AstroNuklFyzika ® Jaderná fyzika - Astrofyzika - Kosmologie - Filosofie Gravitace, černé díry a fyzika

Kapitola 4
ČERNÉ   DÍRY
4.1. Úloha gravitace při vzniku a evoluci hvězd
4.2. Konečné fáze hvězdné evoluce. Gravitační kolaps
4.3. Schwarzschildovy statické černé díry
4.4. Rotující a elektricky nabité Kerrovy-Newmanovy černé díry
4.5. Teorém "černá díra nemá vlasy"
4.6. Zákony dynamiky černých děr
4.7. Kvantové vyzařování a termodynamika černých děr
4.8. Astrofyzikální význam černých děr
4.9. Úplný gravitační kolaps - největší katastrofa v přírodě

4.5. Teorém "černá díra nemá vlasy"

V předchozích kapitolách jsme si ukázali, jak gravitačním kolapsem dostatečně hmotných hvězd vznikají černé díry. Avšak jaký konkrétní "tvar" mají černé díry? Kolapsem kulové nerotující hvězdy vznikne kulová (sféricky symetrická) Schwarzschildova černá díra, kolapsem rotující hvězdy vzniká axiálně symetrická Kerrova či Kerrova-Newmanova černá díra. Toto všechno jsou však idealizované případy. Vzniká otázka, jaká černá díra vznikne kolapsem reálné hvězdy? Na první pohled by se mohlo zdát, že kolapsem "deformované" hvězdy, mající třebas "hrbol" na povrchu (protuberanci, stopu po dopadu planety či akreci plynů), by mohla vzniknout "deformovaná" černá díra s "hrbolem" na svém horizontu. Jak uvidíme níže, podle zákonitostí obecné teorie relativity se toto stát nemůže: buď nevznikne žádná černá díra, nebo vznikne přesně symetrická černá díra.
Zjednodušeně řečeno, černá díra nevykazuje žádné stopy toho, zda vznikla z hvězdy kulatého nebo deformovaného nepravidelného tvaru.

Jediné, čím se černá díra navenek projevuje - jediné, co pro vnější svět ze zkolabovaného objektu zbylo - je vnější pole. Ukazuje se, že ve srovnání s objektem před kolapsem má černá díra velmi jednoduchou strukturu :

Teorém 4.1 ("černá díra nemá vlasy")
Po "dokončení" gravitačního kolapsu (tj. po utvoření horizontu a po vymizení všech gravitačních a elektromagnetických vln) je vnější elektromagnetické a gravitační pole stacionární černé díry ve vakuu zcela určeno jen třemi nezávislými parametry : celkovou hmotností M, elektrickým nábojem Q a vlastním rotačním momentem hybnosti J, bez ohledu na to, z čeho a jakým způsobem černá díra vznikla.

Metaforicky se to vyjadřuje větou "černá díra nemá vlasy", tj. nemá žádné další nezávislé charakteristiky kromě hmotnosti, náboje a rotačního momentu hybnosti *). Tvrzení "černá díra nemá vlasy" odůvodníme nejprve fyzikálními argumenty, potom zmíníme některé geometricko-topologické teorémy o jednoznačnosti, na nichž je založen obecný matematický důkaz, a nakonec si ukážeme dalekosáhlé fyzikální důsledky tohoto teorému.
*) Metaforické znění "černá díra nemá vlasy" pochází od J.A.Wheelera. "Vlasy" jsou zde míněny nějaké příznaky, které vystupují z horizontu a ukazují individuální charakteristiky hmoty, ze které černá díra vznikla. Přesněji bychom měli říkat "černá díra nemá téměř žádné vlasy", pouze hmotnost, moment hybnosti a elektrický náboj.
   Teorém o "bezvlasovosti" byl po několik let vlastně hypothézou, pro kterou sice svědčila řada fyzikálních argumentů a poznatky Zeldoviče, Novikova, Ginzburga, Price, Israela a Cartera, avšak obecný důkaz chyběl. Definitivní dokončení důkazu teorému 4.1 bylo provedeno v pracech B.Cartera [44], W.Israela [142], S.Hawkinga [121] a D.Robinsona [219].

Zachování interakce s hmotou pohlcenou černou dírou
Hmotnost
, náboj a moment hybnosti jsou jediné zachovávající se veličiny (neměnící se s časem v průběhu kolapsu), které jsou jakožto zdroje spojeny s poli sil dlouhého dosahu (hmotnost a moment hybnosti s gravitačním polem, elektrický náboj s elektromagnetickým polem), na nichž zanechávají jednoznačný "odraz" či "stopu". Pomocí těchto jednoznačných odrazů (zachovávajících se integrálních toků přes uzavřené plochy) tato pole potom nadále udržují po utvoření horizontu hodnoty těchto tří veličin, i když jejich vlastní zdroje zmizely pod horizontem nebo byly dokonce již možná zničeny v singularitě (z hlediska jejich vlastního času). Utvoření horizontu je zde tedy rozhodujícím momentem: ať se pak pod horizontem již cokoliv stane se zdroji, nijak se to nemůže projevit na vnějším poli, které proto zachovává svoji hodnotu odpovídající zdrojům těsně před překročením horizontu. Je tím rovněž ospravedlněno použití Gaussovy věty pro integrální toky vnějších polí uzavřenými plochami, protože se nemusíme starat o možné nepřípustné topologické chování (např. vícenásobná souvislost nebo singularita) prostoročasu uvnitř horizontu. Proto můžeme např. integrál

intenzity elektrického pole E přes uzavřenou plochu S, obklopující v dostatečné vzdálenosti černou díru, považovat za její elektrický náboj Q, i když tento skutečný náboj (jeho nositelé) nenávratně zmizel pod horizontem, byl pohlcen singularitou, popř. se vynořil v jiném vesmíru nebo jiném místě téhož vesmíru (to všechno pro vnějšího pozorovatele ovšem nemá smysl, protože by se to odehrávalo v absolutní budoucnosti). Podobné je to s gravitačním polem a s jejím zdrojem, hmotností M.
   Máme-li tedy dvě vzdálená tělesa nebo částice A a B, které jsou ve vzájemné gravitační nebo elektromagnetické interakci, po pohlcení jednoho z nich (třebas A) černou dírou tato interakce nezaniká. Po vyzáření dynamických složek vznikajících při kolapsu či akreci i nadále zůstává interakce dalekého dosahu s partnerem B. Nebude to však již interakce s původním individuálním tělesem nebo částicí A, ale částice B bude interagovat s celkovým polem černé díry, jejíž součástí se pohlcený objekt A stal. A toto pole je určeno celkovou hmotností M, rotačním momentem hybnosti J a elektrickým nábojem Q. Lze říci, že částice A, i se svým polem, se jakoby "rozpustí" v celkovém poli černé díry.
   Tento mechanismus též poskytuje odpověď na často kladenou paradoxní otázku: "Jak se může gravitační síla dostat ven z pod horizontu černé díry a působit na vnější tělesa?- když horizont přece ven nic nepustí!". Gravitační pole se však nemusí "prodírat" zevnitř přes horizont. Ono v tom daném vnějším místě již je a bylo tam před kolapsem hvězdy nebo pádem tělesa do černé díry. A při kolapsu nebo pohlcení tělesa toto pole nezaniká, ale udržuje si tu hodnotu, kterou mělo těsně před aktem kolapsu či pohlcení.
Pozn.: Výše uvedená odpověď je z hlediska klasické teorie pole. V kvantové teorii pole (§1.1 "Atomy a atomová jádra", pasáž "Kvantová teorie pole" v monografii "Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření") se interakce modelově vysvětluje pomocí intermediálních částic, které si interagující tělesa (částice) neustále vyměňují. Ty by horizont černé díry neměl "pustit". Odpověď můžeme nahlížet ze dvou aspektů:
1. Je to jen model, který je užitečný pro dynamické děje mezi mikročásticemi (je diskutováno v pasáži "
Virtuální či skutečné částice?" zmíněného odkazu); u statického silového-polního působení mezi makroskopickými tělesy je patrně irelevantní.
2. Intermediální částice jsou virtuální, takže pro ně "zákaz" průchodu horizontem v principu neplatí. Jak bude ukázáno v §4.7 "
Kvantové vyzařování a termodynamika černých děr", zákonitosti kvantové fyziky umožňují poblíž horizontu generování (Hawkingova) záření efekty kvantového tunelového jevu virtuálních párů částic.

Multipólové vyzařování
Způsob, jakým černé díře v průběhu kolapsu "vypadávají vlasy", se dá nejlépe pochopit rozborem gravitačního kolapsu, který se od symetrického případu liší jen malou odchylkou (perturb
ací). Vnější pole lze pak rozložit na složky související s multipólovými momenty. V průběhu kolapsu se budou jednotlivé multipólové momenty s časem měnit, což bude doprovázeno vyzařováním vln. Právě vyzařování vln je tím mechanismem, který mění hodnoty některých fyzikálních veličin v průběhu kolapsu. Příp. nesymetrie elektrického náboje způsobují při kolapsu vyzařování elektromagnetických vln. Důležitější je však vyzařování gravitačních vln (§2.7 "Gravitační vlny", část "Zdroje gravitačních vln ve vesmíru"), které odnášejí veškeré počáteční nesymetrie v rozložení hmotnosti ve zkolabovaném objektu.
   Podle teorie záření [166] mohou vyzařovat jen ty multipólové momenty, jejichž "multipolarita" je větší nebo rovna spinu příslušného pole **), zatímco složky s multipolaritou menší se zachovávají a k vyzařování nepřispívají.
**) Spin pole zde stačí uvažovat klasicky jako míru symetrie v rovinné vlně příslušného pole: dané pole má spin s, jestliže jeho rovinná vlna je invariantní vůči pootočení o úhel 2p/s kolem směru šíření.
   Pokud se multipólové momenty, kterým je to "dovoleno" úplně vyzáří, bude výsledné limitní pole zcela charakterizováno jen zbylými zachovávajícími se multipólovými momenty, jejichž multipolarita je menší než spin pole (a které se tedy nemohou vyzářit). Pro elektromagnetické pole se spinem s=1 se vyzáří ve formě elektromagnetických vln všechny multipóly rozložení náboje, počínaje dipólovým momentem a zachovává se pouze monopólová část - celkový elektrický náboj. Pro gravitační pole se spinem s=2 se vyzáří ve formě gravitačních vln všechny multipóly rozložení hmotnosti, počínaje kvadrupólovým momentem; zachovává se jen monopólová část - celková hmotnost, a dipólová část související s vlastním rotačním momentem hybnosti v těžišťové soustavě. Pro (modelové) skalární pole se spinem s=0 by se nezachovávala žádná část, vše se vyzáří.
   Podrobný rozbor slabě perturbovaného gravitačního kolapsu ukazuje, že před utvořením horizontu se všechny vyšší multipólové momenty, kterým je to dovoleno, skutečně vyzáří. Price [212], ukázal, že pro příspěvky takových polí neexistují řešení s fyzikálně přípustnými asymptotickými vlastnostmi (buď jsou nekonečná na horizontu nebo divergují pro nekonečné vzdálenosti).
"Kvantové vlasy" ? 
Z kvantové fyziky vyplývají další zachovávající se veličiny, spojené s kvantovými poli. Mohly by po zformování černé díry přetrvávat v podobě jakýchsi "kvantových vlasů". Jedná se však o kvantová pole krátkého dosahu; "kvantové vlasy" by mohly ovlivnit vlastnosti vypařující se kvantové černé mikrodíry
(takové mikrodíry jsou diskutovány v §4.7 "Kvantové vyzařování a termodynamika černých děr"). Pro makroskopické černé díry však případné kvantové mikrovlasy nemají žádné důsledky, neboť kvantová fyzika se neuplatňuje v makroskopických měřítcích. Rozšíření analýzy na případ silných interakcí [245] a slabých interakcí [116] ukazuje, že makroskopická černá díra nemůže vykazovat síly slabých ani silných interakcí od leptonů a baryonů pohlcených v díře [10],[244].

Teorémy o jednoznačnosti
Existují
tedy pádné fyzikální argumenty ve prospěch teorému "černá díra nemá vlasy". Protože však detailní rozbor průběhu gravitačního kolapsu je možný jen ve značně zjednodušených případech, nedokazuje se tím platnost teorému 4.1 pro obecnou černou díru. Obecný matematický důkaz teorému "černá díra nemá vlasy" je založen na globálních geometricko-topologických metodách studia struktury prostoročasu, pomocí nichž lze získat některé informace o globální struktuře prostoročasu na základě určitých obecných předpokladů bez nutnosti detailního řešení gravitačních rovnic. Pomocí těchto metod byly odvozeny některé důležité věty o jednoznačnosti řešení v prázdném stacionárním asymptoticky prognostickém prostoročase.
   Za nejjednodušší "prototyp" takových teorémů o unitaritě lze považovat již Schwarzschildovu-Birkhoffovu větu 3.3 (odvozenou v §3.4 "Schwarzschildova geometrie"), podle níž vakuový asymptoticky rovinný prostoročas se sférickou symetrií má Schwarzschildovu geometrii a je tedy popsán jen jediným parametrem - celkovou hmotností M bez ohledu na to, jak je např. hmota radiálně rozložena (pokud je zachována sférická symetrie). Příslušné obecnější věty o jednoznačnosti jsou tyto :

Teorém 4.2 (Israel [141]) :
Každý prázdný (Tik=0) statický prostoročas, ve kterém je regulární horizont událostí s topologií koule, má Schwarzschildovu geometrii (a je tedy centrálně symetrický a charakterizovaný jen parametrem celkové hmotnosti M).
Teorém 4.3 (Israel [142]) :
Každý statický prostoročas, který obsahuje pouze statické elektromagnetické pole a který má regulární horizont událostí s topologií koule, má Reissnerovu-Nordströmovu geometrii (je tedy centrálně symetrický a charakterizovaný celkovou hmotností M a elektrickým nábojem Q).
Teorém 4.4 (Hawking [120],[121]) :
Stacionární černá díra musí být buďto axiálně symetrická nebo statická (přičemž horizont událostí má topologii koule).

Kdyby totiž černá díra nebyla axiálně symetrická, bude při rotaci vyzařovat gravitační vlny (časově proměnný kvadrupólový moment) a nebude tedy stacionární; jen axiálně symetrická černá díra může rotovat a být přitom stacionární.

Pro ilustraci teorému 4.4 si představme myšlený pokus podle obr.4.20. Rotující axiálně symetrickou černou díru obklopíme v dostatečné velké vzdálenosti od horizontu hmotou s pevným axiálně nesymetrickýrn rozložením - např. kolem ní uděláme tuhý hmotný rám (třeba z železných tyčí), obr.4.20a. Gravitační působení rámu způsobí, že metrika již není axiálně symetrická. Není to však narušení věty 4.4, protože pokud černá díra rotuje, nebude již situace podle obr.4.20a stacionární. Vlivem strhávání momentem hybnosti totiž rám začne rotovat ve stejném směru jako černá díra. Jelikož je rám axiálně nesymetrický, bude při této rotaci vyzařovat gravitační vlny a ztrácet tak kinetickou energii rotace. Nakonec se rotace jak černé díry, tak rámu radiačně zabrzdí; černá díra se stane nerotující (statickou) v souhlase s Hawkingovou větou 4.4. Poněkud složitější situace by byla v případě, že hmotný rám by nebyl volný, ale upevněný (nějakými negravitačními silami) tak, že nemůže začít rotovat a vyzařovat gravitační vlny - obr.4.20b. I v tomto případě se dá věta 4.4 obhájit. Gravitační působenení rámu deformuje horizont. Horizont však rotuje a deformace horizontu při svém pohybu bude vyzařovat gravitační vlny (dovnitř díry), čímž se bude zpomalovat jeho rotace. Nakonec se opět rotace černé díry zabrzdí.


Obr.4.20. Myšlený pokus k fyzikální ilustraci teorému 4.4.
a) Kolem rotující černé díry je volně umístěn tuhý hmotný rám. Vlivem strhávání rotací černé díry se rám roztočí, bude vyzařovat gravitační vlny a celá soustava se bude radiačně brzdit. Toto uspořádání je zároveň jednou z možností, jak z rotující černé díry získávat energii (viz §4.4).
b) Pevný hmotný rám fixovaný kolem černé díry vnějšími silami.

Teorém 4.5 (Carter [44]) :
Pro prázdný (Tik=0) stacionární axiálně symetrický prostoročas, ve kterém je regulární horizont událostí s topologií koule, existují dvě různé skupiny řešení, z nichž každé závisí jen na dvou parametrech; za tyto parametry lze vzít celkovou hmotnost M a rotační moment hybnosti J.

Jednou takovou skupinou řešení je Kerrova geometrie při a2 Ł M2 ; jak ukázal Robinson, žádná jiná odlišná skupina řešení již neexistuje. Carterova věta 4.5 byla dále v pracech Robinsona [219], Boseho a Wanga [24] zobecněna na případ přítomnosti elektromagnetického pole (tj. pro elektricky nabitou černou díru), přičemž jako obecné řešení se získá Kerrova-Newmanova geometrie prostoročasu (analyzovaná v §3.6 "Kerrova a Kerrova-Newmanova geometrie").

Spojením těchto (částečně se prolínajících) teorémů 4.2 až 4.5 přicházíme k závěru, že (pokud lze zanedbat gravitační pole hmoty nacházející se vně horizontu) všechny stacionární černé díry musejí být axiálně symetrické a geometrie prostoročasu je obecně vyjádřena Kerrovým-Newmanovým řešením, které je popsáno jen třemi volnými parametry: hmotností M, rotačním momentem hybnosti J a elektrickým nábojem Q. A to je teorém 4.1 "černá díra nemá vlasy".
   Ukazuje se tedy, že kromě hmotnosti, náboje a momentu hybnosti se všechny ostatní charakteristiky (které by nebyly z těchto tří parametrů odvoditelné) - jako jsou nehomogenity a nesymetrie rozložení hmoty a náboje tělesa před kolapsem, magnetická pole, proudy, tlaky, turbulence a pod. - zcela "vyzáří" ve formě gravitačních a elektromagnetických vln z nichž část se rozšíří do prostoru, část je pohlcena černou dírou. Toto záření odnese "vlasy" černé díry. Nehomogenity, stejně jako žádné další jevy vznikající již pod horizontem, nemají na vnější pole vliv, protože informace o nich (ve formě příslušných rozruchů a vln) geometrie prostoročasu nepustí k vnějšímu pozorovateli.

Uniformita černých děr
Černé díry různého původu jsou od sebe
nerozlišitelné, mají-li stejnou hmotnost, náboj a rotační moment hybnosti. Není poznat, zda černá díra vznikla z vodíku nebo z železa, z obyčejné hmoty nebo z antihmoty, z protonů, elektronů, neutronů a v jakém zastoupení *). Černé díry jsou tedy, ve srovnání s velkou rozmanitostí různých druhů a typů hvězd, velmi uniformní. Všechny černé díry jsou si podobné jako vejce vejci: skoro všechny jsou Kerrovské různě rychle rotující (eliptické), občas se mezi nimi může objevit díra Schwarzschildovská (kulová), popř. elektricky nabitá. Jiné kvalitativní rozdíly mezi černými děrami nejsou, jsou jen rozdíly v jejich "velikosti". Vznikem černé díry se ztrácejí téměř všechny informace o tom, z čeho tato černá díra vznikla; zjistitelná je pouze celková hmotnost, moment hybnosti a elektrický náboj.
*) V principu je možno např. dosáhnout takového zkoncentrování světla, že část jeho elektromagnetické energie podlehne gravitačnímu kolapsu a vytvoří černou díru. Nebo podobně může gravitačnímu kolapsu podlehnout i část (nelokální) gravitační energie při dostatečném zkoncentrování gravitačních vln (viz §2.7 "Gravitační vlny" a B.3 "Wheelerova geometrodynamika. Gravitace a topologie."). Taková "čistě elektromagnetická" (popř. "čistě gravitační") černá díra bude potom nerozlišitelná od černé díry vzniklé kolapsem (elektricky neutrální) hvězdy s příslušnou hmotností a momentem hybnosti. Podmínky pro tak mohutné zkoncentrování gravitačních nebo elektromagnetických vln by však asi mohly vzniknout jen v počátečních fázích vývoje vesmíru po hypotetickém "velkém třesku", nebo snad při gravitačním kolapsu celých galaxií...
   Černé díry jsou jedinými makroskopickými objekty, které jsou velmi jednoduché. Po dokončení gravitačního kolapsu a odlétnutí záření, které odnáší pryč jejich "vlasy", vznikne v konečném stavu velmi jednoduchý objekt, který lze zcela přesně a úplně popsat jen třemi parametry a několika málo matematickými vzorci - bez jakékoli idealizace či omezení zjednodušujících modelů! S tím se nikde jinde v makrosvětě nesetkáváme. Analogii to má jedině v mikrosvětě "elementárních" částic, které mohou být též úplně popsány několika málo svými kvantovými čísly (§1.5 "Elementární částice a urychlovače" v knize "Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření").

Ztráta determinismu ?
Deterministické zákony klasické fyziky umožňují na základě znalosti úplného souboru stavových podmínek daného systému v určitém okamžiku (na
Cauchyho hyperploše prostorového typu) předpovědět stav systému v libovolném okamžiku v budoucnosti i minulosti. Jsou-li však ve vesmíru přítomny černé díry, nelze ani na základě dokonalé znalosti jeho stavu v určitém časovém okamžiku zjistit stav, který byl v minulosti, protože o vlastnostech hmoty, ze které vznikla černá díra (a též o hmotě, která byla kdykoliv v minulosti černou dírou pohlcena), nelze téměř nic zjistit; černá díra pohltila nejen tuto hmotu, ale pohltila i všechny informace o ní s výjimkou pouze sumární hmotnosti, náboje a momentu hybnosti. Přítomnost černé díry (její vlastnost "nemít vlasy") tedy i v rámci klasické fyziky principiálně omezuje možnost rekonstruovat minulost na základě sebelepší znalosti současného stavu; lze pouze předpovídat budoucnost (a to ještě jen ve vnější asymptoticky rovinné oblasti prostoročasu - viz §3.5). Jak ale uvidíme v §4.7 "Kvantové vyzařování a termodynamika černých děr" (kde je též diskutován "paradox ztráty informace"), efekt kvantového vyzařování černých děr nám dokonce (aspoň v principu) bere i tuto poslední deterministickou schopnost!

4.4. Rotující a elektricky nabité
Kerrovy-Newmanovy černé díry
  4.6. Zákony dynamiky černých děr

Gravitace, černé díry a fyzika prostoročasu :
Gravitace ve fyzice Obecná teorie relativity Geometrie a topologie
Černé díry Relativistická kosmologie Unitární teorie pole
Antropický princip aneb kosmický Bůh
Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření
AstroNuklFyzika ® Jaderná fyzika - Astrofyzika - Kosmologie - Filosofie

Vojtěch Ullmann