AstroNuklFyzika ® Jaderná fyzika - Astrofyzika - Kosmologie - Filosofie Gravitace, černé díry a fyzika

Kapitola 1
GRAVITACE A JEJÍ MÍSTO VE FYZICE
1.1. Historický vývoj poznatků o gravitaci
1.2. Newtonův gravitační zákon
1.3. Mechanická LeSageova hypothéza podstaty gravitace;
1.4. Analogie mezi gravitací a elektrostatikou
1.5. Elektromagnetické pole. Maxwellovy rovnice.
1.6. Čtyřrozměrný prostoročas a speciální teorie relativity


1.5. Elektromagnetické pole. Maxwellovy rovnice.

V předchozím odstavci jsme viděli, že analogie mezi Newtonovou gravistatikou a Coulombovou elektrostatikou je velmi těsná. Elektrostatické pole je však speciálním případem obecného pole elektromagnetického, které panuje v okolí pohybujících se elektrických nábojů. Je proto užitečné všimnout si vlastností elektromagnetického pole a pokusit se nalézt případné analogie s obecným "gravidynamickým" polem v okolí pohybujících se těles. Elektrodynamika je nejdokonalejší a nejúspěšnější teorií klasické fyziky, která si zachovává svou plnou platnost i v moderní relativistické fyzice. Lze říci, že elektrodynamika je jedním ze základních kamenů celé fyziky a sehrála klíčovou úlohu při formování jak speciální, tak obecné teorie relativity.
Pozn.: Historický vývoj poznatků o elektřině a magnetismu je stručně nastíněn v §1.1 v pasáži "
Elektrodynamika, atomová fyzika, teorie relativity, kvantová fyzika".

V elektromagnetickém poli působí na zkušební částici s nábojem q pohybující se rychlostí v celková síla (Lorentzova síla)

F   =   q . E   +   q . (1/c) [ v ´ B ]   ,
elektrická síla          magnetická síla  
(1.30)

kde E je intenzita elektrického pole a B je intenzita magnetického pole z historických důvodů nazývaná magnetická indukce, "´" znamená vektorový součin. Rozložení elektrických nábojů se v teorii pole vyjadřuje pomocí hustoty náboje r(x,y,z,t), která je obecně funkcí místa a času, takže celkový náboj obsažený v prostorové oblasti V je Q = Vňňň r dV. Pohyb elektrických nábojů se popisuje pomocí hustoty proudu j(x,y,z,t) ş r.v, kde v je okamžitá rychlost pohybu nábojů v daném místě (x,y,z); elektrický proud protékající danou plochou S pak je I = Sňň j dS. Zákon zachování elektrického náboje pak říká, že změna náboje obsaženého v každé dané prostorové oblasti V musí být rovna množství náboje, které projde uzavřenou plochou S = V obklopující tuto oblast:

(1.31a)

Použitím Gaussovy věty odtud plyne známá rovnice kontinuity

div j   +   ¶r /t   =   0   , (1.31b)

vyjadřující zákon zachování elektrického náboje v diferenciálním tvaru.

Zákon buzení elektrického pole elektrickými náboji, tj. Coulombův zákon (1.22a), lze vyjádřit ve tvaru Gaussovy věty elektrostatiky (obr.1.3a)

(1.32a)

odkud plyne diferenciální rovnice

  div E   =   4p r   . (1.32b)


Obr.1.3. Buzení elektrického a magnetického pole elektrickými náboji a proudy.
a) Celkový elektrický náboj Q obsažený v prostoru uvnitř libovolné uzavřené plochy S je podle Gaussovy věty dán tokem vektoru intenzity elektrického pole E přes tuto uzavřenou plochu S.
b) Cirkulace vektoru magnetické indukce B kolem uzavřené křivky C je úměrná celkovému elektrickému proudu I protékajícímu plochou S ohraničenou křivkou C.
c) Elektromagnetické pole buzené soustavou pohybujících se elektrických nábojů je dáno rozložením nábojů a proudů, retardovaným vždy o čas potřebný poli k překonání vzdálenosti r - r' z jednotlivých míst dV' soustavy do vyšetřovaného místa r.

Magnetické pole je buzeno pohybujícími se elektrickými náboji, tj. elektrickým proudem, podle Biotova-Savartova-Laplaceova zákona

  d B   =   (1/c) . I . [dl ´ r] / r3   , (1.33a)

kde dl je element délky vodiče jímž protéká stacionární elektrický proud I a r je polohový vektor směřující od tohoto proudového elementu do vyšetřovaného místa. Z Biotova-Savartova zákona plyne Ampérův zákon

   (1.33b)

podle něhož křivkový integrál (cirkulace) vektoru magnetické indukce po libovolné uzavřené křivce C je úměrný celkovému proudu protékajícímu plochou S, kterou tato křivka obepíná (obr.1.3b).

Integrál na levé straně Ampérova zákona závisí jen na křivce C = S, takže aby rovnice (1.33b) mohla obecně platit, je třeba aby plošný integrál na pravé straně byl stejný pro všechny plochy S mající za konturu danou křivku C. S pomocí Gaussovy věty lze snadno ukázat, že toto je splněno jen tehdy, když div j = 0, tj. když se jedná o stacionární elektrický proud, který nezpůsobuje změny v rozložení elektrického náboje v okolí křivky C. Pro obecné nestacionární proudy je proto třeba rovnici (1.33b) zobecnit, aby byla slučitelná s rovnicí kontinuity. Dosazením v rovnici kontinuity (1.31b), která platí i pro nestacionární proudy, za r z rovnice (1.32b), dostaneme

div [ j + (1/4p) E/t ]   =   0   .   

Tím je nalezen vektor j + 1/4pE/t, jehož divergence je vždy rovna nule a který ve stacionárním případě splývá s běžnou hustotou "vodivého" proudu j. Člen jMaxw = (1/4p) E/t se nazývá Maxwellův posuvný proud a může existovat i ve vakuu bez přítomnosti skutečných elektrických nábojů. Maxwell navrhl v případě nestacionárního pole v rovnici (1.33b) proudovou hustotu j nahradit právě vektorem j + (1/4p) E/t , neboli vyslovil hypothézu, že posuvný proud vykazuje stejné magnetické účinky jako běžný "vodivý" proud skutečných elektrických nábojů :

(1.34a)

Magnetické pole je tedy buzeno celkovým efektivním proudem

  Ief   =   ňň j dS   +   ňň (1/4p) E/t dS  .
            
vodivý proud    Maxwellův posuvný proud
(1.35)

Maxwellova hypothéza se ukázala být velmi správná a plně odpovídá všem zkušenostem s elektromagnetickými jevy. Maxwellův posuvný proud je např. tím proudem, který "překonává" izolační vrstvu kondenzátorů a způsobuje jejich "vodivost" pro střídavé proudy. Máme-li totiž rovinný kondenzátor s plochou desek S, pak mezi intenzitou homogenního elektrického pole v mezeře a nábojem kondenzátoru q platí vztah E = 4pq/S, takže okamžitý proud protékající kondenzátorem I = q/t = S.(1/4p) E/t = S.jMaxw je dán Maxwellovým proudem.

Posuvný proud, který - i když není tvořen pohybem skutečných elektrických nábojů - má normální magnetické účinky, nachází svou analogii i v gravitačním poli, kde i ve vakuu bez skutečných materiálních těles existuje efektivní Isaacsonova energie a hybnost gravitačních vln, která má gravitační účinky (zakřivuje prostoročas) jako každá jiná hmota (viz §2.7-2.8).

Převedením integrálu podél křivky C pomocí Stokesovy věty na integrál přes plochu S, obepínanou touto křivkou, dostáváme rovnici buzení magnetického pole elektrickým proudem (vodivým a posuvným) v diferenciálním tvaru

 rot B   =   (4p/c) j + (1/c) E/t   . (1.34.b)

Z této rovnice je jasně vidět, že magnetické pole může vznikat nejen pohybem (proudem) elektrických nábojů, ale též časově proměnným elektrickým polem.

Dalším základním zákonem elektromagnetismu je poznatek, že magnetické siločáry jsou spojité a uzavřené křivky. Jinými slovy, magnetické pole je nezřídlové, neexistují magnetické "náboje" (monopóly)*) z nichž by vycházely nebo do nichž by vstupovaly magnetické siločáry (na rozdíl od elektrických nábojů na nichž začínají a končí elektrické siločáry). Proto z uzavřené plochy S musí vycházet právě tolik magnetických siločar, kolik jich do ní vchází, tj. magnetický tok z uzavřené plochy se rovná nule :

      (1.36a)

Převedením plošného integrálu na objemový pomocí Gaussovy věty dostáváme rovnici

         div B   =   0   , (1.36b)

která je matematickým vyjádřením principu kontinuity magnetických siločar v diferenciálním tvaru.
---------------------------
*) Necháváme zde stranou Diracovu hypothézu o existenci magnetických monopólů vycházející z představy o symetrii rovnic elektrodynamiky. Experimenty snažící se nalézt magnetické monopóly zatím nevedly k žádným přesvědčivým výsledkům. Magnetické monopóly se však uvažují v moderních kvantových unitárních teoriích pole, s čímž souvisí jejich význam pro kosmologii velmi raného vesmíru (kap.5, §5.5).

Generace elektrického pole časově proměnným magnetickým polem je vyjádřena Faradayovým zákonem elektromagnetické indukce

      (1.37a)

podle něhož elektromotorická síla (elektrické napětí) U ş ˇňC E dl indukovaná podél uzavřené křivky C je úměrná rychlosti, s jakou se mění magneticky tok F ş ňňSB dS plochou S obepínanou touto křivkou C. V integrálu na pravé straně nezáleží na volbě plochy S obepínané danou křivkou C, protože magnetické pole je nezřídlové (div B = 0). Převedením křivkového integrálu na levé straně pomocí Stokesovy věty na plošný integrál dostaneme zákon elektromagnetické indukce vyjádřený v diferenciálním tvaru :

         rot E   =   - (1/c) B/t   . (1.37b)

Nastíněnou aplikaci matematického aparátu diferenciálního a integrálního počtu na empiricky zjištěné zákonitosti elektromagnetismu (tj. na poznatky Coulombovy, Ampérovy, Faradayovy, Biotovy, Savartovy aj.) a jejich zobecnění provedl J.C.Maxwell, který dospěl k úplné soustavě základních rovnic elektromagnetického pole a shrnul jednotlivé poznatky do ucelené teorie. Tyto Maxwellovy rovnice (1.31b) až (1.37b), které jsme si výše postupně odvodili, můžeme v diferenciálním tvaru přehledně shrnout takto :

Maxwellovy rovnice elektromagnetického pole
(1.38)
(1.39)
(1.40)
(1.41)

Tyto rovnice určují elektrické a magnetické pole E a B buzené daným rozložením nábojů a proudů r a j. 1.dvojice Maxwellových rovnic popisuje generaci elektrického a magnetického pole materiálními zdroji, tj. hustotou elektrického náboje r a proudu j vystupujícími na pravé straně, 2.dvojice vyjadřuje další vnitřní vlastnosti pole. Z rovnic (1.38) a (1.40) je vidět, že elektrické E a magnetické B pole mohou svou časovou proměnností vzájemně generovat jedno druhé.

Všimněme si stručně některých obecných vlastností soustavy Maxwellových rovnic. Především, z 1.dvojice Maxwellových rovnic dostaneme (aplikací operace "div" na rovnici (1.38), operace "/t" na rovnici (1.39) a jejich sečtením) rovnici kontinuity div j + ¶r/t = 0. Rozložení a pohyb elektrických nábojů nemůže být tedy zadán zcela libovolně; aby byly Maxwellovy rovnice splnitelné, musí být vyhověno rovnici kontinuity. Jinými slovy, elektrické náboje kolem sebe budí elektrické a magnetické pole tak, aby se samy zachovávaly, rovnice kontinuity je důsledkem rovnic pole.

Rovnice (1.39) a (1.41) neobsahují časové derivace a mají proto charakter okrajových podmínek; zbývající dvě rovnice (1.38) a (1.40), které lze (s použitím operace "div" na obě strany) upravit na tvar

/t (div E - 4pr) = - 4p (div j + ¶r/t) = 0 , (rovnice kontinuity)

/t div B   =   -c div rot E   ş   0   ,

pak zaručují, že jsou-li tyto počáteční podmínky div E = 4pr a div B = 0 splněny v nějakém čase t=0, zůstávají splněny neustále ve všech časech.

V teorii pole je výhodné kromě vektorů intenzit daného pole zavést též potenciály pole, což jsou veličiny jejichž derivace (diferenciální formy) udávají příslušné intenzity. V elektrostatice lze intenzitu elektrického pole E vyjádřit jako gradient elektrického potenciálu j (E = -grad j), čímž je identicky splněna rovnice rot E = 0. V magnetismu platí rovnice div B = 0, takže musí existovat veličina (vektorové pole) A, taková, že B = rot A. Z druhé dvojice Maxwellových rovnic plyne, že vektory E a B v případě obecného elektromagnetického pole lze vyjádřit pomocí veličin j a A ve tvaru

        E   =   - grad j   -   (1/c) A/t   , (1.42)
         B   =   rot A   . (1.43)

Zavedením takového elektrického potenciálu j a magnetického vektorového potenciálu A jsou obě poslední Maxwellovy rovnice splněny identicky.

Jelikož intenzity polí závisejí pouze na derivacích potenciálů, nejsou tyto potenciály určeny jednoznačně, daným polím E a B mohou odpovídat různé hodnoty potenciálů. Např. k A lze přičíst libovolný konstantní vektor a k j libovolnou konstantu, aniž se změní hodnoty intenzit E a B. Obecně, magnetické pole B = rot A se nezmění, jestliže k A přičteme gradient libovolné funkce f (rot grad f ş 0); aby se přitom nezměnilo ani elektrické pole E (1.42), je zároveň třeba k potenciálu j přidat člen -(1/c).f/t. Provedeme-li tedy tzv. cejchovací (kalibrační) transformaci potenciálů

         A ® A' = A + grad f ,   j ® j' = j - (1/c)f/t   , (1.44)

kde f(r,t) je libovolná skalární funkce místa a času, příslušné elektromagnetické pole se nezmění (E®E'=E, B®B'=B). Tato určitá "svoboda" ve volbě poteneiálů umožňuje vybrat tvar potenciálů (provést jejich "kalibraci") tak, aby to bylo co možná nejvýhodnější pro daný problém.

Maxwellovy rovnice (1.38) a (1.39), vyjádřené dosazením z (1.42) a (1.43) pomocí potenciálů, mají obecně značně složitý tvar

Tyto rovnice se značně zjednoduší, předepíše-li se pro potenciály tzv. Lorentzova kalibrační podmínka:

         grad A   +   (1/c) ¶j/t   =   0 (1.45)

(tato podmínka může být splněna transformací (1.44) s funkcí f splňující rovnici Df - (1/c2)2f/t2 = div A + (1/c).¶j/t). Při této kalibraci nabývají Maxwellovy rovnice, vyjádřené pomocí potenciálů, separovaný a symetrický tvar d'Alembertových rovnic

         (1.46a)

(1.46b)

kde o ş 2/x2 + 2/y2 +2/z2 - (1/c2)2/t2 je d'Alembertův diferenciální operátor. V matematické fyzice se ukazuje, že obecné řešení těchto rovnic má tvar *)

(1.47a,b)

kde r = (x,y,z) je polohový vektor bodu v němž stanovujeme potenciály, r'= (x',y',z') je polohový vektor objemového elementu dV'= dx'dy'dz' při integraci hustoty náboje a proudu, jo a Ao popisují vnější pole působící na soustavu (resp. integrační konstanty). Vztahy (1.47a,b) ukazují, že v daném místě r a v daném časovém okamžiku t je pole dáno nikoliv okamžitým rozložením náboje a proudu v celém prostoru, ale rozložením retardovaným (zpožděným do minulosti) vždy o čas |r - r'|/c, který je potřeba k tomu, aby se rychlostí c překonala vzdálenost R = |r - r'| z jednotlivých bodů (x',y',z') zdrojové soustavy do vyšetřovaného místa (x,y,z) - viz obr.1.3a). Řešení (1.47) se proto nazývá retardované potenciály. Změna (rozruch) v elektromagnetickém poli (vyvolaná např. změnou v rozložení nábojů) se tedy šíří konečnou rychlostí rovnou rychlosti světla c.
*)Pozn.: V předchozím §1.4 a v první polovině tohoto §1.5 jsme plošné a objemové integrály značili dvojnými a trojnými integrály: ňňSf(...)dS a ňňňVf(...)dV. V dalším však pro stručnost budeme používat jen jedno integrační znamení: ňSf(...)dS a ňVf(...)dV.

Elektromagnetické vlny
Obecné zákonitosti šíření vln v přírodě jsou diskutovány v §2.7, pasáži "Šíření vln - obecný přírodní fenomén". Zde si ukážeme vznik a vlastnosti vlnění v elektromagnetickém poli.
  Napíšeme-li Maxwellovy rovnice (1.38) a (1.40) pro prostorovou oblast, kde j
= 0 a r = 0, pak jejich parciální derivací podle času a dosazením ze zbývajících dvou Maxwellových rovnic dostaneme d'Alembertovy rovnice

       D E - (1/c2) 2E/t2 = 0   ,   D B - (1/c2) 2B/t2 = 0 (1.48)

analogické rovnicím (1.46) pro potenciály, avšak bez přítomnosti elektrických nábojů. Jelikož tyto rovnice mají nenulová řešení, může elektromagnetické pole existovat i samostatně, bez přímé vazby na elektrické náboje a proudy. Budeme-li hledat partikulární řešení závislá pouze na jedné souřadnici, např. na. x, a na čase t, zjednoduší se rovnice (1.48) na

2E/x2 - (1/c2) 2E/t2 = 0 (a analogicky pro B)

a řešením bude každá funkce tvaru

E = E(x, t - x/c)   ,   B = B(x, t - x/c)   .    

Stejná hodnota pole E a B jako je v bodě o souřadnici xo v časovém okamžiku to bude ve všech místech, jejichž souřadnice a čas splňují rovnici x - xo = c.(t - to). Jedná se tedy o vlnění šířící se ve směru osy X fázovou rychlostí c.
Z Maxwellových rovnic tak plyne existence elektromagnetických vln
, které se šíří rychlostí rovnou rychlosti světla (z obecně-fyzikálního hlediska je rychlost světla diskutována v §1.1, pasáž "Rychlost světla"). Tento poznatek přivedl Maxwella k názoru, že světlo je zřejmě elektromagnetické vlnění o velmi krátké vlnové délce. Tím se Maxwellovi podařilo sjednotit do ucelené teorie nejen jevy elektrické a magnetické, ale zahrnout tam i jevy optické.
Pozn.: O vzniku a vlastnostech různých druhů elektromagnetického záření (radiovlny, infračervené záření, viditelné světlo, UV a X-záření, záření g) je podrobněji pojednáno např. v §1.1 "Atomy a atomová jádra" pojednání "Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření".

V rovinné vlně šířící se ve směru osy X jsou všechny veličiny funkcemi pouze t-x/c. Je-li E = E(t-x/c), pak z Maxwellových rovnic (1.38) a (1.40) pro r = 0, j =0, plyne B/t = -rot E = (n°/c) ´ (dE/d(t-x/c)) = n° ´ E/t, takže vztah mezi elektrickým a magnetickým polem v elektromagnetické vlně je

         B   =   n° ´ E   , (1.49)

kde n° je jednotkový vektor ve směru šíření vlny ("´" značí vektorový součin). To znamená, že vektory elektrického a magnetického pole E a B jsou neustále kolmé jak navzájem, tak i k vektoru n° směru šíření vlny - elektromagnetické vlny jsou příčné. Protože B = rot A, stačí pro popis rovinné vlny pouze vektorový potenciál A, pomocí něhož se pole E a B stanoví vztahy

         B = (1/c) (A. ´ n°)   ,   B = (1/c) [(A. ´ n°) ´ n°] (1.49')

(tečka nad A znamená derivaci podle času: A. ş A/t).

Nejjednodušší případ elektromagnetické vlny je vlna monochromatická, v níž pole je v každém daném bodě jednoduchou harmonickou funkcí času: A(t)r =const. = Ao(r).cos(wt + a), a = a(r), kde w = 2p.f = 2p/T je kruhová frekvence vlny, a je konstantní fázový posun. Veličina l= 2pc/w pak představuje vlnovou délku, tj. vzdálenost kterou vlna urazí za jednu periodu T (vzdálenost dvou nejbližších míst se stejnou fází). V rovinné monochromatické vlně bude pole harmonickou funkcí argumentu t-x/c

A = Ao cos [w.(t - x/c) + a]   ,     

kde Ao ani a nezávisí na t ani na x. Zavedením vlnového vektoru

         k   =def   (w/c) . n° (1.50)

lze rovinnou vlnu vyjádřit ve tvaru

        A(r,t)   =   Ao cos (wt - k.r + a) (1.51)

platném pro libovolný směr šíření vlny (analogicky pro B a E). Tento výraz pro monochromatickou rovinnou vlnu se často zapisuje v komplexním tvaru

        A   =   Re [Âo . e i(k.r - wt)]   , (1.51')

kde Âo = A . eia je konstantní komplexní vektor; podobně lze vyjádřit i pole E a B.

Při pootočení souřadnicové soustavy o úhel J kolem směru šíření n° rovinné elektromagnetické vlny se pole ve vlně bude transformovat podle zákona ®Â'= eiJ.Â; elektromagnetická vlna je invariantní vzhledem k pootočení o úhel 360° kolem směru šíření. Vlastnosti symetrie rovinných vln vůči rotaci kolem směru šíření jsou důležité v kvantové fyzice, kde určují spin příslušných částic vznikajících kvantováním daného pole. Na klasické úrovni je spin definován jako

s   =   360°/(úhel symetrie rovinné vlny vůči pootočení kolem směru šíření)   ;    

spin elektromagnetického pole (elektromag. vln a jejich kvant - fotonů) je tedy roven s = 1.

V elektrostatice lze jednoduchými úvahami (o práci potřebné k rozmístění nábojů do dané konfigurace) ukázat, že elektrostatickou energii soustavy N nabitých těles

ee = (1/2)a=1SNqa.ja = (1/2) ňr.j dV = (1/8p) ň E2 dV       

lze vyjádřit pomocí integrálu intenzity jejich společného elektrického pole, takže elektrickému poli lze přisoudit energii rozloženou s hustotou We = (1/8p) E2 v prostoru. Podobně úvahy o práci potřebné ke vzniku elektrických proudů v soustavě elektrických obvodů (proti indukovaným elektromotorickým silám vznikajícím nárustem magnetického pole) ukazují, že energie soustavy takových vodičů

em = (1/2)a=1SNIa.Fa = (1/2) ňA.j dV = (1/8p) ň B2 dV       

je dána objemovým integrálem vektoru indukce B buzeného magnetického pole a můžeme ji považovat za energii tohoto magnetického pole rozloženou v prostoru s hustotou Wm = (1/8p) B2. Hustota energie v elektromagnetickém poli se pak rovná součtu hustot odpovídajících elektrické a magnetické složce:

       Welmag   =   (1/8p) ( E2 + B2 )   . (1.52)

Je jasné, že takové přisouzení energie poli je v rámci Coulombova, Ampérova a Faradayova zákona čistě formální, protože se jedná jen o jiný popis interakční energie při představě okamžitého silového působení nábojů a proudů na dálku. Fyzikální ospravedlnění mu však dává skutečnost, že rozruch v elektromagnetickém poli se šíří konečnou rychlostí. Tato konečná rychlost šíření změn v poli vede k závěru (abychom se neopakovali, viz argumentaci v úvodu §2.8), že elektromagnetické pole samotné musí skutečně obsahovat energii (a hybnost), která může proudit z jednoho místa na druhé a konat práci na elektrických nábojích a proudech (měnit se na jiné formy energie). Elektromagnetické pole není tedy jen prostor v němž působí elektrické a magnetické síly, ale je samostatnou fyzikální realitou - specifickou formou hmoty.

Skalárním vynásobením Maxwellovy rovnice (1.38) polem E a rovnice (1.40) polem B a jejich sečtením dostaneme po úpravě rovnici

        [(E2 + B2)/8] / t   =   - div [(c/4p).(E ´ B)]  -  j . E   . (1.53)

Integrace přes nějakou zvolenou prostorovou oblast V po aplikaci Gaussovy věty pak dává

        (1.54)

Levá strana představuje změnu energie elektromagnetického pole eelmag obsažené uvnitř oblasti V za jednotku času. První integrál na pravé straně udává práci, kterou elektrické síly vykonají s náboji za jednotku času, neboli změnu kinetické energie ekin nábojů za jednotku času (magnetické síly s náboji žádnou práci nekonají a nemění tedy jejich kinetickou energii). Rovnice (1.54) tedy vyjadřuje zákon zachování energie v elektromagnetickém poli: elektromagnetická energie obsažená v prostorové oblasti V se zmenšuje jednak o mechanickou práci vykonanou elektrickými silami s náboji uvnitř oblasti V, jednak o energii přenesenou (vyzářenou) polem z oblasti V přes ohraničující plochu S = V do vnějšího prostoru. Rovnici (1.54) je možno napsat též ve tvaru

      (1.54')

podle něhož úbytek celkové energie elektromagnetického pole a nabitých částic v objemu V za jednotku času je roven toku vektoru (c/4p).(E´B) plochou S obklopující oblast V. Proto vektor

      P   =   (c/4p) . ( E ´ B ) (1.55)

nazývaný Poyntingův vektor představuje energii procházející jednotkou plochy za jednotku času, neboli je to vektor hustoty toku elektromagnetické energie v prostoru. Při integraci v (1.54) přes celý prostor, kdy ohraničujicí plocha S je nekonečně vzdálena a pole je na ní rovno nule, vyjadřuje rovnice (1.54), resp. (1.54'), prostě zákon zachování součtu celkové energie elektromagnetického pole a kinetické energie všech nábojů.

Podobně lze ukázat, že elektromagnetické pole má hybnost p danou integrálem

      p   =   ň (1/4pc) . ( E ´ B ) dV   , (1.56)

takže hybnost objemové jednotky elektromagnetického pole je rovna P/c2.

Proud energie v rovinné elektromagnetické vlně je vzhledem k (1.49) roven

      P   =   (c/4p) ( E x B )   =   (c/4p) E2.n°   =   (c/4p) B2.n°   , (1.57)

což vzhledem k (1.52) souvisí s hustotou energie Welmag vztahem P = c . Welmag . n°, z něhož je rovněž vidět, že pole se ve vlně šíří rychlostí světla.

Mějme soustavu pohybujících se elektrických nábojů soustředěnou v nějaké omezené prostorové oblasti (obr.1.4). Umístíme-li počátek souřadnic někam dovnitř této soustavy nábojů, pak při studiu pole ve velkých vzdálenostech R>>L, kde L je charakteristický rozměr soustavy, budou všechna místa zdrojové soustavy přibližně ve stejné vzdálenosti R jako je počátek souřadnic. Vzdálenosti |R- r| jednotlivých míst r' zdroje od vyšetřovaného vzdáleného bodu R je přibližně rovna |R- r'| @ R - R°. r', kde R° je jednotkový vektor směřující od počátku O do vyšetřovaného bodu, takže retardované potenciály lze pro velké vzdálenosti napsat ve tvaru

j(R,t) = (1/R). ň r(r', t - R/c + R°.r'/c) dV' , A(R,t) = (1/R). ň j(r', t - R/c + R°.r'/c) dV' .

Retardační čas se tedy skládá ze dvou různých částí. První část R/c určuje vnější retardaci, tj. dobu potřebnou k tomu, aby změny v elektromagnetickém poli překonaly vzdálenost od počátku souřadnic, neboli od zdrojové soustavy, do vzdáleného pozorovacího místa. Druhá část rovná -R°.r'/c charakterizuje vnitřní retardaci, tj. dobu šíření rozruchu v poli v rámci zdrojové soustavy.

V případě, že rozložení náboje v soustavě se mění dostatečně pomalu, lze vnitřní retardaci zanedbat. K tomu stačí, aby charakteristická doba T, za kterou se rozložení náboje znatelně změní, splňovala podmínku T>> L/c. Jelikož c.T je vlnová délka l elektromagnetické vlny vyzařované soustavou, lze podmínku zanedbatelnosti vnitřní retardace napsat též ve tvaru L << l, tj. rozměry soustavy musejí být malé ve srovnání s délkou vyzařovaných vln. Charakteristická doba změny rozložení nábojů T souvisí s průměrnou rychlostí v nábojů vztahem T » L/v, takže k zanedbání retardace je třeba, aby platilo v«c, tj. rychlosti pohybu nábojů musejí být malé oproti rychlosti světla. Při zanedbání vnitřní retardace jsou potenciály ve velkých vzdálenostech od zdrojové soustavy rovny

j(R,t) = (1/R). ň r(r', t - R/c) dV'   ,   A(R,t) = (1/R). ň j(r', t - R/c) dV'   .    

V těchto vzdálenostech velkých ve srovnání jak s rozměry zdrojové soustavy, tak s délkou vyzařovaných vln - ve vlnové zóně - je možno v rámci malých oblastí prostoru proměnnou složku pole považovat za rovinnou vlnu. Stačí zde tedy stanovit vektorový potenciál A = (1/cR). ň r.v dV' = (1/cR)a=1SNqava = (1/cR) (d/dt)a=1SNqar'a , tj.

      A(R,t)   =   (1/cR) . d.(t-R/c)   , (1.58)

kde d ş Sqara je elektrický dipólový moment soustavy, jaký byl v čase t-R/c. Elektrické a magnetické pole je pak podle (1.49) rovno

      E(R,t) = (1/c2R) [ (d.. ´ R°) ´ R°]  ,   B(R,t) = (1/c2R) (d.. ´ R°)  , (1.59)

kde dipólový moment d se opět bere v okamžiku t-R/c (tečky nad d znamenají derivaci podle času).

Tok elektromagnetické energie ve vlnové zóně, tj. intenzita elektromagnetického záření, je vyjádřena Poyntingovým vektorem podle (1.57)

      P = (c/4p) (E´B) = (1/4pc3R2) (d..´R°)2 = (d.. 2/4pc3R2) sin2J . R° , (1.60)

kde J je úhel mezi směry vektorů d.. a R (použijeme-li polárních souřadnic - obr.1.4b). Úhlové rozdělení intenzity záření elektrického dipólu je dáno koeficientem sin2J, příslušný směrový diagram je na obr.1.4c. Celková energie vyzařovaná soustavou za jednotku času (tj. vyzařovaný výkon) I = dE/dt je pak dána tokem energie přes celou sférickou plochu R=const. :

      (1.61)

V případě, že zdrojová soustava sestává pouze z jednoho zrychleně se pohybujícího náboje q, je d.. = q.r.. = q.a, a vyzařovaný výkon je roven

      I  ş dE/dt  =   (2.q2/3c3) . a2  . (1.61')

Tento vyzařovací zákon odvodil v r.1899 irský fyzik J.Larmor. V soustavě jednotek SI je navíc přítomem koeficient k = 1/(4peo) vystupující v Coulombově zákoně.


Obr.1.4. Elektromagnetické pole ostrovní soustavy pohybujících se elektrických nábojů.
a) Pole buzené soustavou pohybujících se elektrických nábojů je dáno nikoliv okamžitým, ale retardovaným rozložením a pohybem nábojů.
b) Ve velké vzdálenosti od zdrojové soustavy (ve vlnové zóně) je proměnná složka pole dána druhou časovou derivací dipólového momentu soustavy d.. a má charakter elektromagnetických vln odnášejících pohybovou energii zdroje do prostoru.
c) Směrový diagram vyzařování elektrického dipólu.

Vztahy (1.58) až (1.61) pro pole a záření ostrovní soustavy elektrických nábojů ve vlnové zóně byly získány v aproximaci prvního řádu v poměru L/l (členy vyšších řádů byly zanedbány), což vedlo k uplatnění pouze dipólového momentu soustavy. V obecném případě je však třeba vzít v úvahu i další členy v rozvoji potenciálu podle mocnin L/l, což vede k tomu, že celková intenzita elektromagnetického záření soustavy pohybujících se nábojů je dána časovými derivacemi jednotlivých multipólových momentů rozložení náboje. Kromě dipólového momentu se na záření obvykle nejvíce podílí kvadrupólový moment Kab = ň r.(3xaxb - dab.r2) dV a popř. magnetický dipólový moment m = (1/2c) ň r.(r´v)dV, které k záření přispívají podle známého vztahu (viz např. [166])

(1.62)

Jestliže vlastnosti zdrojové soustavy jsou takové, že d.. = 0 (tak je tomu např. v soustavě složené z těles se stejným specifickým nábojem q/m), dipólové záření nevzniká. V takových případech se uplatní pouze záření způsobené dalšími členy v rozvoji potenciálu podle mocnin L/l, tj. záření vyšších multipólů.

Elektrodynamika tak dospívá k obecnému závěru, že při každém zrychleném (nerovnoměrném) pohybu elektrických nábojů se vyzařují elektromagnetické vlny, které odnášejí část jejich kinetické energie do prostoru*). V §2.7 uvidíme, že v podstatě ke stejnému závěru - vyzařování gravitačních vln při zrychleném pohybu gravitujících těles - dospívá i obecná teorie relativity, i když vlastnosti gravitačních vln se od vlastností vln elektromagnetických v některých aspektech liší.
*) Tento jev hraje důležitou úlohu v atomové fyzice pro strukturu atomového obalu a vznik záření při jeho deexcitacích (viz §1.1 "Atomy a atomová jádra" knihy "Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření"). Dále pak v jaderné fyzice a fyzice ionizujícího záření. Zvláště rychle letící elektrony jsou při interakci s látkovým prostředím prudce brzděny, takže podle vztahu (1.61´) vyzařují poměrně intenzívní elektromagnetické záření - tzv. brzdné záření. Brzdné záření nachází významné využití při buzení X-záření dopadem elektricky urychlených elektronů na anodu v rentgenkách - viz §3.2 "Rentgenová diagnostika", nebo při buzení tvrdého g-záření dopadem vysokoenergetických elektronů z betatronu či lineárního urychlovače (viz §1.5 "Elementární částice", část "Urychlovače nabitých částic" v téže publikaci) na vhodný terčík.

Proměnná elektromagnetická pole buzená soustavou pohybujících se nábojů jsme vyšetřovali ve vlnové zóně, tj. v dostateěně velkých vzdálenostech od zdrojové soustavy, a vyzařovanou energii jsme počítali pomocí Poyntingova vektoru. Analýza elektromagnetického pole v malých vzdálenostech pak ukazuje, že uvnitř a v blízkosti zdrojové soustavy se vytváří určitá malá proměnná složka elektrického pole s fází odlišnou od hlavní proměnné složky. V aproximaci třetího řádu je tento člen rovný

Ere  =   (2/3c3) d...  .    

Ve zdrojové soustavě tedy bude na každý náboj q působit určitá dodatečná síla "reakce" fre = q.Ere konající za jednotku času práci fre.v, takže celková práce vykonaná tímto polem se všemi naboji soustavy vychází A re = (2/3c3) d... Sqava = (2/3c3) d... .d., což při zprůměrování podle času (přes několik period T) dává

A re  =   - (2/3c3) d..2  .    

Je vidět, že tato přídavná složka pole způsobuje příslušné brzdění pohybů nábojů ve zdroji zpětnou reakcí vyzařovaných vln, a to v plné energetické shodě se vzorcem (1.61) získaným analýzou pole ve vzdálené vlnové zóně. Takovýto rozbor má svou velkou důležitost u gravitačních vln, kde výpočet energie ve vlnové zóně není zdaleka tak jasný a jednoznačný jako je tomu v elektrodynamice - to uvidíme v §2.8 "Specifické vlastnosti gravitační energie".

Rovnici pohybu m.v = q.E + (q/c).(v ´ B) nabité částice v elektromagnetickém poli pod vlivem Lorentzovy síly (1.30) je třeba doplnit o brzdící účinek elektromagnetického vyzařování:

      m .v  =   q.E + (q/c) (v ´ B) + (2q2/3c3) v..  ; (1.63)

tato rovnice je použitelná tehdy, když rychlost částice je malá oproti rychlosti světla a brzdící síla je podstatně menší než Lorentzova síla působící na náboj od vnějšího pole E a B.

Další podrobnosti o vlastnostech elektromagnetického pole a o jejich aplikacích lze nalézt v příslušné literatuře; z přehledových momografií uveďme např. [235],[264],[206].

Elektromagnetická pole byla považována za projev určitých druhů pohybu éteru *). Některá (elektricky nabitá) tělesa uvádějí tento éter do pohybu, který se v něm šíří konečnou rychlostí a předává se jiným tělesům. Takový éter by však musel mít velmi neobvyklé fyzikální vlastnosti. Aby se v něm mohly šířit elektromagnetické vlny, které jsou příčné, musel by mít některé vlastnosti pevného tělesa. A už vůbec není mechanický model éteru slučitelný s experimentálně zjištěnou konstantností rychlosti světla ve všech inerciálních soustavách. Snahy uvést tuto skutečnost do souladu s modelem éteru nevedly k úspěchu (např. předpoklad "strhávání éteru" pohybem Země neobstál při konfrontaci s pozorovanou aberací světla ze stálic). Proto byla představa éteru opuštěna a dospělo se k poznání, že nositelem elektromagnetického pole je samotný prostor. A.Einstein pak ve speciální teorii relativity završil tuto koncepci vývodem, že stálost rychlosti světla je odrazem souvislosti prostoru a času. Elektromagnetismus tak sehrál významnou heuristickou úlohu při odhalování hlubších a obecnějších zákonitostí přírody - zákonitostí relativistické fyziky.

*) É t e r :
Fyzika 19.stol. považovala za samozřejmé, že každé vlnění se může šířit jen v tom pružném hmotném (látkovém) prostředí, jehož kmitavým pohybem vzniká. Těžko si lze představit mořské vlny bez vody nebo zvuk bez vzduchu (či jiného pružného akustického prostředí plynné, kapalné nebo pevné fáze - viz známý elementární pokus s budíkem nebo zvonkem pod recipientem vývěvy). Když se zjistilo, že světlo a ostatní elektromagnetické vlny se šíří nejen ve vzduchu a dalších optických látkových prostředích, ale i ve vakuu, vyvstal problém prostředí či média, v němž se šíří elektromagnetické vlny. Tak se zrodila představa éteru (lat. aether, v analogii s prchavým organickým rozpouštědlem zvaným ether) - univerzální vše prostupující "látky", vyplňující veškerý prostor a pronikající veškerou hmotou (podobně jako voda proniká oky rybářské sítě tažené za lodí). Tento éter vytváří prostředí pro šíření světla, tepla a jiných elektromagnetických vlnění; je rovněž nositelem gravitace. Jelikož se éter neprojevoval v žádných jiných fyzikálních a chemických jevech, soudilo se, že je průsvitný, nevažitelný, dokonale prostupný bez tření, nemá žádné chemické vlastnosti. Látka s takovými rozpornými vlastnostmi byla experimentálně prakticky neprokazatelná.
Dalo se pouze zkoumat, jak průnik éterem působí na rychlost světla za různých konfigurací pohybového stavu zdroje světla a pozorovatele. Již sám Maxwell navrhl experiment s využitím pohybu Země: světlo při pohybu éterem ve stejném směru jako obíhá Země na své dráze kolem Slunce musí mít poněkud jinou rychlost než světlo které se šíří kolmo k tomuto pohybu nebo ve směru opačném, přičemž rozdíl rychlosti světla by měl být cca 10
-7. Maxwell se již výsledku tohoto experimentu nedočkal; až 8 let po jeho úmrtí, v r.1887 A.Michelson a E.Morley provedli toto měření pomocí interference paprsků monochromatického světla odražených dvěma zrcadly ve vodorovném a svislém směru, přičemž se celé interferenční zařízení na plovoucí desce dalo otáčet. Výsledek, že v rychlosti světla v obou směrech nebyl naměřen žádný rozdíl, se v té době jevil neočekávaným a paradoxním. Negativní výsledek tohoto pokusu byl však potvrzen i dalšími měřeními. Žádné hypotézy ad hoc, jako je strhávání éteru (éter je tažen spolu se zemským povrchem, takže se jeho postavení vůči interferometru nemění) se nepotvrdily. Naproti tomu se negativní výsledek Michessonova a Morleyova pokusu dařilo vysvětlit Lorentzovou kontrakční hypotézou, podle níž se rozměry všech těles ve směru jejich rychlosti v zkracují v poměru 1/Ö(1-v2/c2). Definitivní a univerzální vysvětlení pak podal Einstein ve své speciální teorii relativity, podle níž je rychlost světla (ve vakuu) za všech pohybových podmínek a ve všech směrech stejná. Představa éteru tak byla s konečnou platností opuštěna, nahradily ho vlastnosti samotného prázdného prostoru, spojeného s časem do jednotného prostoročasového kontinua. Přesto se však dosud v oblasti radiotechnických aplikací elektromagnetických vln často používají výrazy "vysílat do éteru" či "přijímat z éteru".

1.4. Analogie mezi gravitací
a elektrostatikou
  1.6. Čtyřrozměrný prostoročas
a speciální teorie relativity

Gravitace, černé díry a fyzika prostoročasu :
Gravitace ve fyzice Obecná teorie relativity Geometrie a topologie
Černé díry Relativistická kosmologie Unitární teorie pole
Antropický princip aneb kosmický Bůh
Jaderná fyzika a fyzika ionizujícího záření
AstroNuklFyzika ® Jaderná fyzika - Astrofyzika - Kosmologie - Filosofie

Vojtěch Ullmann