gravitací to bude pravděpodobně jinak..!..

B.4. Kvantová geometrodynamika		B.6. Sjednocování fundamentálních interakcí. Supergravitace. Superstruny.

Vojtěch Ullmann